现代数学的发展趋势

第四章现代数学的生长趋势

一、现代数学的生长趋势内容归纳综合

与占典数学相比，现代数学的生长从思想要领的角度看具有一些新的特征，本章内

容通过数学的统一性、数学在自然科学和社会科学中的遍及应用、数学机器化的产生与

生长及其意义、盘算机促进盘算数学的生长、盘算机促进数学中新学科的生长这些方面

来认识和理解现代数学的生长趋势。

下面从以下几个方面来阐发：

•数学的统一性

•数学应用的遍及性

•盘算机与数学生长

1.数学的统一性

所谓统一性，就是部门与部门、部门与整体之间的协调一致。客观世界具有统一性,

数学作为描述客观世界的语言一定也具有统一性。

数学的统一性是客观世界统一性的反应，是数学中各个分支固有的内在联系的体

现。它体现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。

•数学的统一性生长的三个阶段

(1)数学从经验积聚到严格的演绎体系创建，其特征逐步明显，在中世纪时，从

研究东西和要领来看，初等数学有了一定的统一性。恃别是17世纪解析多少的诞生，

使数学中的代数与多少统一起来，说明统一性是数学的特征。生了厘革，结果是数学分

支愈来愈多，数学体现的越发多样化。因此，需要重新认识数学的统一性。为此，数学

家们作了许多努力，到20世纪30年代，法国的布尔巴基(Bourbaki)学派提出，利用

数学内在联系和正义化要领从数学各个分支中提炼出种种数学结构。他们认为数学的生

长无非是种种结构的创建和生长，“数学比如一座大都会。都会中心有些巨大的修建物,

就比如是一个个己经建成的数学理论体系。都会的郊区正在不停地并且几多有点杂乱无

章地向外伸展，他们就似乎是一些尚未发育成型的正在生长着的数学新分支。与此同时，

市中心又在时时重建，每次都是凭据构想越发清晰的筹划和越发公道的结构，在拆毁掉

旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、越发方便的林荫大道通向四

方，……。”

