2025-2026学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.这一组数据：12，15，9，7，18，20，15的中位数为（）A.13 B.14 C.15 D.162.已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（）A.x=-1 B. C. D.x=13.已知集合M={-1，0，1，2，3}，，则M∩N=（）A.{0，2} B.{-1，1，3} C.{-1，1} D.{1，2，3}4.函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为（）A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=x+1 D.y=x-15.已知点在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，则C的焦点与点（1，2）之间的距离为（）A.4 B. C.2 D.6.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座.已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（）

A.17 B.18 C.19 D.207.若函数f（x）=axlnx（a∈R）的最小值为-1，则实数a=（）A. B.e C.4 D.8.已知集合M={1，2，…，9}，现随机选取M中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为X，则随机变量X的数学期望是（）A. B. C. D.2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.复数z1，z2，已知，，下列说法正确的是（）A.复平面内与z1对应的点在第三象限 B.|z2|=1

C. D.10.在矩形ABCD中，，将△ACD沿AC折起，使点D到达点P的位置，得到三棱锥P-ABC.若AP⊥BC，则（）A.BP=1 B.三棱锥P-ABC外接球的表面积为

C.直线AB与直线CP所成的角为60° D.平面ACP与平面ABC的夹角为45°11.已知三点A（-1，2），B（-3，0），C（2，-2），圆O：x2+y2=1，则下列说法正确的是（）A.若点P在圆O上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最小值为21

B.圆O与圆D：（x-2）2+（y-1）2=4的公共弦长为

C.若点Q在直线AB上，过Q作圆O的切线QM，QN，切点分别为M，N，则sin∠MQN的最大值为

D.若点Q在直线AB上，过Q作圆O的切线QM，QN，切点分别为M，N，则点C到直线MN的距离的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线的离心率为______．13.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点（，0）对称，且在区间（0，π）上单调，则ω的值为

.14.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2，若此时x1+x2+…+xk=363，则x1=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P为BC的中点.

（1）证明：A1B∥平面APC1；

（2）求点A1到平面APC1的距离.16.(本小题15分)

如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a=4，，B=30°.

（1）求sinC的值；

（2）若D为边BC上一点，且，求BD的长.17.(本小题15分)

小溪同学参加一个投篮测试，其规则是；有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为.

（1）求小溪同学在前3次投篮中就通过测试的概率；

（2）记X为小溪同学测试结束时投篮的次数，求X的分布列及数学期望E（X）；

（3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率.18.(本小题17分)

已知椭圆的长轴长为4，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）椭圆C的左右顶点分别为A1，A2，P是直线x=4上一点，直线PA1，PA2分别交椭圆于点M，N两点，连接MN交x轴于点D.

（i）当∠A1PA2最大时，求点P的坐标；

（ii）若，求λ的取值范围.19.(本小题17分)

若定义在R上的函数y=f（x）和y=g（x）分别存在导函数f′（x）和g′（x），且对任意x均有f′（x）≥g′（x），则称函数y=f（x）是函数y=g（x）的“导控函数”.我们将满足方程f′（x）=g′（x）的x0称为“导控点”.

（1）试问函数y=x是否为函数y=sinx的“导控函数”？

（2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数y=4x2的“导控函数”，求出所有的“导控点”；

（3）已知函数y=f（x）和y=g（x）都是定义在R上的偶函数，且y=g（x）是函数y=f（x）的“导控函数”，证明：g（x）-f（x）=c恒成立（c为常数）.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】7

15.【答案】连接A1C，交AC1于点O，连接PO，则O为A1C的中点，

又点P为BC的中点，所以PO∥A1B，

而PO⊂平面APC1，A1B⊄平面APC1，

所以A1B∥平面APC1

16.【答案】；

．

17.【答案】

分布列如下：X2345P

18.【答案】

（i）或；（ii）（1，9）

19.【答案】是

2

函数y=f（x）和y=g（x）都是定义在R上的偶函数，

且y=g（x）是函数y=f（x）的“导控函数”，

因此g′（x）≥f′（x），又g（x）=g（-x），f（x）=f（-x），

因此函数y=g（-x）是函数y=f（-x）的“导控函数”，

-g′（-x）≥-f′（-x），即g