第14讲实数的运算(原卷版+解析)

第14讲实数的运算1．掌握实数的混合计算；2．掌握新定义下的实数运算；3、掌握实数运算的规律探索题；知识点：实数的运算1、加法交换律2、加法结合律3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。7、有理数除法运算法则就什么？有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作:an9、有理数乘方运算的法则是什么？负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。知识点：近似数1.取一个数的近似数有多种方法,四舍五入是最常用的一种方法例如:圆周率π=3.1415926﹍若精确到个位(或精确到1),则π≈3若精确到十分位(或精确到0.1),则π≈3.1若精确到百分位(或精确到0.1),则π≈3.14若精确到千分位(或精确到0.1),则π≈3.142π若精确到十分位,则π≈3.1也可以说成:π保留2个有效数字:3、12.有效数字定义:对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。例如：3.14有3个有效数字,分别是3、1、4；0.010320有5个有效数字,分别是1、0、3、2、0.考点一：实数的混合运算例1．（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（2022春·云南大理·七年级校考期中）下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）计算：_______3．（2023春·湖北黄石·七年级统考期中）计算．(1)(2)考点二：程序设计与实数运算例2．（2023春·吉林·七年级校联考期中）如图．按下面的程序计算：若开始输入的x值为1．则最后输出的结果是（

）

A．13 B．4 C．7 D．【变式训练】1．（2022秋·浙江衢州·七年级校考期中）有一个数值转换器，流程如图所示．当输入值为64时，输出的值是（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023春·河南安阳·七年级统考期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，输出的数值为______．3．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器：(1)若输入的x为16，则输出的y值是；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是；(3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值．考点三：新定义下的实数运算例3．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）将正实数的整数部分记为，例如：，则（

）A．3 B．2 C．1 D．0【变式训练】1．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）是不为的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·七年级假期作业）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为______．3．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读题的解法，再解答．已知a、b是有理数，并且满足等式，求a、b的值．解：因为．即．所以，．解得：，．解答：设x、y是有理数，并且满足，求的值．考点四：实数运算的实际应用例4．（2022·山东青岛·统考二模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·七年级单元测试）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3）（4），其中，正确的是（

）A．（1）和（2） B．（3）和（4） C．（2）和（3） D．（1）和（4）2．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期末）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是2和6，那么两个长方形的面积和是__________．3．（2022春·江西上饶·七年级统考期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.(1)A，B两正方形的边长各是多少？(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.考点五：实数运算相关的规律探索题例5．（2023春·广东江门·七年级新会陈经纶中学校考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是()A． B． C． D．2023【变式训练】1．（2023秋·八年级单元测试）观察下列等式，，，，，，，，．．．，则的末位数字是（

）A．8 B．4 C．6 D．02．（2023春·上海闵行·七年级统考期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则______．3．（安徽省安庆市2022-2023学年七年级下学期5月月考数学试题）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：整数部分为1：，，；，，…，．整数部分为2：，，…；，，…．整数部分为3：，，…；，，…．(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？1．（2020·湖北荆州·统考中考真题）若x为实数，在的“”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（

）A． B． C． D．2．（2020·四川巴中·统考中考真题）定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（）A．﹣1 B．2 C．1 D．443．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（

）A． B． C． D．4．（2020·四川达州·中考真题）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（

）A．10 B．89 C．165 D．2945．（2022·陕西·统考中考真题）计算：______．6．（2020·湖北随州·统考中考真题）计算：_____．7．（2023·湖南怀化·统考中考真题）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么__________．8．（2020·湖南张家界·中考真题）观察下面的变化规律：，……根据上面的规律计算：__________．9．（2023·江苏苏州·统考中考真题）计算：．10．（2023·湖南·统考中考真题）计算：11．（2020·广西柳州·统考中考真题）计算：．12．（2020·辽宁大连·中考真题）计算．1．（2023·山东临沂·统考二模）从和4这四个数中任取出两个数相乘，积为正数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·北京顺义·七年级统考期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（）A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克3．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）计算：的结果是（

