2026届山东省九年级数学中考三模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

九年级数学中考三模模拟试卷2026届山东省九年级数学中考三模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校班级姓名考号________________________________________考试时间：120分钟满分：120分题型选择题填空题解答题总分分值30分18分72分120分注意事项：1．本试卷用于2026届九年级数学中考三模阶段考前检测，满分120分，考试时间120分钟。2．选择题每小题只有一个选项符合题意，请将选项填在答题位置；填空题只填写最终结果。3．解答题应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤；仅写结论不得相应步骤分。4．作图、证明、计算应保持卷面整洁，单位、取值范围和分类讨论应完整。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意）1．计算|−3|+(−2)²的结果是（）A．1B．5C．7D．132．已知实数a满足−1<a<0，下列大小关系正确的是（）A．a<−a<a²B．a<a²<−aC．a²<a<−aD．−a<a²<a3．下列二次根式的计算正确的是（）A．√12−√3=2√3B．√12−√3=√3C．√12÷√3=√3D．(√3)²=64．一次函数y=(m−1)x+2m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．m>1C．m<0D．m=0或m>15．如图形条件用文字表示：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且AD:DB=2:3，BC=10，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．56．一个不透明袋中有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中不放回任取2个，两球都是红球的概率是（）A．1/6B．1/4C．1/3D．1/27．在半径为6的圆中，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的长为（）A．6B．9C．6√3D．128．某班5名同学三模数学限时训练成绩为82，86，86，90，96。若再加入1名同学成绩x后，6人的平均数为88，则x为（）A．84B．86C．88D．909．不等式组2x−1≤5，(x+2)/3>1的解集是（）A．x≤3B．x>1C．1<x≤3D．1≤x<310．关于二次函数y=−x²+2x+3，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x=−1B．顶点坐标是(1，3)C．与x轴交于(−1，0)和(3，0)D．当x>1时，y随x增大而增大二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案填写在横线上）11．分解因式：x²−6x+9=__________。12．若反比例函数y=k/x的图象经过点(2，−3)，则k=__________。13．一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形的边数是__________。14．若关于x的一元二次方程x²−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=__________。15．已知方程组2x+y=7，x−y=2，则x+y=__________。16．一个扇形的半径为6cm，圆心角为120°，把它围成一个圆锥侧面，则该圆锥的体积为__________cm³（结果保留π）。三、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出必要的步骤、推理或说明）17．（8分）完成下列计算与解方程：

（1）计算|−3|+√12/√3−(1/2)⁻¹+(√5−2)⁰；

（2）解分式方程2/(x−1)+1/(x+1)=1。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18．（10分）为做好中考三模后的专项复习，学校准备购买A、B两种复习资料。已知购买3套A资料和2套B资料共需160元，购买2套A资料和3套B资料共需165元。

（1）求A、B两种资料的单价；

（2）若九年级某班计划用不超过650元购买两种资料共20套，且A资料的数量不少于B资料数量的2倍，求最多可以买多少套B资料。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19．（10分）九年级数学备课组对50名学生进行“中考三模后最需要突破的专项”问卷调查，结果如下表。专项数与式几何图形函数应用统计概率综合探究合计人数1012186450（1）求选择“函数应用”的学生所占百分比，并求其在扇形统计图中对应的圆心角度数；

（2）若全年级共有750名学生，估计选择“几何图形”或“综合探究”作为重点突破专项的学生人数；

（3）从选择“综合探究”的4名学生中随机抽取2名参加课堂板演，已知这4名学生中有2名男生、2名女生，求抽到的2名学生恰为一男一女的概率。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20．（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D为AB的中点。过点D分别作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。

（1）求AB、DE、DF的长；

（2）证明四边形CEDF是矩形，并求其面积；

（3）证明△AED∽△ACB，并求相似比。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21．（14分）已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)。

（1）求该二次函数的解析式及顶点坐标；

（2）若点P在该抛物线上且位于x轴上方，△PAB的面积为8，求点P的坐标；

（3）若把该抛物线沿y轴向上平移h个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点，求h的值。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________22．（18分）在平面直角坐标系中，抛物线y=−1/2x²+bx+c与x轴交于A(−2，0)、B(6，0)，与y轴交于C，O为坐标原点。点P(t，y)在该抛物线第一象限部分。

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）求△PAB面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）若∠PAB=∠OCB，求点P的坐标；

