专题03 正比例函数定义与图象的学习秘籍（解析版）-初中数学一次函数专题精.编讲义

专题03正比例函数定义与图象的“学习秘籍”一、知识点综述与剖析1.定义一般地，形如y=kx（k≠0）的函数是正比例函数.注意：①k是不为0的常数；②x的指数为1.2.图象及性质性质：①正比例函数是一条直线，通过坐标原点；②k>0时，过一、三象限，y随x的增大而增大，图象从左到右是上升的；③k<0时，过二、四象限，y随x的增大而减小，图象从左到右是下降的.3.如何快速画图根据正比例函数图象的形状（过原点的一条直线），再确定一点连线即可（两点确定一条直线），通常选取(1，k)点.4.k值的意义k值决定着正比例函数的倾斜程度，|k|越大，图象越靠近y轴，即倾斜程度越大.5.特殊的k值k值图象－1－1－二、典型习题解析题1.（1）若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则m的值是（）A．m=-3 B．m=1C．m=3D．m>-3（2）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图1-1所示，则在下列选项中k值可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4（3）如图1-2所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（）A．k1＜k2＜k3＜k4 B．k2＜k1＜k4＜k3 C．k1＜k2＜k4＜k3 D．k2＜k1＜k3＜k4（4）若x、y是变量，且函数是正比例函数，则k=_________．（5）已知正比例函数图象在第二、第四象限，则m的值为．（6）正比例函数的图象的经过第象限，y随着x的增大而．【答案】（1）B；（2）B；（3）B；（4）1；（5）－2；（6）二、四，减小.【解析】解：（1）由题意知：，解得：m=1，故选B；（2）由图象知：，故选B；（3）由k值的意义及图象知：，故选B；（4）由题意得：，解得：k=1；（5）由题意得：，解得：m=－2；（6）由题意得：m=1，所以m－2<0，故图象过二、四象限，y随着x的增大而减小.题2.（1）已知y-3与x成正比例，且x=4时，y=7.求y与x之间的函数解析式；（2）已知：正比例函数的图象经过点P（－1,2）和点Q（﹣m，m+3），求m的值；（3）已知y+3和2x-1成正比例，且x=2时，y=1.①写出y与x的函数解析式。②当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是多少？【答案】见解析.【解析】解：（1）设y－3=kx，因为x=4时，y=7，所以7－3=4k，解得k=1，故y－3=x，即y=x+3.（2）设正比例函数解析式为y=kx，因为图象过点（－1,2），所以2=－k，即k=－2，函数解析式为：y=－2x，又因为函数图象过点Q（﹣m，m+3），所以m+3=2m，解得：m=3.（3）设函数解析式为y+3=k(2x-1)，因为x=2时，y=1，所以1+3=3k，解得：，即函数解析式为：；因为>0，所以y随x的增大而增大，当0≤x≤3时，y最大值为：，最小值为：.题3.函数y=|2x|的图象是()【答案】C.【解析】解：由y=|2x|可知：y≥0，故排除A、B、D，选C.从解析式角度来分析，当x≥0时，y=2x，当x<0时，y=－2x.故答案为：C.题4.将2×2的正方形网络如图4-1所示放置在平面直角坐标系中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是1,正方形ABCD的顶点都在格点上.若直线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有公共点,则k的取值范围是()图4-1A.k≤2B.C.D.【答案】C.【解析】解：由图分析可知，直线y=kx分别过点A和点C为其临界点，如图4-2所示.图4-2设两条直线解析式分别为y=k1x，y=k2x，将点C(2,1)、A(1,2)代入，求得：k1=，k2=2，即，故答案为：C.题5.如图5-1所示,点B,C分别在直线y=2x和y=kx(k≠0)上,点A,D是x轴上的两点,已知四边形ABCD是正方形,求k的值.图5-1【答案】见解析.【解析】解：设A点坐标为（a,0），因为ABCD为正方形，B点在y=2x上，所以B点坐标为（a，2a），正方形ABCD的边长为2a，所以C(3a,2a),又因为C点在直线y=kx上，所以2a=k(3a)，解得：k=.故k值为.