高考总复习数学 集合

1.1集合考点真题示例考向5年考频核心素养集合及其关系2023新课标Ⅱ,2已知集合间关系求参数1考逻辑推理数学运算集合的基本运算2024新课标Ⅰ,1集合的交集运算9考数学运算2023新课标Ⅰ,12022新高考Ⅰ,12022新高考Ⅱ,12021新高考Ⅰ,12020新高考Ⅱ,1集合的并集运算2020新高考Ⅰ,1集合的综合运算2021新高考Ⅱ,22020新高考Ⅰ,5常用逻辑用语2023新课标Ⅰ,7充分、必要条件的判断2考逻辑推理2024新课标Ⅱ,2命题的否定及真假判断不等式的解法2024新课标Ⅰ,1三次不等式4考数学运算2023新课标Ⅰ,1一元二次不等式2022新高考Ⅰ,1根式不等式2022新高考Ⅱ,1绝对值不等式基本不等式2022新高考Ⅱ,12重要不等式2考逻辑推理数学运算2020新高考Ⅰ,11“1”的代换命题形式本专题内容较为简单,高考中多作为载体与其他知识结合考查,集合多与方程、不等式

的求解结合,设问有求交集、并集、补集、元素个数及元素与集合间的关系等;常用逻

辑用语可与各类知识结合,需深刻理解知识内涵,设问通常是充分、必要条件的判断及

全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断;不等式多与函数、三角函数、数列

等知识综合考查.考点1集合及其关系1.集合的含义与表示(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“∉”表示).(3)常用数集及其符号表示:非负整数集(自然数集)N、正整数集N*(或N+)、整数集Z、

有理数集Q、实数集R.(4)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系

表示

关系

文字语言记法集合间的基本关系相等一般地,集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一

个元素都是集合A的元素A=B子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称A是B的真子集A⫋B或B⫌A注意

(1)空集是任何集合的子集;(2)空集是任何非空集合的真子集.易错警示

(1)解决集合间关系A⊆B或A⫋B问题时,易忽视A是空集的情况而出现漏解.(2)解决有关点集{(x,y)|y=x2}与数集{y|y=x2}问题时容易忽略集合的属性.知识拓展

有限集的子集个数设集合A是有n个元素的有限集,即card(A)=n(n∈N*),则A的子集个数是2n;真子集个数是

2n-1;非空子集个数是2n-1;非空真子集个数是2n-2.考点2集合的基本运算已知全集U,集合A,B.

并集交集补集图形语言

符号语言A∪B={x|x∈A或x∈B}A∩B={x|x∈A,且x∈B}∁UA={x|x∈U,且x∉A}性质A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆AA∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆BA∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀;∁U(∁UA)=A知识拓展

1.德·摩根定律:∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).2.容斥原理:一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A

∩B).即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)集合{2,4,6}与集合{4,2,6}表示同一集合.(

)(2)空集是任何集合的真子集.

(

)(3)集合{y|y=2x,x∈R}与集合{(x,y)|y=2x,x∈R}表示同一集合.

(

)(4)若x∈A∩B,则x∈A∪B.

(

)√××√2.已知集合A={x∈R|x≤10},a=

,则a与集合A的关系是

(

)A.a∈A

B.a∉A

C.a=A

D.{a}∈A3.(人教A版必修第一册P14·T4改编)设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={x|1≤x≤3},则

A∩B=

,(∁UA)∪B=

.4.(易错题)已知集合A={x|ax=2,a∈N},若A⊆N,则所有a的取值构成的集合为

.A{x|1≤x≤2}{x|x<0或x≥1}{0,1,2}题型一集合间基本关系的求解及应用角度1集合间基本关系的判断

典例1

(2021全国乙理,2,5分)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=

(

)A.⌀

B.S

C.T

D.ZC解析

解法一:对n进行分类,从表达式中寻找集合间关系.当n是偶数时,设n=2k,k∈Z,则s=2n+1=4k+1,k∈Z;当n是奇数时,设n=2k+1,k∈Z,则s=2n+

1=4k+3,k∈Z,则T⫋S,则S∩T=T,故选C.解法二(列举法):从元素中寻找集合间关系.由已知得S={…,-3,-1,1,3,5,…},T={…,-3,1,5,9,…},观察可知,T⫋S,所以T∩S=T,故选C.变式训练1-1

(数形结合法)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则

(

)A.P⊆Q

B.Q⫋P

C.P⊆∁RQ

D.Q⊆∁RPB解析

由题意得Q={x|-2<x<2},将集合P,Q表示在数轴上,如图所示,

可知Q⫋P,故选B.变式训练1-2

(元素特征法)设集合M=

,N=

,则∁NM=

(

)A.⌀

B.