（4）抛物线上是否存在点M，使S△MAB=1/2S△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案与解析一、选择题答案与关键理由题号12345678910答案CBBACACCCC1．先求绝对值和乘方。|−3|表示点−3到原点的距离，值为3；(−2)²表示两个−2相乘，值为4。两项相加为7，因此只能选C。2．a在−1和0之间，所以a为负数，a²为正数，−a也为正数。比较a²与−a，可看a²+a=a(a+1)，其中a<0且a+1>0，乘积小于0，故a²<−a，结论为a<a²<−a。3．化简二次根式时先把被开方数分解为平方因数与非平方因数的乘积。√12=√(4×3)=2√3，所以√12−√3=(2−1)√3=√3，其他选项的根式化简或平方计算均不符合运算法则。4．一次函数的图象若不进入第三象限，可从斜率与y轴截距判断。对直线y=(m−1)x+2m，若m−1≤0，图象从左向右下降或水平；若2m≥0，直线与y轴交点不在负半轴。两条件同时成立，得0≤m≤1。5．由DE∥BC可得对应角相等，△ADE与△ABC相似。AD:DB=2:3，所以AD:AB=2:(2+3)=2:5。相似三角形对应边成比例，DE:BC=AD:AB=2:5，故DE=10×2/5=4。6．不放回任取2个时，应按组合计数。4个球中任取2个共有C(4,2)=6种等可能结果；袋中红球只有2个，要两球都是红球只能同时取到这2个红球，结果数为1，所以概率是1/6。7．半径OA=OB=6，圆心角∠AOB=120°。过O作弦AB的垂线，可把等腰三角形AOB分成两个含60°角的直角三角形，半弦长为6sin60°=3√3，所以弦长AB=6√3。8．平均数等于总分除以人数。原5人成绩和为82+86+86+90+96=440；6人的平均数为88，则6人总分应为88×6=528。因此新增同学成绩x=528−440=88。9．分别解两个不等式。2x−1≤5得2x≤6，即x≤3；(x+2)/3>1得x+2>3，即x>1。数轴上取两个解集的公共部分，结果为1<x≤3，左端点不包含，右端点包含。10．配方可得y=−(x−1)²+4，对称轴为x=1，顶点为(1，4)，开口向下，所以当x>1时函数值随x增大而减小。令y=0，得−x²+2x+3=0，解得x=−1或3，故与x轴交于(−1，0)和(3，0)。选择题评分标准：每小题3分，共30分。只按最终所选选项给分；多选、错选或未选不得分。若试卷批阅要求查看过程，可重点核对关键理由中的运算、性质或判定依据，理由正确但选项填涂错误时仍以选项为准。二、填空题答案与解析题号111213141516答案(x−3)²−6124416√2π/311．x²−6x+9符合a²−2ab+b²的结构，其中a=x，b=3，因为−2×x×3=−6x，3²=9，所以可直接写成(x−3)²。12．反比例函数y=k/x中，比例系数k等于横、纵坐标的乘积。将点(2，−3)代入得−3=k/2，也可直接用k=2×(−3)，所以k=−6。13．正多边形每个内角与相邻外角互为补角。每个内角为150°，则每个外角为30°。正多边形所有外角和为360°，因此边数n=360°÷30°=12。14．一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式等于0。对x²−4x+m=0，a=1，b=−4，c=m，Δ=b²−4ac=16−4m。令16−4m=0，得m=4。15．用代入消元。由x−y=2得x=y+2，代入2x+y=7，得2(y+2)+y=7，即3y+4=7，解得y=1；再由x=y+2得x=3。因此x+y=4。16．扇形围成圆锥侧面时，扇形半径就是圆锥母线长，扇形弧长就是圆锥底面周长。弧长为120/360×2π×6=4π，故底面半径为2；高为√(6²−2²)=4√2。圆锥体积为(1/3)π×2²×4√2=16√2π/3。填空题评分标准：每小题3分，共18分。结果等价可给满分，如第16题写成(16π√2)/3也可视为正确；因单位换算、符号、根号化简造成答案不等价的不得分。需要保留π的题目，不要求把π化为小数。三、解答题答案、详解与评分标准17．（8分）（1）原式中|−3|=3，√12/√3=√4=2，(1/2)⁻¹=2，(√5−2)⁰=1。所以（1）的结果为4。（2）方程两边同乘(x−1)(x+1)，得整理得x²−3x−2=0，解得经检验，这两个根均不等于1和−1，都是原方程的解。评分标准分值（1）写出各项正确值并算出44分（2）去分母正确、整理成一元二次方程2分求出两个根并完成检验2分本题评分强调运算顺序、分式方程去分母后的等价转化以及检验意识。第一小题中，绝对值、零次幂、负整数指数幂和二次根式化简各占相应过程分，若中间某一项计算错误但后续运算方法正确，可按过程酌情给分。第二小题中，必须注明x≠1且x≠−1，去分母后方程的每一步整理要保持等价；若未检验分式方程根，应扣除对应检验分。18．（10分）设A资料每套x元，B资料每套y元。由题意得两式相加得5x+5y=325，即x+y=65。