2026学年北京市朝阳区高三数学高考一模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

高三数学高考一模模拟试卷2025-2026学年北京市朝阳区高三数学高考一模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：________________班级：________姓名：________考号：________考试时间：120分钟满分：150分适用：高三一模检测日期：________注意事项：1．本试卷依据北京市高三数学高考一模阶段检测要求编制，分为选择题、填空题和解答题三部分。2．请将选择题答案填涂在答题卡相应位置，填空题和解答题写在规定作答区域内。3．解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程；只写结果且无过程的，按评分标准处理。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。题型选择题填空题解答题合计题量10题6题6题22题分值30分18分102分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）1．已知集合，，全集为R，则等于（）A．[2，3]B．[2，3)C．(2，3)D．[1，2]2．复数，则的值为（）A．√5/2B．3/2C．√10/2D．√103．函数在点处的切线方程是（）A．y=0B．y=xC．y=−xD．y=14．在二项式的展开式中，项的系数为（）A．15B．24C．48D．605．若角，且，则的值为（）A．−1/2B．−1/4C．1/4D．1/26．已知平面向量，，，则等于（）A．√3B．√5C．√7D．37．三棱锥中，两两垂直，且，则该三棱锥的体积为（）A．1/3B．2/3C．4/3D．28．事件A，B相互独立，且，，则等于（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.69．若函数在处取得极小值，则实数a的值为（）A．−1B．1C．2D．310．双曲线的一条渐近线斜率为，且点在C上，则C的离心率为（）A．√2B．√3C．3/2D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案填写在题中横线上。）11．若函数满足，则____________。12．在的展开式中，项的系数是____________。13．已知向量，，若，则____________。14．数列满足，，则____________。15．一批6件产品中有2件次品，从中不放回地随机取2件，至少取到1件次品的概率为____________。16．圆的切线中，实数的取值为____________。三、解答题（本大题共6小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知，，。（1）求角C与边a的值；（2）求三角形ABC的面积S及其内切圆半径r。18．（本小题17分）已知数列满足，。（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求。19．（本小题17分）某校为了解高三学生一模阶段数学复习效果，从本年级随机抽取100名学生的模拟测试成绩（满分150分），整理得到如下频数分布表。成绩区间[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)[110，120)[120，130)[130，150]频数410182622146（1）用各组中点估计这100名学生成绩的平均数；（2）从成绩不低于120分的学生中随机抽取2人，求恰有1人成绩不低于130分的概率；（3）从成绩不低于120分的学生中随机抽取3人，记其中成绩不低于130分的人数为X，求X的分布列和数学期望。20．