广东深圳市南山区2025-2026学年第二学期期末检测高一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东深圳市南山区2025-2026学年第二学期期末检测高一数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数的共轭复数为（

）A. B. C. D.2.样本数据2，4，2，12，11的中位数和极差分别为（）A.2和9 B.2和10 C.4和9 D.4和103.已知在平面直角坐标系中,点A,B,C,D如图所示,则2+=()

A.(7,5) B.(1,5) C.(5,7) D.(5,1)4.已知两点到平面的距离分别为2和4，则线段的中点到的距离为（

）A.1 B.2 C.3 D.1或35.已知的直观图是等腰直角三角形，如图所示，其中，则（

）

A.1 B.2 C. D.36.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A. B. C. D.8.从0，1，2，3，4这5个数字中选3个不同的数字组成三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量，的夹角为，且，，则（

）A. B. C. D.10.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件“两次投掷的点数之和为偶数”为，事件“两次投掷的点数之和为3的倍数”为，事件“第一次投掷的点数不超过4”为，则（

）A.与互斥 B. C. D.与相互独立11.已知正方体的棱长为分别是的中点，点在正方体表面运动，且，设点均在动球的球面上，则（

）

A.四面体的体积为 B.存在点，使得平面

C.点的轨迹长度为 D.球的表面积最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某班级女生和男生人数之比为，若某次考试的班级平均分为80，且男生平均分为78，则女生平均分为

．13.已知圆锥的母线长为其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为

．14.已知正三角形的边长为3，且，过点且垂直于的直线交的外接圆于两点，若点为边上的动点，则的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知在中，．(1)求；(2)设为的中点，求．16.(本小题15分)如图，在正三棱柱中，为的中点．(1)证明：//平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．17.(本小题15分)某学校开展了数学建模比赛活动，从全体参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分成6组：，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在内的学生的平均成绩为分．(1)求a的值（保留三位小数）；(2)由频率分布直方图估算全体参赛者成绩的第80百分位数；(3)先按成绩进行分层，通过分层随机抽样的方法，从区间抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求恰有1人测试成绩位于区间的概率．18.(本小题17分)如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离；(3)若，求二面角的正切值的取值范围．19.(本小题17分)以法国数学家布洛卡命名的布洛卡点是三角形内部的特殊点，其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．(1)若，且，求的大小；(2)证明：；(3)若，求的最大值．

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】AB

12.【答案】82.5

13.【答案】

14.【答案】5

15.【答案】解：（1）在中，，由，得.由余弦定理可知，故，于是，，所以.（2）为中点，则，.在

中，解得.在中，由正弦定理，.

16.【答案】解：(1)连接交于点，连接，在矩形中，为的中点，又因为为的中点，所以，又平面，平面，所以//平面；

​​​​​​​（2）在正三棱柱中，底面，因为底面，所以，又因为为正三角形，为的中点，所以，因为，平面，所以平面，所以直线与平面所成角为，在中，，在中，，所以在中，

17.【答案】解：（1）由频率分布直方图知，成绩在内的频率分别如下，为，，，，对应的频数分别为.所以成绩在内的学生的平均成绩为，整理得，解得.（2）因为成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，所以全体参赛者成绩的第80百分位数在内.设全体参赛者成绩的第80百分位数为，则，解得.（3）成绩在区间内的频率分别如下，为，所以频率比为.所以按分层抽样的方法，从区间抽取的5人，来自区间内的有1人，记为；来自区间内的有3人，分别记为；来自区间内的有1人，记为，从这抽取的5人中随机抽取2人，样本空间为，记恰有1人测试成绩位于区间为事件，则，所以.即恰有1人测试成绩位于区间的概率为.

18.【答案】解：(1)因为，，则，故，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；

​​​​​​（2）因为平面，平面，所以，因为，，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以，因为，，所以，则，设点到平面的距离为，则由，平面可得，，则，则点到平面的距离为（3）过点作，垂足分别为，连接，

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，则是二面角的平面角，设，在中，，因为，所以，则，因为，所以，则，故二面角的正切值的取值范围为.

19.【答案】解：（1）由，故，