(2)布尔巴基学派在聚集论的底子上创建了三个根本结构(即代数结构、序结构和拓

扑结构)，然后凭据差别的条件，由这三个根本结构交织产生新的结构，如阐发结构、

布尔代数结构等等。他们认为整个数学或大部门数学都可以凭据结构的差别而加以分

类，用数学结构能统一整个数学，各个数学分支只是数学结构由简朴到庞大，由一般向

特殊生长的产物。数学的差别分支是由这些差别的结构组成的，而这些结构之间的错综

庞大的联系又把所有的分支连成一个有机整体。因此可以说，布尔巴基学派用数学结构

显示了数学的统一性。

(3)20世纪下半用，数学已经生长成一个庞大的理论体系，数学分工愈来愈细，

分支愈来愈多，分支之间的联系愈来愈不明显，但是，数学学科的统一化趋势也在不停

增强，主要体现在数学的差别分支领域的数学思想和数学要领相互融合，导致了一系列

重大发明以及数学内部新的综合交织学科的不停兴起：例如微分拓扑学的创建、生长；

整体微分多少研究的突破；代数多少领域的进展；多复变函数理论以及其他数学分支的

突破和生长都有密切的朕系c

2.数学应用的遍及性

随着科学生长，学科之间的相互渗透已是一种普遍现象，而其中数学的渗透又特别E月显。

这种渗透不能简朴地理解为把数学作为一种科学研究的东西和技能，而是新的研究领域和交

织学科创建的动力。数学已成为其他学科理论的一个重要组成部门，这是数学应用日益遍及

的体现。这种体现具体讲就是数学化。

现代科学生长的一个显著特点是，自然科学、技能科学以及社会科学都普各处处于数学

化的历程之中，它们都在朝着愈来愈精确的偏向生长。电了•盘算机的生长和应用，为各门科

学的数学化提供了可能性，因而加快了各门科学数学化的趋势。

我们可以分成几个方面来阐发：

•自然科学的数学化

数学是研究现实世界的空间形式和数量干系的科学。它的理论深刻地反应和刻画了现实

世界的空间形式和数量干系。随着社会进一步的生长，愈来愈需要对自然现象和客观物质作

定量研究。“数”与“形”在现实世界中无处不在，客观世界的任何一种物质的多少形态都具有

空间形式，其运动的路线是曲线，而曲线是由一些数量的某种干系来刻画。这就决定了数学

及其要领可以运用于任何一门自然科学，数学是自然科学的底子。

(1)以物理学为例：

物理学应用数学的历史较长，18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时期。

19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学，并且由于剑桥学派的努力而形成了数学

物理分支。

20世纪以后，随着物理科学的生长，数学相继在应用于相对论、量子力学以及根本粒

子等方面取得了一个又一个的突破，极大地富厚了数学物理的内容，同时，也反过来刺激了

数学自身的进步。

例1在20世纪初，狭义相对论和广义相对论的创建历程中，数学都起到了作用。

1907年,德国数学家闵可夫斯基(H.Minkowski,1864-1909)提出了“闵可夫斯基空间”

(三维空间+时间的四维时空)，闵可夫斯基几作甚爱因斯坦的狭义相对论提供了符合的数

学模型。

有了闵可大斯基时空模型后，爱因斯坦乂进一步研究引力场理论以创建广义相对论。

1912年夏，他已经归纳综合出新的引力理论的根本物理原理，但为了实现广义相对论的目

标，还必须有理论的数学结构，爱因斯坦为此耗费了三年时间，最后在数学家格罗斯曼

(M.Grossmann)资助下掌握了生长相对论引力学说所必须的数学东西----以黎曼几作甚底子

的绝对微分学，即爱因斯坦厥后所称的张晨阐发。在1915年11月25日颁发的一篇论文中，

爱因斯坦导出了广义协变的引力场方程：""2"

.就是黎曼度规张量。爱因斯坦指出：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑

结构终于大功告成！”

凭据爱因斯坦的理论，时空整体是不均匀的，只是在微小的区域内可以近似地看作均匀。

在数学上，广义相对论的时空可以解释为一种黎曼空间，非均匀时空连续区域可借助于现成

的黎曼度量：

=A.R//1)bj【心=L2)

来描述。这样，广义相对论的数学表述第一次揭示了非欧多少的现实意义，成为历史上数学

应用最伟大的例子之一。

自然科学研究存在着两种方法：定性研究和定量研究。定性研究揭示研究东西是否具有某种

特征，定量研究揭示研究东西具有某种特征的数量状态。精确的定量研究使人们能够对客观

事物的认识从现象上升到本质，从而可能有精确的科学预见功效。数学是实现定量研究的须

要条件。所以，一门科学只有当它与数学充实地融合，才可能精确地揭示客观事物的状态和

变革纪律，才会显示其真正的代价。

因此，自然科学研究一定要经过定量研究历程，所以科学研究的一般历程是从定性研究

出发，然后再研究其量的纪律性，进行定量研究，并进一步把定性研究和定量研究相结合。

科学的数学化是有一个生长历程，它是从低级运动形态生长到高级运动形态，以简朴运

动形态到庞大运动形态。与此相应的，是从物理学、力学、天文学开始，生长到化学、生物

学和工程技能科学。

(2)以生物学为例

与物理和天文等学科相比，生物学中应用相当迟缓.将数学要领引进生物学的研究约

莫始于20世纪初.英国统计学家皮尔逊(K.Pearson,1857-1936)首先将统计学应用于遗

传学和进化论，并于1902年开办了《生物统计学》(Biometrika)杂志，统计要领在生物

学中的应用变的日益遍及，

意大利生物学家达松纳(D，Ancona)在研究地中海种种鱼群的变革及其相互影响时，

发明鲨鱼及其他凶猛大鱼的捕捉量在全部渔获量中的比例成倍增长。他感触困惑的是作为鱼

饵的小鱼也应该多起来，并且鲨鱼在鱼群中的总体比例应该稳定的。什么原因使得鲨鱼的增

长要比小鱼的增长更快呢？

达松纳尽一切生物学上的解释都无法解开这个谜，于是他请教意大利数学家伏尔泰拉

|—=(2X-bxy

I—=cxy-dy

(V.Volterra)。1926年，伏尔泰拉提出著名的伏尔泰拉方程：'出

方程中x体现食饵，却被食小鱼，y体现捕食者，即食肉大鱼(鲨鱼)。

用微分方程知识解释道：当捕鱼量减小时，捕食者(鲨鱼)增加，被食者(被食小鱼)