（本小题17分）如图形关系所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2。（1）证明：BC⊥平面PAB；（2）求直线PC与底面ABCD所成角的正弦值；（3）求点D到平面PBC的距离。21．（本小题17分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且点在椭圆E上。（1）求椭圆E的标准方程；（2）求椭圆E在点P处的切线方程，并求该切线与两坐标轴围成三角形的面积；（3）设过点N(4，0)的两条切线分别切椭圆于T1，T2，求弦T1T2所在直线的方程及其长度。22．（本小题17分）已知函数，其中。（1）讨论函数f(x)在R上的单调性；（2）若对任意x≥0恒有f(x)≥0，求a的取值范围；（3）当时，证明对任意，，并求的表达式及的值。

参考答案与解析说明：本部分按题号逐题给出答案、关键推理和评分标准。客观题每题3分；填空题每题3分；解答题每题17分，按步骤给分。一、选择题答案及简析题号12345678910答案BCADBCBCBD1．由得；，故交集为。2．化简，所以。3．有，，故，切线为。4．所求系数为。5．由，得。6．因为，所以答案为。7．三条棱可看作同一顶点引出的两两垂直棱，体积。8．独立性给出，解得。9．有。在处取极小值，需，且。10．由渐近线斜率得，故。代入点得，解得，。二、填空题答案及简析题号111213141516答案−1562313/5−3±√1011．由，，得。12．展开式中项系数为。13．垂直即数量积为0：，故。14．令，则，，故，。15．反面为两件均为正品，概率，故所求概率。16．圆心为，半径为。切线条件为，故。三、解答题答案详解与评分标准17．答案详解（1）由正弦定理，得，所以。又，故，于是。因此，再由正弦定理得。（2）面积。半周长，内切圆半径。评分标准：正弦定理与公共比计算3分；求出C=π/2得3分；求A与a得3分；面积公式与结果4分；内切圆半径公式、化简与结论4分。18．答案详解（1）将递推式两边同除以，得。令，则，且。所以是首项为2、公差为1的等差数列，，于是。（2），故。评分标准：正确变形递推关系4分；证明等差数列并写出首项、公差4分；得到通项公式4分；正确转化Tn并求和4分；书写规范与结论1分。19．答案详解（1）取各组中点75，85，95，105，115，125，140，则平均数估计为。（2）成绩不低于120分的学生共人，其中不低于130分的有6人，120至130分之间的有14人。所求概率为。（3）服从超几何分布，可能取值为0，1，2，3，且。X0123P91/28591/1907/381/57数学期望。评分标准：中点选取与加权平均计算5分；120分以上人数分类2分；第（2）问组合模型与概率结果4分；分布列各概率4分；期望公式与结论2分。20．答案详解（1）因为ABCD是正方形，所以BC⊥AB；又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC。AB与PA是平面PAB内两条相交直线，故BC⊥平面PAB。（2）由于PA⊥底面，点P到底面的垂足是A，直线PC在底面上的射影为AC，故直线PC与底面所成角为。正方形边长为2，，，所以。（3）以A为原点，AB、AD、AP方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，。平面PBC的一个法向量可取，故点D到平面PBC的距离为。评分标准：垂直关系证明5分；识别线面角并计算AC、PC5分；建立坐标系3分；法向量、点到面距离公式和结果4分。21．答案详解（1）设椭圆为。由焦点得，即。点在椭圆上，故。联立解得，，所以椭圆方程为。（2）椭圆在点处切线为。代入P得，即。该直线与坐标轴交于(4，0)与(0，2)，围成三角形面积为4。（3）点关于椭圆的接触弦方程可由极线关系得到：，即。将代入椭圆得，所以。因此所在直线为，长度为。