第15讲弧长及扇形面积(原卷版+解析)

第15讲弧长及扇形面积1．掌握弧长的计算公式；2．掌握扇形的面积计算公式；知识点、弧长及扇形的面积设的半径为，圆心角所对弧长为，（一）弧长的计算（1）弧长公式：（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角所对弧长时，不要错写成（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。（二）扇形面积的计算（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。（3）公式推导：①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是②即其中为扇形的弧长，为半径。点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。考点一：求弧长例1．若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为9，则劣弧的长为（）

A． B． C． D．2．圆心角为的扇形面积为，则该扇形的弧长等于________．3．如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，连接、．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，求的长（结果保留）．考点二：求扇形半径例2．一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【变式训练】1．如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（

）A．4 B． C．5 D．2．如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是________．

3．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？考点三：求某点的弧形运动路径例3．长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（）

A． B． C． D．【变式训练】1．如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（）A． B．2π C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为旋转中心，将点逆时针旋转到点的位置，则的长为______．3．如图，在的正方形网格中，，，，均在网格的格点上．(1)平移线段，使得点与点重合，画出平移后的线段；(2)绕点顺时针旋转，画出旋转后的三角形，点旋转所经过的路线长为__________．考点四：求扇形面积例4．如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为(

)

A． B． C． D．【变式训练】1．如图，在矩形中，，分别以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．2．如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．

3．如图，在中，已知．(1)尺规作图；画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法），(2)连接若，求扇形的面积．考点五：求弓形面积例5如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．2．如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______结果保留．

3．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；(2)若，求图中阴影部分的面积．考点六：求其他不规则图形的面积例6．如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（）

A． B． C． D．【变式训练】1．如图，在半径为4的扇形纸片中，将其沿着直线折叠，使得点A和点O重合．直线与扇形交于点，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．2．如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）

3．已知：如图，为的直径，，交于点D，交于点E，．(1)求的大小；(2)若的半径为2．求图中阴影部分的面积．1．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（

）

A．6π B．2π C．π D．π2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是(

)

A． B． C． D．3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（

）

A． B． C． D．4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米5．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π6．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（

）A．9 B．6 C．3 D．127．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．8．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（

）A． B． C． D．29．（2023·浙江温州·统考中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．10．（2022·山东枣庄·统考中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为_____．（结果保留π）

11．（2022·吉林长春·统考中考真题）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为________厘米．（结果保留）12．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．13．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，已知的半径为2，是的弦．若，则劣弧的长为___________．14．（2022·广西玉林·统考中考真题）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．15．（2021·湖南邵阳·统考中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角的大小（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）1．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．2．一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（

）A． B． C． D．3．如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．4．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A，B两点．若厘米，则的长度为（

）A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米5．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心．，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．6．如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形．每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线．试求图中斐波那契螺旋线的长．（取3.14）（

）

A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.687．如图，扇形纸片的半径为，沿所在直线折叠扇形纸片，圆心恰好落在上的点处，则阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．8．如图，在半径为2、圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（

）

A． B． C． D．9．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度．10．一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为______．11．如图，在扇形中，，，于点O，交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为________．

12．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm．

13．如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是________米．（结果保留）

14．如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．

15．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，求该圆的半径．16．半径为2的圆中扇形AOB的圆心角为150°，请你在圆内画出这个扇形，并求它的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．(1)请画出关于原点对称的；(2)请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长．18．(1)求半圆形的面积（结果保留）(2)求图形的周长（结果保留）19．阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日作三角形的高线已知：如图1，．求作：的高线．今天，我们组的小明和小红的作法和我不同．小明：如图2，①作线段的垂直平分线找到线段的中点O；②以点O为圆心，的长为半径作圆；③延长交于点D；③连接．则线段就是的高线。小红：如图3，①以点B为圆心，的长为半径作弧；②以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线，延长与相交于点D．则线段就是的高线．我有如下思考：以上两种办法依据的数学原理是什么呢？任务：(1)填空：小明的作法依据的一个数学定理是______；(2)根据小红的操作过程，求证：是的高线；(3)在图2中，若延长线段交于点E，，，，请你直接写出的长．20．如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：

①为直径；②；③．(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是______，结论是______（填写序号），请说明理由．(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．