淘汰；当捕鱼量增加时，捕食者淘汰，被食者增加。这给生物学一个满意的回复。这一现象

现在称为伏尔泰拉原理，已在许多生物学领域中应用。妇使用农药杀虫剂，若把害虫及其天

敌一起鸩杀，则由于杀死害虫数量猛增，凭据伏尔泰拉原理，却会使捕食害虫的天敌下降更

快，引起倒霉结果。

用微分方程创建生物模型在20世纪50年代曾得到惊动性结果，这就是描述神经脉冲传

导历程的霍奇金•哈斯利(Hodgkin-Huxley)方程(1952年)和描述视觉系统侧抑制作用的

哈特莱因-拉特里夫(Hartline-Ratliff)方程3958年),它们都是庞大的非线性方程组,引

起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。这两项事情分别得到1963年和1967年的诺贝尔医学生

理学奖。

尔经济学奖。

例2数学与语言相互渗透，产生了数理语言学这门新的交织学科。它用数学要领来研究语

言结构和语法形式属性。随着现代科学技能的生长和电子盘算机的推广应用，使人脑与电脑

通力协作，使数学与语言融为一体，产生盘算机语言。

例3数学向文学研究领域的渗透，使人们发明数学与文学之间存在联系，像英国数学

家西尔维斯特(Sylvester)撰写的《诗的格律》一文，就应用了数学要领对莎士比亚的《十

四行诗》进行了阐发。1980年，美藉华人陈炳藻先生运用了数学与盘算机相结合的手段颁

发了《从词汇上统计，论〈红楼梦〉的作者问题》。另有复旦大学传授李贤平先生对此亦作

出了孝敬。

例4数学向社会学领域的渗透，产生了一门新兴的定量社会学，它应用协同学的理论

和数学要领研究社会学问地，使社会学开始走上定量化的门路。

20世纪60年代前苏联科学家用定量要领来研究历史问题，从而产生了计量历史学。

运用计量要领可以把抽象的东西变得具体化，使微观和宏观研究更好地结合起来，使微

观研究更好地成为宏观研究的底子。

社会科学的数学化已为人们所遍及担当，社会科学的数学化是数学与社会科学相互作

用、相互渗透的进程。一方面，它把数学运用于各门社会科学，从而极大地提高社会科学研

究的质量和效率，使社会科学越发完善和更具有说服力。另一方面，它使社会科学与数学相

结合产生新的交织学科，从而进一步促进数学的生长。

3.盘算机与数学生长

电子盘算机是20世纪最伟大的技能成绩之一。这个最初为了取代人类盘算的呆板使得

人类面临着一场新的科学技能革命。在数学方面，盘算机至少有三种新的用途，第一，用来

证明一峻数学命题，而通常证明这类命题，需要进行异常巨大的盘算与演绎事情。第二，川

来预测某些数学问题的可能结果。第三，用来作为一种验证某些数学问题结果的正确性的要

领。

盘算机的生长促进了数学的厘革与生长，而数学的突破提升了盘算机的条理，有人说“盘

算机是数学的创造物，乂是数学的创造者。“总之，盘算机给数学家们提供了一种有效的实

验东西。盘算机的生长为数学开辟了一个新的天地，对付数学的生长具有决定性的影响。

盘算机与数学的联系可以从以下几个方面来理解“

•数学机器化

(1)数学机器化的产生与生长

数学的脑力劳动有两种主要形式：定理证明和数值盘算。人们一直希望能为脑力劳动找

到一种替代要领，即脑力劳动怎么机器化的问题。

20世纪40年代，出现了盘算机以后由此产生一门新的学门，叫做人工智能。人工智能

考虑诸如，呆板翻译，呆板推理，呆板下棋，呆板看病等等，它的目的就是利用盘算机来取

代或减轻某种形式的脑力劳动。

“岂论是呆板取代体力劳动，或是盘算机取代某种脑力劳动，其所以成为可能，要害在

于所需取代的劳动已经，机器化「也就是说已实现了刻板化或规格化。”数学问题的机器化

就是要求在运算或证明历程中，每前进一步之后，都有确定的、一定选择的下一步，这样沿

着一条有纪律的、刻板的门路，一直到达结论。