评分标准：建立椭圆参数方程3分；联立并求出标准方程5分；切线方程与三角形面积4分；接触弦方程3分；交点与弦长2分。22．答案详解（1）。当时，恒成立，故f在R上单调递增。当时，的解为；当时，当时，所以f在上单调递减，在上单调递增。（2）若，则对有，且，故。若，则，函数在处取到区间内最小值。令，则，且，所以时最小值小于0，不合题意。故。（3）当时，。由第（2）问或由且，可得。积分得，因此。评分标准：导数求解2分；分类讨论单调性5分；第（2）问充分性证明3分、必要性证明4分；第（3）问不等式证明2分、积分表达式与S(1)结果1分。评分标准汇总与作答要点客观题评分标准：选择题每题3分，答案唯一。学生选出正确选项得3分；多选、错选或未选均不得分。阅卷时只看最终选项，不因草稿中出现正确推理但最终选项错误而给分。以下作答要点用于讲评与复盘。1．集合运算题重点考查一元二次不等式的解集、补集与交集。先由二次不等式得到闭区间，再根据集合B的描述得到其补集，最后取公共部分。易错处在于端点3属于B，因此不属于补集，答案区间右端应为开端点。2．复数题重点考查分母实数化与模的定义。计算时应同时乘以分母的共轭复数，得到实部与虚部后再求模。若直接把分子、分母模相除也能得到同一结果，但要注意分母模为根号2。3．导数几何意义题重点考查切线斜率和切点坐标。先算函数值确定切点纵坐标，再算导数确定斜率。若只求出导数而未代入切点，容易把切线误写成过原点以外的直线。4．二项式定理题重点考查指定项系数。应明确x的次数由选择几个x决定，其余因子由常数项2提供。计算组合数和常数幂时要同时保留，漏乘常数幂是本题常见失分点。5．三角恒等变换题重点考查平方关系。由正弦与余弦和的平方转化为二倍角正弦，题中角的范围用于保证条件可行并排除误判。最终只需计算二倍角正弦，不需要分别求出正弦和余弦。6．向量模长题重点考查数量积与夹角。展开差向量的平方时，夹角为120度，余弦值为负数，因此减去两倍数量积会转化为加项。符号处理错误会导致根号5或根号3等干扰结果。7．空间几何体体积题重点考查三条两两垂直棱构成的直角三棱锥体积。可把三条棱作为长方体从同一顶点出发的三条方向，体积为三条棱长乘积的六分之一。8．概率题重点考查独立事件与并事件公式。设B的概率为未知量，代入并事件概率公式并利用独立性化简。解方程后要检查概率值处于0到1之间。9．导数极值题重点考查极值点的一阶必要条件和二阶判别。先令导数在x=1处为0，得到参数值；再用二阶导数为正确认该点为极小值。只写参数值而不验证极值类型，讲评时应提醒补充。10．双曲线题重点考查渐近线、点在曲线上和离心率。由渐近线斜率得到a与b的比例，再用点的坐标代入方程求参数，最后根据c的平方等于a的平方加b的平方求离心率。填空题评分标准：填空题每题3分，只要求填写最终结果。若答案含多个取值，必须写全；若答案为分数或根式，等价化简形式可得分，但含义不清或漏写符号不得分。以下作答要点用于统一讲评口径。11．考查导数与参数求解。由导函数在0处的值建立一次方程，关键是e的0次方等于1。结果为负数，漏写负号不得分。12．考查二项式系数。此处常数项均为1，因此指定项系数就是组合数。若把二项式系数与项的系数混淆，应在订正中写出通项。13．考查向量垂直的数量积判定。按坐标对应相乘再相加，得到关于m的一次方程。若只写m=2但过程方向正确，填空题仍按结果给分。14．考查递推数列。通过计算或构造辅助数列均可得到第五项。直接逐项计算时应写清a2、a3、a4、a5，避免把递推中的加1遗漏。15．考查古典概型与对立事件。直接分类或利用反面事件均可。若写成小数0.6，也与三分之五等价；若只写组合式未化简，且表达无歧义，可按正确结果处理。16．考查圆的标准方程、点到直线距离公式和切线条件。由于绝对值方程有两个解，必须写出两个c的值；只写其中一个取值不得满分。解答题评分标准细化：解答题共6题，每题17分。阅卷按关键步骤给分，正确方法不唯一；若学生使用其他合理方法得到正确结论，应按同等数学价值给分。