2025-2026学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若复数z满足z=i2023+1，则|z|=（）A. B. C.2 D.12.如图所示的正方形O′A′C′B′的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（）A.

B.8cm2

C.

D.16cm23.已知单位向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知a,b,l为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若a⊥α，b∈β，α∥β，则a⊥b

B.若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=l,则l⊥α

C.若α∥β，a∈α，b∈β，则a∥b

D.若α⊥β，α∩β=l,a⊂α，b⊂β，a⊥b,则a,b至少有一条与直线l垂直5.某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.6.设一组样本数据x1，x2，…，xn的极差为1，方差为0.1，若数据ax1+b,ax2+b,…，axn+b的极差为2，则数据ax1+b,ax2+b,…，axn+b的方差为（）A.0.02 B.0.04 C.0.2 D.0.47.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是棱CC1的中点，D是棱BC上一点，若A1B∥平面ADE，则三棱锥A-BDE与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为（）A.

B.

C.

D.

8.已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件A为“第一次摸出球的编号为奇数”，事件B为“摸出的两个球的编号之和为5”，则（）A.事件A与事件B为互斥事件 B.事件A与事件B为独立事件

C. D.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（）A.若sinB＞sinC，则B＞C

B.若△ABC面积为，则

C.若tanA+tanB+tanC＜0，则△ABC为钝角三角形

D.若a•tanB=b,则△ABC为直角三角形11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为空间为一动点，则下列说法正确的是（）A.当P在线段AC上时，三棱锥P-A1BC1的体积为定值

B.当P为CD中点时，过A，P，C1三点作正方体的截面Ω，则截面Ω的面积为5

C.当P在底面ABCD内（包括边界），满足直线PC1与面A1B1C1D1所成角为60°的点P的轨迹长度为

D.若，当三棱锥A-PBD体积最大时，该三棱锥外接球的表面积是8π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从小到大排列的5个数分别是1，x,4，7，11，它们的40%分位数是3，则它们的平均数是

.13.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2CD=3，AD=2，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______.14.如图，在△ABC中，，D，E，F分别为三边中点，将△BDE，△ADF，△CEF分别沿DE，EF，DF向上折起，使A，B，C重合为点P，设三棱锥P-DEF的外接球为球O，Q为DF中点，则过点Q的平面被球O所截得的截面面积最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，平行四边形OADB中，AB与OD相交于点C，设向量，，且，.

（1）用表示，，.

（2）若||=4，，，求与的夹角的余弦值.16.(本小题15分)

某中学举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数（结果保留整数）.

（2）若甲、乙两位同学组队进入复赛闯关，复赛共两轮答题，每轮每人各答1题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，甲、乙每轮是否答对互不影响，甲乙两轮共答对至少3题则组队闯关成功，求甲乙组队闯关成功的概率.17.(本小题15分)

如图1所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点M，N分别在线段AB，AC上，且AM=2MB，AN=2NC.如图2所示，将△AMN沿MN折起到△PMN的位置，使得二面角P-MN-B的大小为60°，连接PB，PC.

（1）求证：MN∥面PBC；

（2）求证：平面PBN⊥平面BCNM；

（3）求直线MP与平面PBN所成角的正弦值.18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知acosC+（2b+c）cosA=0，D为边BC上一点.

（1）求A；

（2）若AD是∠BAC的平分线，a=7，△ABC的周长为15，求AD的长度；

（3）若，设，求k的取值范围.19.(本小题17分)

离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P处的离散曲率为，其中Qi（i=1，2，⋯，k,k≥3）为多面体Γ的所有与点P相邻的点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，⋯，平面Qk-1PQk，平面QkPQ1为多面体Γ的所有以P为公共点的面.已知平面多边形ABCDE的外接圆圆心O为AD与BE的交点，如图①，且AB=AE=，将△EAD沿AD翻折到△PAD如图②，连接PB，PC.

（1）求四棱锥P-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和；

（2）已知直线PB与直线CD所成角的余弦值为.

①求四棱锥P-ABCD在顶点A处的离散曲率；

②设Q为线段PD上的动点（不包括端点），QA与平面ABCD所成角为α，二面角Q-AC-D的平面角为β，其中，求tan（β-α）的最大值.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】ABC

11.【答案】ACD

12.【答案】5

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】=+，=（+），=-

16.【答案】a=0.03，中位数为73

17.【答案】∵AM=2MB，AN=2NC，

∴，

∴MN∥BC，又MN⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

∴MN∥平面PBC

由题意可知，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC．

∵MN∥BC，∴MN⊥AB．

翻折后垂直关系没变，仍有MN⊥PM，MN⊥BM，

又PM∩BM=M，PM，BM⊂平面PBM，∴MN⊥平面PBM．

又PB⊂平面PBM，∴PB⊥MN．

又∵MN⊥PM，MN⊥BM，