由3x+2y=160与2x+2y=130相减，得x=30，进而y=35。所以A资料每套30元，B资料每套35元。设购买B资料a套，则购买A资料20−a套。预算条件为30(20−a)+35a≤650，整理得600+5a≤650，所以a≤10。数量条件为20−a≥2a，得a≤20/3。因为a为整数，所以a≤6。答：最多可以买6套B资料。评分标准分值列出二元一次方程组3分解得A、B单价并作答3分建立预算和数量两个不等式3分结合整数条件得最大值61分本题重点考查方程组建模和不等式约束。第一问中，设元要清楚，两个购买情境要分别对应两条方程；若只写出方程组但未说明未知数含义，应扣少量表达分。第二问必须同时满足费用上限、总套数和数量关系，不能只比较单价或只考虑预算。最终答案还要回到“套数”为非负整数的实际背景，并用“最多”作出明确回答。19．（10分）（1）选择“函数应用”的学生有18人，总人数为50人。故所占百分比为36%，对应圆心角为129.6°。（2）选择“几何图形”或“综合探究”的样本人数为12+4=16，占比为16/50。全年级估计人数为750×16/50=240。（3）4名学生中2男2女，从中任取2人共有C(4,2)=6种等可能结果。一男一女的结果数为C(2,1)×C(2,1)=4种。所以抽到一男一女的概率为2/3。评分标准分值求出百分比和圆心角4分完成全年级人数估计3分列出等可能结果并求出概率3分统计部分应注意样本容量为50，百分比、圆心角和总体估计均应围绕样本比例展开。第二问的估计值不代表实际调查人数，而是根据样本比例进行推断。概率部分可以用列表法、树状图法或组合计数法，只要等可能结果和有利结果对应清楚即可得分；若把有序结果与无序结果混用，需要结果仍保持同一计数口径。20．（12分）（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得AB=10。取C为原点，CA方向为x轴，CB方向为y轴，可设A(6，0)，B(0，8)。D为AB中点，所以D(3，4)。于是DE=4，DF=3。（2）由DE⊥AC、DF⊥BC，且AC⊥BC，可知∠CED=∠CFD=∠ECF=90°，所以四边形CEDF是矩形。它的长、宽分别为CE=3，CF=4，面积为3×4=12cm²。（3）在△AED中，AE=3，DE=4，AD=5；在△ACB中，AC=6，CB=8，AB=10。三边对应成比例：因此△AED∽△ACB，相似比为1:2。评分标准分值用勾股定理求AB，并求出DE、DF4分证明四边形CEDF为矩形3分求出矩形面积2分证明三边成比例并写出相似比3分本题既可用坐标法，也可用三角形中位线和直角三角形性质完成。若采用坐标法，应先说明坐标系建立方式，并保证线段长度与坐标差一致；若采用几何法，可利用D为斜边中点及平行线性质。证明矩形时应明确三个直角或一组对边平行且有一个直角；证明相似时需说明对应边或对应角关系，并按正确顺序写出相似三角形名称。21．（14分）（1）抛物线与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)，因此函数可写为所以b=−2，c=−3。配方得y=(x−1)²−4，顶点坐标为(1，−4)。（2）AB=4。点P在x轴上方，设点P的纵坐标为yP。由三角形面积公式得所以yP=4。令x²−2x−3=4，得x²−2x−7=0，解得x=1±2√2。因此P的坐标为(1+2√2，4)或(1−2√2，4)。（3）原抛物线顶点纵坐标为−4。沿y轴向上平移h个单位后，顶点纵坐标变为−4+h。抛物线开口向上，与x轴只有一个公共点时，顶点恰在x轴上，因此−4+h=0，得h=4。评分标准分值写出解析式并求顶点4分由面积求出点P纵坐标3分解方程求出两个P点坐标3分理解平移后相切条件并求h4分本题的关键是把抛物线与x轴交点转化为因式形式，再把面积条件转化为纵坐标条件。第二问中，点P在x轴上方，所以三角形的高就是P点纵坐标，不能使用带符号的负高度。平移问题只改变顶点纵坐标，不改变开口方向和对称轴；“只有一个公共点”对应顶点在x轴上，而不是任意一个交点。22．（18分）（1）抛物线过A(−2，0)、B(6，0)，且二次项系数为−1/2，故可设展开得y=−1/2x²+2x+6，因此b=2，c=6，点C为(0，6)。（2）点P(t，y)在第一象限部分，0<t<6，且y=−1/2t²+2t+6。因为AB=8，△PAB以AB为底，高为P到x轴的距离y，所以这是开口向下的二次函数，最大值在t=−8/(2×−2)=2时取得。此时y=−1/2×4+4+6=8，面积最大值为32，P(2，8)。（3）在△OCB中，OC=OB=6且∠COB=90°，所以∠OCB=45°。当∠PAB=45°时，直线AP与x轴正方向夹角为45°，斜率为1。A(−2，0)，P(t，y)，故即y=t+2。代入y=−1/2t²+2t+6，得−1/2t²+t+4=0，整理为t²−2t−8=0，解得t=4或t=−2。由于P在第一象限，取t=4，y=6，故P(4，6)。（4）△ABC中AB=8，C到