计算错误若未影响主要思想，可在相应计算步骤内扣分；证明题缺少必要依据时，不得只凭结论给满分。17．本题考查正弦定理、三角形面积与内切圆半径。第（1）问先建立正弦定理比例关系得6分，其中公共比计算3分，角C的判定3分；继续求出角A与边a得3分。第（2）问面积计算4分，半周长与内切圆半径计算4分。若学生把C误判为锐角或忽视三角形内角范围，应扣除角度判定相关分；若面积公式写对但根式化简有小误，可酌情保留方法分。18．本题考查递推数列的变形、等差数列判定与求和。第（1）问把递推式同除以相应的2的幂得4分，定义辅助数列并证明等差得4分，写出通项公式得4分。第（2）问将求和项化为关于k的一次式得3分，完成等差求和得3分，结论完整得2分。若辅助数列下标错位但后续逻辑一致，应根据实际有效步骤给分。19．本题考查频数分布表、古典概型、超几何分布与期望。第（1）问中点选取2分，加权平均列式2分，计算结果1分。第（2）问正确确定总体20人和目标6人得2分，列出恰有1人的组合式得3分，化简概率得2分。第（3）问写出取值范围得2分，分布列四个概率共5分，期望计算3分。若概率分母选错，应根据分类思想与组合数计算分别扣分。20．本题考查线面垂直、线面角与点到平面距离。第（1）问需指出BC分别垂直于AB和PA，且AB与PA在平面PAB内相交，从而推出线面垂直。第（2）问识别射影和线面角得2分，计算AC、PC得2分，求正弦值得3分。第（3）问建立坐标系3分，写出相关点坐标2分，求法向量3分，使用距离公式并得到根号2得3分。若不用坐标法而用等体积法，步骤完整同样给分。21．本题考查椭圆标准方程、切线方程和接触弦。第（1）问设标准方程并写出焦距关系得3分，代入点P得3分，解出a的平方和b的平方并写出方程得4分。第（2）问切线公式或导数法求切线得4分，截距与面积得2分。第（3）问写出接触弦方程得3分，求切点纵坐标并得到弦长得1分。若学生没有说明接触弦依据，但方程与切点均正确，可给主要计算分。22．本题考查导数分类讨论、恒成立问题和定积分。第（1）问求导2分，分a不大于0与a大于0讨论单调区间5分。第（2）问证明a不大于1时充分得3分，证明a大于1时存在反例或最小值小于0得4分。第（3）问用导数证明指数不等式得2分，写出积分原函数并代入上下限得1分。若学生使用凸性或切线性质证明不等式，论证严密同样得分。全卷给分口径：本卷满分150分，选择题30分、填空题18分、解答题102分。总分统计时先按小题得分相加，再核对各大题分值是否与卷头结构一致。书写不清导致无法辨认的结果不计分；但不同于参考解法的正确推理、正确计算与正确结论，应按相应步骤给分。考后订正要点与变式训练方向本节用于学生完成试卷订正和教师讲评时对应知识点。每条均围绕本题的核心方法、易混点与可迁移方向展开，不改变前文题目答案与评分标准。1．订正集合题时，应先把文字条件全部转化为数轴区间，再在同一条数轴上标出端点的开闭。遇到“或”连接的不等式，通常表示两个区间的并集；求补集时要先明确全集。本题的关键不在求根，而在判断端点3是否保留。变式训练可把二次不等式改为分式不等式或绝对值不等式，仍按“求解集、画数轴、做集合运算”的顺序处理。2．订正复数题时，应把“除以复数”统一看成“乘以共轭复数”。计算完成后要把结果整理成实部加虚部乘i的标准形式，再求模。若使用模的商性质，也要说明分母不为0。变式训练可把条件改为求共轭复数、求辐角范围或判断复数对应点所在象限，核心仍是代数化简与几何意义结合。3．订正切线题时，应区分“函数值给纵坐标”和“导数值给斜率”两个步骤。题中切点横坐标是0，不能把函数表达式中的x当作切线方程的x直接代入。变式训练可把函数改为指数函数、分式函数或复合函数，基本流程仍是先求点、再求斜率、最后写点斜式并化简。4．订正二项式题时，应从通项入手：确定取x的次数，再确定取常数项的次数。系数题既包含组合数，也包含常数项的幂，漏掉后者会得到干扰选项。变式训练可考查常数项、有理项或指定次数项，解题时先写通项，再用指数方程确定项号。