“贯串在整个数学生长历史历程中有两其中心思想，一是正义化思想，另一是机器化思

想。”因此脑力劳动机器化的实验，可以追述到几千年以前。比如，中国的《九章算术》中

就有了对开平方和开立方机器化历程的详细说明。但是从19世纪开始产生的一些事件对今

世数学机器化的形成与生长具有决定性意义。

1854年，英国数学家乔治・布尔(GeorgeBoole)把逻辑简化成的一种代数，用一些标

记把逻辑推理形式化，颁发了《逻辑的数学阐发》和《思维纪律的研究》，从而创建了布尔

代数。这种代数把逻辑推理简化成极其容易操纵，因而可以减轻脑力劳动。这可以看作数学

机器化的起步。

19世纪末，德国数学家希尔伯特创建并且生长数理逻辑以来，脑力劳动机器化的设想

才有了明确的数学形式。

众所周知，在初等多少中，差别的定理，经常需要用差别的要领来证明。因此用盘算机

来证明多少定理首先需要解决“一理一证''的问题。

1950年，波兰数学家塔斯基(Tarski)证明了在初等多少和初等代数这一范畴内的定理

证明可以机器化，并且提出了一个算法。这在理论上非常乐成，它把一类初等代数和初等多

少的定理证明，完全交给呆板去做，是真正意义上的脑力劳动机器化。但是这个算法非常繁

琐，并且有许多定理的证明都不乐成。

1959年，美籍华人王浩传授设计了一个机器化要领，只需9分钟盘算时间，用盘算机

证明了两位英国数学哲学家罗素和怀特海(AlfredNo毗Whitehead)于1913年出书的《数

学原理》中的几百条定理，

1976年,美国伊利诺斯(Illinois)大学的阿佩尔(K.Appel)和哈肯(W.Kaken)用盘

算机运行了120()小时证明了数学家们10()多年来所没有解决的四色料想——任何一幅舆图

着色，只要四种颜色就可以使所有相邻地域的颜色不相同。

要实现多少定理证明机器化的一定条件是有一种要领可以证明一类定理。从“一理一证”

到“一类一证”，是数学的认识和实践的奔腾。

1977年，数学家吴文俊在定理证明机器化研究上取得开端结果。他独立证明了初等多

少(泛指不具有微分运算的多少，如欧氏多少、非欧多少、仿射多少、投影多少、代数儿多

么等)主要一类定理的证明可以机器化，并且提出了切实可行的机器化要领，国际上称“吴

要领吴先生提出的机器证明要领与塔斯基的事情相互交而不包罗，效率高，可以在普通

盘算机上实现，现在已经证出欧几里得多少中已知的全部定理。同时“吴要领”还可用于多少

定理的自动发明和未知干系的自动推导。吴文俊先生的开创性结果，冲破了国际自动推理界

在多少定理自动证明研究中恒久徘徊不前的局面。吴先生还把他的要领拓展到微分情形，创

建了微分多少定理呆板证明和微分代数方程组求解的机器化理论和要领。

(2)数学机器化的意义

(I)数学机器化与正义化一样，对付数学的生长具有巨大的现实意义。

数学机器化使得一些数学分支成为重要的研究偏向，甚至成为数学的主流。这是因为，

抽象的数学观点和结论，往往难于掌握和运用。当把抽象的观点酿成具体可算的历程，将易

于担当和适宜应用。运用机器化思想考察数学，将引导数学家重新认识数学东西，创建新的

模式，从而发明新的结论，

吴文俊先生强调：数学机器化要领的应用，是数学机器化研究的生命线。在他的指导和

动员下，数学机器化要领已在一些交织研究领域得到开端应用，如理论物理、盘算机科学、

信息科学、自动推理、工程多少、机器机构学等等。数学机器化研究不停开拓更多的应用方

面。

如今，盘算机科学被认为是算法的科学。以算法为焦点的机器化思想，既传统又前瞻，

数学机器化的思想随着盘算机科学的进一步生长一定会渗透到数学的各个角落。

(II)数学机器化对付数学生长历程的认识具有深渊的历史意义。

吴文俊认为“正义化的思想导源于古希腊，机器化的思想则贯串于整其中国古代数学。”