C.

D.{x|x=2n,n∈Z}B解析

由x=

+

=

=(2n+1)×

,n∈Z,可知集合M中的元素均是

的奇数倍,由x=

,n∈Z可知,集合N中的元素均是

的整数倍,故N=M∪

,所以∁NM=

.故选B.角度2由集合间的基本关系求参数值(或范围)典例2已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1<x<m+1},且A∩B=B,则实数m的取值范围

为

(

)A.[-1,2)

B.[-1,3]

C.[-2,+∞)

D.[-1,+∞)D解析

由x2-x-12≤0,得-3≤x≤4,即A=[-3,4].由A∩B=B,得B⊆A.(不要忘记空集,对集合B分两种情况讨论)当B=⌀时,满足条件,则2m-1≥m+1,解得m≥2.当B≠⌀时,若B⊆A,则

解得

借助于数轴可得-1≤m<2.(根据集合间的关系建立不等式组,求交集时注意端点值是否能取到)综上,满足条件的m的取值范围是{m|m≥-1}.故选D.技巧点拨

空集的讨论对于“A⊆B”或“A⫋B”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A=⌀和A≠⌀两种情

况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.注意

求参数值的问题需注意集合中元素的互异性.对于求参数范围的问题需注意端

点值的取舍.变式训练1-3

(关键元素变式)设集合A={0,1},B={1,a-2,a-1},若A⊆B,则a=

(

)A.2

B.3

C.1

D.1或2C解析

因为A={0,1},B={1,a-2,a-1}且A⊆B,所以0∈B,则a-2=0或a-1=0,解得a=2或a=1,(求出a的值后,一定要检验是否满足集合中元素的互异性)当a=2时,a-1=1,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=1时,B={1,-1,0},符合题意.综上,可得a=1,故选C.题型二集合运算问题的求解

角度1集合的基本运算典例3

(2024浙江三模,2)已知集合A={x|log3(x+2)>1},B={x|x(x-2)<0},则A∩(∁RB)等于

(

)A.⌀

B.(0,1)

C.(1,2)

D.[2,+∞)D解析

(先化简,再借助数轴)由log3(x+2)>1,即log3(x+2)>log33,得x+2>3,解得x>1,所以A={x|x>1},由x(x-2)<0,解得0<x<2,所以B={x|0<x<2},所以∁RB=(-∞,0]∪[2,+∞),如图所示,借助数轴得A∩(∁RB)=[2,+∞).故选D.变式训练2-1

(关键元素变式)(2023天津,1,5分)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B=

{1,2,4},则A∪(∁UB)=(

)A.{1,3,5}

B.{1,3}C.{1,2,4}

D.{1,2,4,5}A解析

列举法由题意知∁UB={3,5},所以A∪(∁UB)={1,3,5},故选A.变式训练2-2

(逆反条件变式)设全集U=R,A={x|-1<x≤2},B={x|x2-4x<0},则图中阴影部

分对应的集合是

(

)

A.{x|-1<x≤2}

B.{x|0<x≤2}C.{x|-1<x≤0}

D.{x|-1<x<0}C解析

题图中阴影部分表示的集合为∁A(A∩B),因为B={x|x2-4x<0}={x|0<x<4},所以A∩B={x|0

<x≤2},所以∁A(A∩B)={x|-1<x≤0},故选C.角度2

利用集合的运算求参数的值(或范围)典例4已知集合A={x|(x-2)·(x-3)≥0},B={x|x>a-1},若A∪B=R,则实数a的取值范围是

(

)A.(3,+∞)

B.[2,+∞)C.(-∞,2]

D.(-∞,3]D解析

易知集合A={x|x≥3或x≤2},由B={x|x>a-1},A∪B=R,借助于数轴(注意端点值能否取

到),如图所示,得a-1≤2,即a≤3,所以实数a的取值范围是(-∞,3].故选D.

变式训练2-3