5．订正三角题时，应熟记正弦、余弦和的平方与二倍角正弦之间的关系。此类题并不一定要求单独求出正弦和余弦，只要目标量能由整体关系得到即可。变式训练可把条件改为正弦减余弦、正切值或角的区间，学生应重点检查符号和角所在象限。6．订正向量题时，应把模长平方转化为向量自身的数量积。夹角为钝角时余弦为负，展开式中的符号最容易出错。变式训练可改为求和向量的模、单位向量的夹角或参数使两个向量垂直，核心是数量积公式、夹角余弦与模长之间的互化。7．订正空间体积题时，应把两两垂直的三条棱看成空间直角坐标系的三条轴向。直角三棱锥体积为长方体体积的六分之一，不能误用底面积乘高再忘记三分之一。变式训练可改变三条棱长，或要求外接球半径、表面积，仍需先建立清晰的空间结构。8．订正独立事件题时，应明确独立性只意味着交事件概率等于概率乘积，并不意味着两个事件互斥。并事件公式中要减去交事件概率。变式训练可给出条件概率、补事件概率或三事件关系，学生应先写出概率公式，再代入已知量解方程。9．订正极值题时，应先用导数为0确定候选点，再用二阶导数或导数变号确认极小值。若只满足导数为0，可能是极大值或非极值点。变式训练可把三次函数改为含参数的四次函数或分式函数，分类讨论时应明确参数取值对导数符号的影响。10．订正双曲线题时，应分清双曲线中a、b、c的关系与椭圆不同。渐近线给的是b与a的比例，点在曲线上给的是代入方程后的等式，两个条件合用才能确定离心率。变式训练可改为已知焦距、准线或焦点三角形，仍要围绕标准方程和基本量关系展开。11．订正导数填空题时，应先求导再代入指定点，不能先把x的值代入原函数后再求导。参数a出现在一次项中，求导后符号会发生变化。变式训练可给出切线斜率、法线斜率或极值点条件，本质都是把导数条件转化为参数方程。12．订正展开式填空题时，应区分二项式系数与项的系数。由于本题两个项前的系数都为1，所以二者数值相同；一旦二项式中出现常数倍或负号，必须把这些因子带入通项。变式训练可考查含参数的展开式，通过指定项系数反求参数。13．订正坐标向量题时，应按对应坐标相乘后求和。垂直条件是数量积为0，而不是两个坐标分别互为相反数。变式训练可把条件改为平行、夹角为锐角或模长为定值，解题中要分清数量积与坐标比例关系的适用场景。14．订正递推填空题时，可直接逐项计算，也可构造辅助数列。直接计算时每一步都要把上一项乘2后再加1；构造法则能更快看出通项。变式训练可把常数1改为含n的表达式，学生应判断是等差、等比还是需要叠加求和。15．订正古典概型题时，应优先考虑反面事件是否更简单。本题“至少一件次品”的反面是“两件都是正品”，样本总数保持从6件中取2件。变式训练可改为有放回抽取、分层抽样或恰有若干件次品，关键是明确抽取方式和样本空间。16．订正圆与直线题时，应先把圆的一般方程配方得到圆心和半径，再使用点到直线距离公式。切线条件会产生绝对值方程，因此通常有两个平行切线。变式训练可改为求切点、求过定点的切线或判断直线与圆的位置关系，仍以距离和半径比较为核心。17．订正解三角形题时，应把已知边角对应关系写清楚，避免把边b与角C、边c与角B混淆。利用正弦定理得到公共比后，角C的范围由三角形内角决定。面积和内切圆半径属于后续综合计算，关键是把半周长写对。变式训练可加入余弦定理、外接圆半径或边角互化，过程要保持符号和单位一致。18．订正数列题时，应观察递推式中同时出现a的倍数和2的幂，因而适合两边除以2的相应幂。得到等差数列后，通项由辅助数列还原到原数列。求和部分要先化简通项，再套用等差数列求和。变式训练可将递推项改为三倍关系或含n的幂，思路是先寻找能够消去主倍数的标准化形式。19．订正统计概率题时，应明确频数表中各区间代表一组数据，估计平均数时使用组中点。第（2）问和第（3）问的样本空间都限定在成绩不低于120分的20人中，不能把100人作为分母。超几何分布的分母是从20人中取3人的组合数，分子按目标人数和非目标人数分类。变式训练可改为样本均值、分层抽样或条件概率。20．