）A．2 B．1 C． D．4．（2022春·湖北黄冈·七年级统考期末）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．5．（2022春·广东广州·八年级统考期末）定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（

）A．8 B．48 C． D．6．（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x＝9时，输出的y等于（）A． B．± C． D．7．（2022春·广东江门·七年级江门市第一中学校考期中）若，则（

）A． B．3 C．2 D．68．（2022春·八年级单元测试）用计算器探索：已知按一定规则排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数（

）A．3个数 B．4个数 C．5个数 D．6个数9．（2023·全国·八年级假期作业）小华编写了一个程序：输入x→立方根→算术平方根→2，则x为___．10．（2022秋·七年级单元测试）________．11．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．12．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）规定用符号表示一个数的整数部分，例如，，按此规定______．13．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．14．（2023·湖北·一模）观察下列二次根式的化简：；；；则______．15．（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）计算：(1)；(2)．、16．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：(1)；(2)．17．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：(1)(2)18．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）（1）请用“”、“”、“”填空：①______；

②______③______；

④______（2）观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含a，b的式子表示你发现的规律；（3）运用你所学的知识说明你发现的规律的正确性．19．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如：如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为(1)仿照以上方法计算：___________；___________；(2)若，写出满足题意的的整数值___________；(3)对100连续求根整数，___________次之后结果为1；(4)计算：．20．（2023春·安徽合肥·七年级中国科技大学附属中学校考阶段练习）【观察】请你观察下列式子．第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．第4个等式：．第5个等式：．【发现】根据你的阅读回答下列问题：(1)写出第7个等式________．(2)请根据上面式子的规律填空：________．(3)计算：．

第14讲实数的运算1．掌握实数的混合计算；2．掌握新定义下的实数运算；3、掌握实数运算的规律探索题；知识点：实数的运算1、加法交换律2、加法结合律3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。7、有理数除法运算法则就什么？有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作:an9、有理数乘方运算的法则是什么？负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。知识点：近似数1.取一个数的近似数有多种方法,四舍五入是最常用的一种方法例如:圆周率π=3.1415926﹍若精确到个位(或精确到1),则π≈3若精确到十分位(或精确到0.1),则π≈3.1若精确到百分位(或精确到0.1),则π≈3.14若精确到千分位(或精确到0.1),则π≈3.142π若精确到十分位,则π≈3.1也可以说成:π保留2个有效数字:3、12.有效数字定义:对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。例如：3.14有3个有效数字,分别是3、1、4；0.010320有5个有效数字,分别是1、0、3、2、0.考点一：实数的混合运算例1．（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则，逐项分析判断．【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误；B、，原算式错误，故该选项错误，C、，正确；D、，原算式错误，故该项错误；故选：C．【点睛】本题考查二次根式的运算法则，比较基础，熟练掌握运算法则是关键．【变式训练】1．（2022春·云南大理·七年级校考期中）下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据算术平方根、绝对值的性质逐项判断即可．【详解】A.，故错误；B.由于，所以，故正确；C.，故错误；D.，故错误；故答案为：B．【点睛】本题考查了算术平方根的概念、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握其定义和性质．2．（2023春·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）计算：_______【答案】【分析】根据实数的运算可进行求解．【详解】解：原式；故答案为：．【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算是解题的关键．3．（2023春·湖北黄石·七年级统考期中）计算．(1)(2)【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根据求一个数的算术平方根与立方根进行计算即可求解；（2）先化简绝对值，然后根据实数的运算法则进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握求一个数的算术平方根，立方根，化简绝对值是解题的关键．考点二：程序设计与实数运算例2．（2023春·吉林·七年级校联考期中）如图．按下面的程序计算：若开始输入的x值为1．则最后输出的结果是（