第15讲弧长及扇形面积1．掌握弧长的计算公式；2．掌握扇形的面积计算公式；知识点、弧长及扇形的面积设的半径为，圆心角所对弧长为，（一）弧长的计算（1）弧长公式：（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角所对弧长时，不要错写成（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。（二）扇形面积的计算（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。（3）公式推导：①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是②即其中为扇形的弧长，为半径。点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。考点一：求弧长例1．若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】据弧长公式计算即可．【详解】解：该扇形的弧长.故选：D．【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：，n为弧所对的圆心角，r为弧所在圆的半径．【变式训练】1．如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为9，则劣弧的长为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接；由圆内接四边形性质可得的度数，再由及三角形内角和定理可求得的度数，由圆周角定理可得的度数，最后由弧长公式即可求得结果．【详解】解：连接，如图；∵四边形是圆内接四边形，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：B．

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是关键．2．圆心角为的扇形面积为，则该扇形的弧长等于________．【答案】2π【分析】设扇形的半径是，先根据扇形面积计算公式求得，再根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：设扇形的半径是，由题意得：，解得：，∴扇形的弧长＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算等知识点，掌握扇形面积计算公式，弧长的计算公式是解答本题的关键．3．如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，连接、．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，求的长（结果保留）．【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析(2)的长为【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，确定，再由，确定，即可得出结论；（2）结合（1）的结论，说明，通过求得的长度，即可得出结论．【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下：证：∵是的外接圆，是直径，∴，∵的平分线交于点D，∴，∴，，∴为等腰直角三角形；（2）解：由（1）可得：，∴，∵，∴，∴，∴的长为．【点睛】本题考查圆周角定理，弧长计算等，理解直径所对的圆周角为直角，以及熟练运用圆周角定理和相关推论是解题关键．考点二：求扇形半径例2．一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于（为扇形弧长）进行求解即可【详解】解：设扇形的半径为r，由题意得，，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是解题的关键．【变式训练】1．如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（

）A．4 B． C．5 D．【答案】A【分析】延长，与直线交于E，连接，设弧长为所对的圆周角为，根据题意得出，，利用三角形内角和定理求得，即可求得弧长为所对的圆心角为，代入弧长公式即可求得的半径．【详解】解：延长，与直线交于E，连接，，，的长分别为，和，的长为，的长为，设弧长为所对的圆周角为，则，，，，，，弧长为所对的圆心角为，，，故选：A．【点睛】本题考查了弧长的计算，三角形内角和定理，求得弧长为所对的圆心角是解题的关键．2．如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是________．

【答案】【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．【详解】设扇形的半径为，则解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图问题，解答本题的关键是确定“底面周长=展开图的弧长”这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．3．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？【答案】8.5m【分析】由弧长公式l＝得到关于R的方程，解方程即可【详解】解：由l＝，可知R＝＝≈8.5（m）．∴这段圆弧所在圆的半径R是8.5米．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．考点三：求某点的弧形运动路径例3．长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据弧长公式进行计算便可．【详解】解：点旋转的路径长为，故选：C．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【变式训练】1．如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（）A． B．2π C． D．【答案】C【分析】连接，由垂径定理知，则点P在以为直径的上运动，设与交于点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为的长，利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：连接，∵点P为的中点，∴，∴点P在以为直径的上运动，设与交于点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为的长，∵，的半径为8，∴，，∴点P所经过的路径长为，故选：C．【点睛】本题主要考查了动点的运动轨迹，垂径定理，圆周角定理等知识，确定点P的运动路径是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为旋转中心，将点逆时针旋转到点的位置，则的长为______．【答案】【分析】由点，可得的长，点在第一象限的角平分线上，可得，再根据弧长公式计算即可．【详解】，，点在第一象限的角平分线上，以点为旋转中心，将点逆时针旋转到点的位置，，的长为，故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键本题中求出以及也是解题的关键．3．如图，在的正方形网格中，，，，均在网格的格点上．(1)平移线段，使得点与点重合，画出平移后的线段；(2)绕点顺时针旋转，画出旋转后的三角形，点旋转所经过的路线长为__________．【答案】(1)见解析(2)画图见解析，【分析】（1）根据平移的性质找到点B的对应点，再画出图形；（2）找到旋转后的对应点，依次连接，再根据旋转找到点B经过的路线，利用弧长公式计算即可．【详解】（1）解：如图，线段即为所求；（2）如图，即为所求．点旋转所经过的路线为弧，∵，∴路线长为．【点睛】本题考查了平移作图和旋转作图，勾股定理，求弧长，解题的关键是正确画出图形，找到正确的路线．考点四：求扇形面积例4．如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等六边形的性质计算出的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．【详解】解：过B点作垂线，垂足为G