订正立体几何题时，应先把底面和侧棱的垂直关系整理成线线垂直，再由两条相交直线推出线面垂直。求线面角时要找出直线在平面内的射影。点到平面距离可以用坐标法，也可以用等体积法，关键是计算法向量或体积时保持坐标与长度一致。变式训练可加入二面角、异面直线角或动点位置。21．订正圆锥曲线题时，应先由焦点信息确定c，再利用点在椭圆上建立第二个方程。切线方程可用标准切线公式，也可由隐函数求导得到。接触弦问题要求理解极线关系，若不熟悉，也可以设切点坐标并利用切线过定点建立方程。变式训练可改为中点弦、焦点弦或定点切线，注意区分椭圆和双曲线的参数关系。22．订正导数压轴题时，应把参数分类和区间限制结合起来。第（1）问在全体实数上讨论单调性，第（2）问只要求x不小于0时恒成立，因此要重新利用区间端点与最小值。第（3）问的不等式可由函数单调性推出，积分部分按原函数代入上下限。变式训练可改为对数函数、含参不等式或面积最值，核心仍是导数符号表和最值位置判断。考试作答规范与评阅口径1．选择题作答规范：学生应在答题卡对应题号处填涂一个选项。若在试卷上有演算过程，最终仍以答题卡选项为准。讲评时应要求学生把错误选项对应的误因写在题旁，例如端点开闭、符号方向、公式误用或计算疏漏，从而形成可追踪的错题记录。2．填空题作答规范：结果必须写在题目横线上或答题卡指定位置。数值答案可保留分数、根式或等价小数；含两个取值时必须全部写出，并用逗号或正负号表达清楚。若答案出现多余根、单位不明或符号无法辨认，评阅时应按结果含义是否唯一确定处理。3．解答题书写规范：每一问都应有独立的起始行，证明题要写出依据，计算题要保留关键变形。对于函数与导数问题，应先写定义域或讨论区间；对于解析几何问题，应先写曲线方程与点坐标；对于立体几何问题，应说明垂直、平行或坐标系建立的依据。4．步骤给分口径：同一小题中前一步计算错误导致后续结果连带错误时，若后续方法与逻辑仍正确，可保留后续方法分。若关键条件使用错误，例如把独立事件当成互斥事件、把椭圆参数关系写成双曲线参数关系，则相关步骤不得给满分。5．计算精度口径：本卷涉及根式、分数和组合数概率，原则上以准确值为主。若学生用小数表示，必须达到题目可辨认的等价精度。概率题中分数未约分但组合式正确、含义清楚，可视为正确；若分母样本空间错误，则不能因数值接近而给结果分。6．证明完整性口径：立体几何中的线面垂直、函数题中的恒成立、圆锥曲线中的切线与接触弦，都需要必要的逻辑链条。只写结论而没有说明依据，不能替代证明过程。若学生使用坐标法、向量法、综合法等不同方法，评阅时应看其推理是否足以推出结论。7．参数讨论口径：含参数问题应明确分类界点，并说明每一类中导数符号、方程解或几何量是否满足题设。分类不全会导致结论范围不完整；若最终范围正确但缺少必要性或充分性证明，应扣除相应论证分。8．图形与文字关系口径：本卷立体几何题用文字给出图形关系，学生可自行作图辅助。作图不作为给分对象，但图形标注应与题意一致。若图上关系与文字条件矛盾，应以文字题设为准，并在解答中重新确认垂直、平行、长度和点的位置。9．错题订正要求：完成订正时，不应只抄写正确答案，而应写出“错因、关键步骤、正确结论”三部分。选择题和填空题至少补充一行关键理由；解答题应重做出主要过程。教师讲评后可要求学生标注本题对应知识点，以便后续复习时按专题回看。10．分数核对口径：全卷各题得分相加后，应分别核对选择题30分、填空题18分、解答题102分三个小计，再核对总分150分。若某题出现多个解法并存，以最清晰且数学上有效的解法为评分依据；若同一过程前后矛盾，以最后明确写出的结论和可验证步骤为准。分层复盘安排基础层复盘：重点回看选择题1至6和填空题11至14，要求学生能独立写出公式依据和一步计算过程。集合、复数、导数、二项式、三角恒等变换、向量和简单递推都是一模阶段必须稳定得分的内容。复盘时可采用限时再做的方式，每题控制在3分钟以内，目的是提高基本运算的准确率和速度。提高层复盘：重点回看选择题7至10、填空题15至16以及解答题17至