）

A．13 B．4 C．7 D．【答案】D【分析】运用代入计算算术平方根解题即可．【详解】解：当时，不能输出，当时，可以输出，故选D．【点睛】本题考查算术平方根，正确运用公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·浙江衢州·七年级校考期中）有一个数值转换器，流程如图所示．当输入值为64时，输出的值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据输入的值为64按照流程逐一计算、判断可得．【详解】解：当输入的值为64时，，是有理数，，是有理数，是无理数，输出，即，故选：C．【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根及实数的定义，看懂流程图且熟练计算算术平方根、立方根是解题的关键．2．（2023春·河南安阳·七年级统考期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，输出的数值为______．【答案】5【分析】首先求出的算术平方根，然后用的算术平方根除以，求出商是多少，再用所得的商加上，求出输出的数值即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．3．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器：(1)若输入的x为16，则输出的y值是；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是；(3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值．【答案】(1)(2)0或1(3)5，25（答案不唯一）【分析】（1）由，，，即可得到答案；（2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答；（3）根据题意写出两个满足要求的x值即可．【详解】（1）解：∵，，，∴输入的x为16，输出的y值是，故答案为：（2）∵1和0的算术平方根还等于它本身，∴输入0或1后，始终输不出y值，故答案为：0或1（3）∵，5的算术平方根是，∴两个满足要求的x值可以是25或5．故答案为：5，25（答案不唯一）【点睛】此题考查了算术平方根、实数的分类，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．考点三：新定义下的实数运算例3．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）将正实数的整数部分记为，例如：，则（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】先估算的取值范围，再根据运算规定得结论．【详解】解：∵，∴∴．故选C．【点睛】本题考查了无理数的估值，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）是不为的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据新定义：称为的差倒数即可解答．【详解】解：∵已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，∴，，，∴这组数据每个数为一个循环组依次循环，∴，∴，故选．【点睛】本题考查了实数的新定义—差倒数，根据题意找出数据之间规律是解题的关键．2．（2023·全国·七年级假期作业）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为______．【答案】【分析】根据定义分别求出每一项，然后再根据有理数的加减混合运算法则计算即可【详解】解：∵，∴,根据题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了定义新运算，和有理数的运算，计算较为简单，关键弄清楚定义．3．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读题的解法，再解答．已知a、b是有理数，并且满足等式，求a、b的值．解：因为．即．所以，．解得：，．解答：设x、y是有理数，并且满足，求的值．【答案】1或【分析】根据规律：等式左右两边的有理数部分和二次根式分别相同，建立方程，然后解方程即可．【详解】解：因为，所以，所以，，解得或．所以或．故的值为1或．【点睛】题目主要考查实数的加减运算，理解题干中的求解方法是解题关键．考点四：实数运算的实际应用例4．（2022·山东青岛·统考二模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实数，在数轴上对应点的位置，分别得到实数，的取值范围，据此即可一一判定．【详解】解：由实数，在数轴上对应点的位置可知：，，，，，，故A、B、D错误，C正确，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的加减运算，绝对值的意义，准确判定出实数，的取值范围是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023春·七年级单元测试）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3）（4），其中，正确的是（

）A．（1）和（2） B．（3）和（4） C．（2）和（3） D．（1）和（4）【答案】C【分析】由点A、B、C在数轴上点的位置判断a、b、c的符号，按照运算法则进行判断即可【详解】解：若原点在第③部分，则a＜0，b＜0，c＞0，a＜b＜0＜c，（1）∵a＜0，b＜0，∴故（1）错误；（2）∵a＜0，b＜0，∴故（2）正确；（3）∵a＜0，c＞0，∴故（3）正确；（4）∵a＜b＜0，∴故（4）错误；故选：C【点睛】此题考查了数轴、数轴上的点表示的数的规律、相关运算法则等知识，解决本题的关键是数形结合思想的灵活应用．2．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期末）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是2和6，那么两个长方形的面积和是__________．【答案】【分析】先根据两个小正方形的面积分别是和求出正方形的边长，进而可得出长方形的长和宽，进而得出结论．【详解】解：两个小正方形的面积分别是和，两个正方形的边长分别为和，两个长方形的长是，宽是，两个长方形的面积和．故答案为：．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．3．（2022春·江西上饶·七年级统考期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.(1)A，B两正方形的边长各是多少？(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3(2)2.20【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可．（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，∴正方形A和正方形B的边长各是；（2）解：由题意得：．【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键．考点五：实数运算相关的规律探索题例5．（2023春·广东江门·七年级新会陈经纶中学校考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是()A． B． C． D．2023【答案】B【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数．【详解】解：∵一列实数：，，，，，，，，，，…，∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根，∵，∴这一列数中的第2023个数应是，故选：B．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．【变式训练】1．（2023秋·八年级单元测试）观察下列等式，，，，，，，，．．．，则的末位数字是（