根据正六边形性质可知，∴∴，∴故选：A．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，含30度角的直角三角形等知识，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．【变式训练】1．如图，在矩形中，，分别以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，阴影部分的面积是长方形的面积减去两个圆的面积，由此即可求解．【详解】解：∵矩形中，，∴，，以点为圆心，为半径画弧，∴，，∴阴影部分的面积为，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆与几何的综合，求不规则图形的面积，掌握矩形的性质，圆面积的计算方法，图形结合求不规则图形的面积的方法是解题的关键．2．如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．

【答案】/【分析】连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，据此求解即可．【详解】解：连接，如下图：∵四边形是矩形，，∴，，，∴，，∴扇形的面积为：，∵的面积为：，∴阴影部分的面积为：．矩形的面积为，该点取自阴影部分的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．3．如图，在中，已知．(1)尺规作图；画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法），(2)连接若，求扇形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先画出该三角形两条垂直平分线，相交于点O，以为半径画圆即可；（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出，再根据扇形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）∵∴，∵，∴，即，解得：，∴．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的定义以及求扇形面积，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及扇形面积公式：．考点五：求弓形面积例5如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，，根据，计算即可．【详解】解：连接，，如图，∵是直径，，∴，∵，∴，故选C．【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．【变式训练】1．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案．【详解】解：连接，

∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．2．如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______结果保留．

【答案】/【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：连接、，过点作于点，

由题意可知：，，为等边三角形，，，，，，，，阴影部分的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．3．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，从而得证；（2）根据扇形面积减三角形面积计算即可．【详解】（1）证明：∵弦绕点顺时针旋转得到，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：设的半径为，由（1）知：是等腰直角三角形，∵，∴，即，解得：，∴图中阴影部分的面积：，∴图中阴影部分的面积为．【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积的计算是解题的关键．考点六：求其他不规则图形的面积例6．如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，利用勾股定理求出，根据，计算即可．【详解】解：如图，连接，

四边形是平行四边形，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．【变式训练】1．如图，在半径为4的扇形纸片中，将其沿着直线折叠，使得点A和点O重合．直线与扇形交于点，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，设直线l交于点D，根据折叠的性质可得，，从而得到是等边三角形，再由阴影部分的面积为，即可求解．【详解】解：如图，连接，设直线l交于点D，

根据题意得：，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴阴影部分的面积为．故选：A．【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，等边三角形的判定和性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．2．如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）

【答案】【分析】利用矩形的性质求得，进而可得，然后根据解答即可．【详解】解：∵四边形是矩形，，，E为的中点，∴，，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为的扇形面积是解题关键．3．已知：如图，为的直径，，交于点D，交于点E，．(1)求的大小；(2)若的半径为2．求图中阴影部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）的度数等于，因而求的度数就可以转化为求和，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出；（2）连接，首先证明出是等腰直角三角形，然后得到，最后根据求解即可．【详解】（1）解：∵是的直径，∴．又∵，∴．又∵，∴．∴；（2）连接，∵，，，∴是等腰直角三角形，∵点O是的中点，∴∴．【点睛】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用，掌握直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．1．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（

）

A．6π B．2π C．π D．π【答案】D【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．【详解】解：∵直径AB=6，∴半径OB=3，∵圆周角∠A=30°，∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，∴的长是=π，故选：D．【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是．2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴．故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率免一次作业对应区域的面积大圆面积进行求解即可.【详解】解：由题意得，大圆面积为，免一次作业对应区域的面积为，∴投中“免一次作业”的概率是，故选B．【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键．4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米【答案】C【分析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．【详解】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，

∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，∴优弧所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，∴花坛的周长为2×＝8π（米），故选：C．【点睛】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．5．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【答案】D【分析】连接、，证出是等边三角形，根据勾股定理求出，再由弧长公式求出弧的长即可．【详解】解：连接、，六边形为正六边形，，，为等边三角形，，，，的长为．故选：D．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．6．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（

）A．9 B．6 C．3 D．12【答案】A【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则．【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCE=45°，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE=45°，∴∠EOC=90°，∴OE垂直平分BC，∴BE=CE，∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．7．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案．【详解】过点A作AF⊥BC，交BC于点F．∵△ABC是等边三角形，BC=2，∴CF=BF=1．在Rt△ACF中，．∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．8．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．【详解】解：连接CD，如图所示：∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，由题意得：AC=CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，∴的长为：＝，故选：B．【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．9．（2023·浙江温州·统考中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．【答案】【分析】根据弧长公式即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，∴它的弧长为，故答案为：．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．10．（2022·山东枣庄·统考中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为_____．（结果保留π）