他阐发了中国传统数学的灿烂成绩在数学科学进步历程中的职位和作用，指出数学机器化思

想是我国古代数学的精髓，它与源于古希腊的正义化思想，对付数学的生长都发挥了巨大作

用。

•盘算数学的生长

盘算数学，也叫做数值盘算要领或数值阐发，是一门研究盘算问题的解决要领和有关数

学理论问题的学科•，其主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由盘算机加以有效解决，具体有

代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函教的数值迫近问题，矩阵特征值的求

法，最优化盘算问题，概率统计盘算问题等等，还包罗解的存在性、唯一性、收敛性和误差

阐发等理论问题。

盘算是与生活联系最直接、最密切的一环。在数学生长史中，盘算占非常重要的职位，

它是古代数学的最重要的组成部门。因此盘算数学的历史至少可追述到我国魏晋时代的数学

家刘徽的“割圆术”。

随着15世纪欧洲资本主义工商业兴起，科学技能有了新生长。以解析多少与微积分为

标记的近代数学生长，盘算数学也有相应的生长。牛顿、瑞士数学家欧拉（Euler）等生长

了一般插值要领与差分要领，德国数学家高斯和俄国数学家切比雪夫（Chebyshev）生长了

最优迫近的要领与理论。在高次代数方程方面生长了牛顿迭代解法。在线性代数方面生长了

高斯消元法以及种种迭代法。微积分生长的同时，也出现微分方程的离散化与数值解法。

但是这些生长都受到具体盘算速度的限制。随着科学技能生长，人们面临需要处置惩罚

的数据量更大。盘算机的出现为大范围的数据处置惩罚创造了条件，人们也开始真正认识到

盘算数学的重要性。会合而系统地研究适用于盘算机的盘算数学立刻变得非常迫切和须要。

盘算数学的要领正是在大量的数值盘算实践和理论阐发事情的底子上真正生长起来，它不但

仅是一些数值要领的简朴积聚，并且揭示包罗在多种多样的数值要领之间的相同的结构和统

一的原理。

盘算机和盘算数学的生长是相辅相成、相互制约和相互促进的。盘算数学的生长启发了新的

盘算机体系结构，而盘算机的更新换代出对盘算数学提出了新的尺度和要求。自盘算机诞生

以来经典的盘算数学已经历了一个重新评价、筛选、改革和创新的历程。与此同时，涌现了

讦多新观点、新课题和许多能够充实发挥盘算机潜力、有更大解题能力的新要领。这就组成

了现代意义下的盘算数学，

如果没有盘算机的问世，那么今天也许就不会有作为数学中独立分支的盘算数学。因此

现代意义下的盘算数学是数学与盘算机应用相结合产生的交织学科，其根本目标是为科学与

工程盘算提供高效的数值要领及其应用软件，内容更突出了数学的盘算（即重点研究适宜于

在盘算机上运行的求解种种数学模型的数值要领及其应用软件）和盘算的数学（即重点研究

阐发舍入误差影响所必须的数值阐发理论）。它的内容从数值代数和数值迫近开始，逐步扩

展为包罗最优化盘算、盘算概率统计、盘算多少和数学物理方程数值解法等内容的学科，并

且将进一步扩展。

•新学科的生长

数学的生长非常迅速，出现了许多新的学科。这里我们仅仅介绍非常具有代表性的学科

——分形多少。

分形的思想最早出现在1875至1925年数学家的著作。分形是这样一种东西，将其细微

部门放大后，其结构与原先的一样。比如雪花曲线一一条周长无限而面积有限的关闭曲线

（图4-3-1）,而圆周没有区种现象，它经过放大后便变得比力平直。

分形是法国数学家曼德勃罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年创造的,他在1975、1977

和1982年先后出书了三本书，特别是《分形——形、机会和维数》以及《自然界中的分形

多少学》，开创了分形多少学这一新的数学分支。其根本思想是：客观事物具有自相似的条

理结构，局部与整体在形态、功效、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成

为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部门都像整体一样具有南北两极，不停支解下去，每

一部门都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的条理结构，适当的放大或缩小多少尺寸，

整个结构稳定。

分形多少学的研究离不开电子盘算机，电子盘算机和电子盘算机画图能够产生分形，把

它们显示出来，电子盘算机的生长才使得人们有能力研究分形。

分形多少