1.1.1空间向量及其线性运算(精讲)(原卷版+解析)

1.1.1空间向量及其线性运算目录TOC\o"1-3"\h\u学习内容与学习目标 INET，类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1图2(1)如图1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b．(2)如图2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．3.数乘：当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝04.运算律:交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.概念3：共线向量1.定义：共线向量(或平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a2．空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.3．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．概念4：共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．（特殊的理解）2．向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.1.怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量与相加的顺序五关！可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．2.由数乘λa＝0，不一定有λ＝0?λa＝0⇔λ＝0或a＝0.3.已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则点P与点A，B，C共面由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(AP,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共面，故点P与点A，B，C共面．1.判断下列命题的真假．①空间向量就是空间中的一条有向线段；()②不相等的两个空间向量的模必不相等；()③任一向量与它的相反向量不相等；()④向量与向量的长度相等．()【答案】

错误

错误

错误

正确【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可.【详解】①错误，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．②错误，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．③错误，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确，与仅是方向相反，它们的长度是相等的．2．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)（1）零向量没有方向．()（2）有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．()（3）平面内所有的单位向量是相等的．()（4）任何两个向量均不可以比较大小.()【答案】

×

×

×

√【分析】根据零向量、单位向量的定义，有向线段与向量的关系但注意零向量，及向量的性质判断各项的正误即可.【详解】（1）由零向量定义：方向任意，长度为0，故错误；（2）有向线段都可以表示向量，零向量不能用有向线段表示，故错误；（3）平面内单位向量的长度相等，而方向不一定相同，故单位向量不一定是相等的，故错误；（4）由向量的性质知：由方向和长度两个要素，且向量不能比较大小，故正确.故答案为：×，×，×，√3.判断正误（1）若向量是向量的相反向量，则．()（2）空间向量就是空间中的一条有向线段．()（3）若空间向量，，满足，，则．()【答案】

√

×

√【详解】（1）根据相反向量的定义可知，正确；（2）向量不等同于有向线段，向量跟它的起点无关；（3）若，，则，正确.4.判断正误（1）若，则存在唯一的实数，使．()（2）空间中任意三个向量一定是共面向量．()【答案】

×

×【详解】（1）当时，不成立；（2）空间中任意三个向量不一定是共面向量，错误.5.在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？____________________________________________________________________________________________【答案】以起点为圆心，1为半径的球面6.空间两个向量，互为相反向量，已知，则下列结论不正确的是()A．

B．

C．与方向相反

D．【答案】B【详解】由题可知：向量，互为相反向量且，所以ACD正确，，所以B错误，故选：B1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（

）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量（2）若，则（3）两个向量相等，则它们的起点与终点相同（4）平行且模相等的两个向量是相等向量A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由向量的基本概念分别判断即可.【详解】对于①，根据向量定义知，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，所以①对；对于②，如两垂直的单位向量不相等，但模都等于1，所以②错；对于③，根据向量定义知，相同向量是可以移动的，所以③错；对于④，可能两向量方向相反，所以④错；故选：B.2.若，，是空间任意三个向量，λ∈R，下列关系式中，不成立的是A． B．C． D．【答案】D【分析】结合向量的运算律选出错误的选项即可【详解】都符合向量的运算律，只有当共线且时，才有，故不成立故选3.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（

）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则|a|≠|b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据相等向量的概念逐一判断可得选项.【详解】解：零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.所以正确的命题的个数为1，故选：B.4.判断下列各命题的真假：①向量和平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（

）A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【分析】根据向量的基本概念，向量共线的定义，以及相等向量的概念，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，只有两个非零向量和平行，才可得向量与的方向相同或相反，所以错误；对于②中，根据相等向量的定义，可得两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，所以正确；对于③中，若两个向量的起点不同，即使终点相同，两个向量不是共线向量，所以错误；对于④中，向量可以用有向线段表示，但有向线段不是向量，所以错误.故选：B.1.化简：______.【答案】【分析】直接利用个向量的加减法的法则，运算求得结果．【详解】解：.故答案为：．2.在平面四边形中，等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的减法与加法法则可化简.【详解】因为,所以.故选：A3.已知，，，为空间中任意四个点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的基本运算法则求得结果即可.【详解】由空间向量的基本运算法则知，故选：D4（多选）已知正方体，则下列各式运算结果是的为（

）.A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用向量加法的线性运算对四个选项逐一验证即可.【详解】选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：ABC.5.在正方体中，给出以下向量表达式：①；

②；③；

④.其中能够化简为向量的是______________（填序号）.【答案】①②【分析】根据空间向量的加法、减法运算的几何意义，即可得答案；【详解】①中，；②中，；③中，；④中，.故答案为：①②.1.四面体中，G是的中点，连接，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量加法的几何意义，结合几何体中的线段关系求目标式对应的向量.【详解】由题设，可得如下四面体的示意图，∴，则.故选：B2.四棱锥的底面是平行四边形，，，，则可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法与减法法则计算即可.【详解】解：如图，因为底面是平行四边形，所以，所以根据向量加法与减法法则得，故选：B3.如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（）A． B．C． D．【答案】C根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．【详解】，．，故选：．4.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】由题意，又，，，∴,故选：B．5.如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，.故选：D6.在平行六面体中，点P在上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.【详解】因为，，所以有，因此，故选：C1.设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.【答案】【分析】求出，利用三点共线，得到，求出λ和k.【详解】由题意，，又，且A、B、D三点共线，由共线向量定理得，存在实数使得成立，即，则，解得.故答案为：.2.若，与的方向相反，且，则＝________.【答案】【分析】直接利用向量共线进行计算即可.【详解】∵，且与的方向相反，所以＝.故答案为：.3.设是空间两个不共线的向量，已知，，且A，B，D三点共线，则实数k＝___．【答案】1【分析】由列方程组，由此求得的值.【详解】∵A，B，D三点共线，∴向量和共线，故存在实数λ，使，，所以故可得，解得.故答案为：14.已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．【答案】证明见解析【分析】求出后可得它们共线，从而可证B，C，D三点共线．【详解】，而，所以，故B，C，D三点共线．1.在下列条件中，使与，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】与，，一定共面的充要条件是，对于A选项，由于，所以不能得出共面.对于B选项，由于，所以不能得出共面.对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C2.在正方体中，点满足（）若平面平面，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正方体性质面面，结合题设知共面，根据已知向量的线性关系有，即可求值.【详解】如下图，由正方体性质知：面面，要使面面，∴在面上，即共面，又，，∴，可得.故选：D3.对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．与点位置有关【答案】B【分析】根据空间共面向量的定义进行判断即可.【详解】由，所以A，B，C，P四点共面，故选：B4.对于空间的任意三个向量､､，它们一定是（

）A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量【答案】A【分析】结合共面向量定理及共线向量判断即可.【详解】若､不共线，则由共面向量定理知，､､共面；若､共线，则､､共线，也共面.故选：A.5.已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.【详解】，即整理得由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解之得故选：B1．如图，在平行六面体的棱中，与