【答案】【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．11．（2022·吉林长春·统考中考真题）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为________厘米．（结果保留）【答案】/【分析】直接根据弧长公式进行计算即可．【详解】，，故答案为：．【点睛】本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键．12．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．【答案】【分析】连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE=50°，半径为1，代入弧长公式计算即可．【详解】连接OE，OD，∵，OB=OD，OA=OE，∴∠B=∠ODB=65°，∠A=∠OEA=50°，∴∠BOD=50°，∠AOE=80°，∴∠DOE=50°，半径为1，的长是．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．13．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，已知的半径为2，是的弦．若，则劣弧的长为___________．【答案】【分析】根据条件可证为直角三角形，得到，之后利用弧长公式即可得到答案．【详解】解：由题知，，，，劣弧．故答案为：．【点睛】本题主要考查勾股定理，弧长的公式，掌握弧长的公式是解题的关键．14．（2022·广西玉林·统考中考真题）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．【答案】1【分析】根据题意结合图象得出AB=AD=1，，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即可．【详解】解：根据图象可得：AB=AD=1，，∴，故答案为：1．【点睛】题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．15．（2021·湖南邵阳·统考中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角的大小（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）【答案】（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2．【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求弧长，利用弧长公式求即可；（2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm，利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可．【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x，∴弧长，∴，∴=90°；（2）∵ED=5cm，∴AD=2ED=10cm，∵，=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵，∴BD=CD=AD=10cm，∴BC=BD+CD=20cm，∴S△BAC=cm2，∴，∴S阴影=S△BAC-=（100-）cm2．【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键．1．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据扇形的面积计算公式计算即可．【详解】解：由题意得：故选C．【点睛】本题主要考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积计算公式是解决本题的关键．2．一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据弧长公式，其中n为圆心角，r为半径，代入数值即可求解．【详解】解：根据题意得到，解得，即扇形的圆心角度数为．故选：C【点睛】此题考查了弧长公式，数量掌握弧长公式是解题的关键．3．如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，，，再由即可求出答案．【详解】解：在中，，，，∴，，∴，∴图中阴影部分的面积是．故选：A【点睛】此题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积等知识，准确计算是解题的关键．4．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A，B两点．若厘米，则的长度为（

）A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米【答案】B【分析】直接根据弧长公式进行计算即可．【详解】，，故选：B．【点睛】本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心．，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据扇形面积的计算方法，计算圆环的面积即可求解．【详解】解：圆心角，，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，理解图示，掌握扇形面积的计算方法，圆环面积的计算方法是解题的关键．6．如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形．每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线．试求图中斐波那契螺旋线的长．（取3.14）（

）

A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68【答案】B【分析】分别计算6段圆弧的长，然后求和即可．【详解】解：若半径为，则四分之一圆弧长为，由图可知，，1，2，3，5，8，则6段圆弧的长分别为：，，，，，，∴图中斐波那契螺旋线的长为6段弧长之和，即．故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化规律及弧长公式，找出这组数列中的规律是解决本题的关键．7．如图，扇形纸片的半径为，沿所在直线折叠扇形纸片，圆心恰好落在上的点处，则阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，交于点，证明四边形是菱形，可得是等边三角形，，进而根据扇形面积减去菱形的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接，交于点，

依题意，∴四边形是菱形，又∴是等边三角形，∴∴∴阴影部分面积,故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质，求扇形面积，菱形的性质与判定，根据题意得出是等边三角形，是解题的关键．8．如图，在半径为2、圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】当点D在线段上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接，过点C作于点H，如图，分别求出最小阴影部分面积比较即可得到阴影部分最小面积．【详解】当点D在线段OA上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接OC、BC，过点C作于点H，如图，

，，∵，∴．；线段、与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为．故答案为．【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆心角定理以及三角形及扇形的面积求法，讨论动点的位置作辅助线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键．9．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度．【答案】60【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案．【详解】解：设扇形圆心角的度数为，，扇形的半径为6，．故答案为：60．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式：．10．一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为______．【答案】9【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：个扇形的圆心角为，弧长为，设此扇形的半径为r，则，解得，，故答案为：9．【点睛】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式，准确计算．11．如图，在扇形中，，，于点O，交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】【分析】设交于点R，过点R作于点T，求出，，根据，求解即可．【详解】解：如图，设交于点R，过点R作于点T，

∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴==故答案为：．【点睛】本题考查扇形的面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．12．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm．

【答案】【分析】利用弧长公式计算即可．【详解】解：重物上升的高度为：，故答案为：．【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．13．如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是________米．（结果保留）

【答案】【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；【详解】故填：．【点睛】本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键．14．如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】/【分析】连接，得到，求出，证得，得到，求出，再根据公式即可得面积．【详解】解：连接，

由旋转知，∴，∴，∴，∴，即为等腰直角三角形，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】此