题6.定义运算“※”:a※b=ab(1)计算:3※4;(2)画出函数y=2※x的图象.【答案】（1）12；（2）见解析.【解析】解：（1）因为4>0，所以，3※4=3×4=12；（2）由题意知：所以，画出函数图象如下图所示.题7.已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.(1)求正比例函数的解析式;(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP的面积为5?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.图7-1【答案】见解析.【解析】解：（1）因为点A的横坐标为3，所以OH=3，由题意知：,所以AH=2，因为A点在第四象限，所以A点坐标为：A（－3，－2），将A点坐标代入y=kx，得：－2=－3k，即；所以正比例函数的解析式为：.（2）设P点坐标为（a,0）,,所以OP=5，所以a=5或－5，故P点坐标为（5,0）、（－5,0）.题8.某厂生产的RGZ—120型体重秤，最大称重120千克，你在体检时可看到如图8-1所示的显示盘。已知指针顺时针旋转角x（度）与体重y（千克）有如下关系：X（度）072144216Y（千克）0255075图8-1图8-2（1）根据表格中的数据在平面直角坐标系，图8-2中描出相应的点，顺次连接各点后，你发现这些点在哪一种函数的图象上？合情猜想符合这个图象的函数解析式；（2）验证这些点的坐标是否满足函数解析式，归纳你的结论（写出自变量x的取值范围）；（3）当指针旋转到158.4度的位置时，显示盘上的体重读数模糊不清，用解析式求出此时的体重。【答案】见解析.【解析】解：（1）如图8-3所示，描点连线后，发现四个点在经过原点的一条直线上，猜想y=kx（k≠0）.（2）将x=72，y=25代入y=kx（k≠0）中，得25=72k，解得：k=，所以y=x.图8-3把x=144，y=50代入上面的函数解析式中，左边=50，右边=×144=50，左边=右边，因此（144，50）满足y=x.同理可验证（216，75）也满足y=x.因此符合要求的函数解析式是y=x（0≤x≤345.6）.（3）当x=158.4时，y=×158.4=55（千克）.即此时的体重是55千克题9.已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB=6cm，试回答下列问题：（1）图甲中的BC长是多少？（2）图乙中的a是多少？（3）图甲中的图形面积的多少？（4）图乙中的b是多少？【答案】见解析.【解析】解：（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，所以：BC=2cm/秒×4秒=8cm；故图甲中的BC长是8cm．（2）由（1）可得，BC=8cm，则：a=0.5×BC×AB=24cm2；图乙中的a是24cm2．（3）由图可得：CD=2×2=4cm，DE=2×3=6cm，则AF=BC+DE=14cm，又由AB=6cm，则甲图的面积为AB×AF﹣CD×DE=60cm2，图甲中的图形面积的60cm2．（4）根据题意，动点P共运动了：BC+CD+DE+EF+FA=8+4+6+2+14=34cm，其速度是2cm/秒，则b=17秒，图乙中的b是17秒．题10.已知A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S.（1）求S关于x的函数表达式；（2）求x的取值范围；（3）求S=12时P点坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵x+y=10，∴y=10﹣x，∴S=×8（10﹣x）=40﹣4x；（2）∵40﹣4x＞0，∴x＜10，∴0＜x＜10，（3）∵s=12，∴12=40﹣4x，x=7∴y=10﹣7=3，∴s=12时，P点坐标（7，3）.题11.如图11-1所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,0），在直线上是否存在点P，使得△APO是等腰三角形，如果存在，请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由.图11-1【答案】见解析.【解析】解：分类讨论，（1）当OA为底边时，如图11-2所示.图11-2点P在线段OA的垂直平分线上，即横坐标为，又因为点P在直线，所以P点坐标为.（2）当OA为腰时，如图11-3所示.图11-3①以O为圆