2025-2026学年河北省石家庄市平山中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省石家庄市平山中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（）A.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β

B.若α∩β=m,n∥m,则n∥α

C.若m⊂α，n⊂β，m⊥n,则α⊥β

D.若m⊂α，m⊥β，则α⊥β2.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=1，O′A′⊥A′B′，则AB=（）A.3

B.

C.

D.3.某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》.若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（）A.25 B.30 C.35 D.504.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（）A. B. C. D.5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱CC1=4，点E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线EF和AD1所成角的正弦值为（）A.

B.

C.

D.

6.已知a,b∈N*，若一组数据1，2，a,b,4的平均数为2，则该组数据的中位数为（）A.1.5 B.2 C.2.5 D.37.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x,如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1，若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为（）A. B. C. D.8.一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的是（）A.一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60

B.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23

C.若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2，现样本中又加人一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大

D.若样本数据x1，x2，⋯，x10的方差为8，则数据2x1-1，2x2-1，⋯，2x10-1的标准差为10.设A，B是两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（）A.若A，B是互斥事件，则

B.若B⊆A，则

C.若A，B是相互独立事件，则

D.若，则A，B是相互独立事件11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1B1中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为α.当A，P，C三点共线时，，则（）A.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为64

B.当AB的中点在α上时，截面图形的面积为

C.记MP的中点为Q，CQ的最小值为

D.B1P+PC的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析.已知该学校高一学生中男生和女生的比例是4：3，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是

.13.某样本中5个数据的平均数为10，方差为6.现增加一个数据10，则这6个数的方差为

.14.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校高二年级500名学生的学考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150].

（1）求图中a的值；

（2）估计这500名学生的这次考试数学成绩的中位数，第80百分位数；

（3）估计这500名学生的这次考试数学成绩的平均数.16.(本小题15分)

为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间[2，12]之间（单位：小时）.

（1）将全校男生一周内运动时长分为[2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数y；

（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差s2.17.(本小题15分)

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC=，若AB：BB1=：1.

（1）若BC的中点D，求证：AD⊥平面BCC1B1；

（2）求直线AB1与平面BCC1B1所成的角的大小.18.(本小题17分)

算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、…，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A=“表示的三位数能被5整除”，B=“表示的三位数能被3整除”.

（1）求事件A，B的概率.

（2）求事件A∪B、A∩B的概率.19.(本小题17分)

如图（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使AB=2，如图（2）.

（1）证明：EF∥平面ABCD；

（2）证明：平面EFCB⊥平面ABE；

（3）求CD与平面EFCB所成角的余弦值.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】AD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】168

13.【答案】5

14.【答案】8π

15.【答案】0.0050；

90，122；

94

16.【答案】平均数为7.3；中位数为

4.3

17.【答案】）证明：取BC的中点D，连接AD，B1D，

由AB=AC，则AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，

所以AD⊥平面BCC1B1；

45°

18.【答案】解：（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是，要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，而这些数中个位数是5的数的个数为，所以事件发生的概率.由题意要使得组成的三位数能被3整除，则