）A．8 B．4 C．6 D．0【答案】B【分析】根据算式得到2的乘方的结果中末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，，由此得到末位数字的规律是每四个为一个循环，由此得到答案．【详解】解：由题意得到：2的乘方的结果中末尾数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，，∵，∴每4个算式相加的结果的末位数字为0，∵余3，∴∴的末位数字是4，故选：B．【点睛】此题考查算式的规律，仔细观察算式得到末位数字的排列规律：每四个一循环，根据规律计算得到该计算的算式中有多少个这样的结果即可解答问题．2．（2023春·上海闵行·七年级统考期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则______．【答案】【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解．【详解】解：∵，，，∴第个式子为，∴第个式子为∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键．3．（安徽省安庆市2022-2023学年七年级下学期5月月考数学试题）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：整数部分为1：，，；，，…，．整数部分为2：，，…；，，…．整数部分为3：，，…；，，…．(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？【答案】(1)最小值为64，最大值为124(2)11个【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案，（2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得：的最小值64，的最大值124；（2）的最小值25，的最大值35，可能的值有11种．【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中．1．（2020·湖北荆州·统考中考真题）若x为实数，在的“”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意填上运算符计算即可．【详解】A.,结果为有理数;B.,结果为有理数;C.无论填上任何运算符结果都不为有理数;D.,结果为有理数;故选C．【点睛】本题考查实数的运算,关键在于牢记运算法则．2．（2020·四川巴中·统考中考真题）定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（）A．﹣1 B．2 C．1 D．44【答案】A【分析】先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log5125=3，log381=4，再计算出所求式子的值即可．【详解】解：∵53=125，34=81，∴log5125=3，log381=4，∴log5125﹣log381，＝3﹣4，＝﹣1，故选：A．【点睛】本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理解新定义就是乘方的逆运算．3．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．【详解】解：当时，计算出，会发现是以：，循环出现的规律，，，故选：D．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．4．（2020·四川达州·中考真题）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（

）A．10 B．89 C．165 D．294【答案】D【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可．【详解】依题意，还在自出生后的天数是：2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，故选：D．【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．5．（2022·陕西·统考中考真题）计算：______．【答案】【分析】先计算，再计算3-5即可得到答案．【详解】解：．故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了实数的运算，化简是解答本题的关键．6．（2020·湖北随州·统考中考真题）计算：_____．【答案】4【分析】分别进行乘方运算和开根号，相加即可．【详解】原式=1+3=4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了实数的运算，准确进行幂的运算是解题的关键．7．（2023·湖南怀化·统考中考真题）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么__________．【答案】【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：∵∴即解得：故答案为：．【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．8．（2020·湖南张家界·中考真题）观察下面的变化规律：，……根据上面的规律计算：__________．【答案】【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．【详解】由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．故．故答案：．【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．9．（2023·江苏苏州·统考中考真题）计算：．【答案】9【分析】先计算绝对值，算术平方根，乘方运算，再合并即可．【详解】解：．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，熟记算术平方根的含义，乘方与绝对值的含义是解本题的关键．10．（2023·湖南·统考中考真题）计算：【答案】【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解．【详解】解：【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法是解题的关键．11．（2020·广西柳州·统考中考真题）计算：．【答案】4【分析】首先计算开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：＝8﹣8+2×2＝0+4＝4．【点睛】本题考查实数的运算，掌握算术平方根的定义是解题的关键．12．（2020·辽宁大连·中考真题）计算．【答案】2【分析】先根据平方差公式、立方根、算术平方根进行化简，再计算即可．【详解】原式=2-1-2+3=2．【点睛】本题考查了实数的运算．解题的关键是熟练掌握平方差公式、立方根、算术平方根等考点的运算．1．（2023·山东临沂·统考二模）从和4这四个数中任取出两个数相乘，积为正数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据乘法法则：同号得正，异号得负，可得结论．【详解】解：积为正数的两个书必须是同号，即两个数可以为或，4两种，故选B．【点睛】本题考查实数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键．2．（2023春·北京顺义·七年级统考期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（）A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克【答案】C【分析】根据实数的乘法解决此题．【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克．该饮料中蛋白质的含量不少于克．故选：C．【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键．3．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）计算：的结果是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】利用乘法分配律展开，再合并计算．【详解】解：故选A．【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是利用乘法分配律简化计算．4．（2022春·湖北黄冈·七年级统考期末）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A．根据实数减法的运算方法判断即可；B．根据绝对值的非负性判断即可；C．根据一个数的算术平方根的求法判断即可；D．根据一个数的立方根的求法判断即可．【详解】解：A、∵，∴选项A不正确；B、∵，∴选项B不正确；C、∵，∴选项C不正确；D、∵，∴选项D正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用；熟练运用相应的法则来计算是解题的关键．5．（2022春·广东广州·八年级统考期末）定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（

）A．8 B．48 C． D．【答案】A【分析】根据题中所给的新定义法则进行计算即可．【详解】解：∵当，时，有，∴＝；故选：A．【点睛】本题考查的是实数的运算，根据题意得出代数式是解答此题的关键．6．（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x＝9时，输出的y等于（）A． B．± C． D．【答案】C【分析】根据算术平方根的概念计算即可．【详解】解：∵，为3的算术平方根，且是无理数，∴输出的y等于，故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，熟练掌握其算术平方根及无理数的概念是解题的关键．7．（2022春·广东江门·七年级江门市第一中学校考期中）若，则（

）A． B．3 C．2 D．6【答案】B【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求得的值，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴∴，故选：B．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，实数的运算，求得的值是解题的关键．8．（2022春·八年级单元测试）用计算器探索：已知按一定规则排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数（

）A．3个数 B．4个数 C．5个数 D．6个数【答案】C【分析】通过实数的分母有理化对每项化简，再根据计算器，可得每个数的值，根据有理数的加法求出大于3时，即可得答案．【详解】解：第一个数是1，第二个是，前两项和为；第三个数是，前三项和为，第四个数是，前四个数的和为；第五个数是，前五个数的和为满足条件；所以可以把这些数加起来，至少要5个数和才大于3，故选：C【点睛】本题属于探究类题型，主要是考察实数的化简和对计算器的使用，难度一般.9．（2023·全国·八年级假期作业）小华编写了一个程序：输入x→立方根→算术平方根→2，则x为___．【答案】64【分析】反向递推法．算术平方根是2，则这个数是4，立方根为4，则这个数是64．【详解】∵2是4的算术平方根，64的立方根为4，∴输入的数为64．故答案为：64．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的含义和反向求解的知识点，用反向递推法是解题的关键．10．（2022秋·七年级单元测试）________．【答案】【分析】根据算术平方根和立方根的定义解答即可．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，属于应知应会题型，熟练掌握二者的概念是解题的关键．11．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．【答案】【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．12．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）规定用符号表示一个数的整数部分，例如，，按此规定______．【答案】2【分析】先求出的范围，再求出的范围，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，解题的关键是估算得出．13．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．【答案】【分析】读懂新定义，利用新定义计算．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查新定义实数的运算，解题的关键是理解新定义的运算方法．14．（2023·湖北·一模）观察下列二次根式的化简：；；；则______．【答案】【分析】根据规律确定，然后计算求解即可．【详解】解：由题意知，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律题．解题的关键在于根据题意推导出．15．（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用算术平方根、立方根将原式化简，再算乘法，最后算加减即可；（2）先利用绝对值将原式化简，再进行加减运算即可．【详解】（1）解：；（2）．【点睛】本题考查实数的