1.1.2空间向量的数量积运算(精练)(原卷版+解析)

1.1.2空间向量的数量积运算1.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（

）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．2.（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．3.已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．24.四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（

）A． B． C． D．5.设向量与互相垂直，向量与它们构成的角都是60°，且，，，那么______，______．6.已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为_________.7.已知，且，则向量的夹角是___________.8.在正四面体中，，若，则________．9.已知在方向上的投影向量为，则与夹角的正弦值为___________.10.如图，正方体的棱长为，是其内切球的一条直径，是正方体表面上一点，求的最大值．1.1.2空间向量的数量积运算1.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（

）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．【答案】B【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD．【详解】若，则由且，不能得出，A错；由数量积对向量加法的分配律知B正确；若，则，当时就成立，不一定有，C错；是与平行的向量，是与平行的向量，它们一般不相等，D错．故选：B．2.（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；【详解】解：对于A：，故A正确；对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD3.已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.【详解】，，则.故选：C．4.四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于：若与垂直，又与垂直，则平面与垂直，则与垂直，与与不一定垂直矛盾，所以与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0；对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；对于：根据题意，有平面，则，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0.故选：．5.设向量与互相垂直，向量与它们构成的角都是60°，且，，，那么______，______．【答案】

373【分析】根据空间向量数量积的定义及数量积的运算律计算可得；【详解】解：；．故答案为：；；6.已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为_________.【答案】【分析】利用，将其两边同时平方即可求，再开方即可求解.【详解】如图：，，，所以，所以所以的长为，故答案为：.7.已知，且，则向量的夹角是___________.【答案】【分析】根据向量的数量积的定义，即可求解.【详解】由题意可得，，则向量的夹角是.故答案为：8.在正四面体中，，若，则________．【答案】6【分析】根据空间向量的数量积计算方法即可求解.【详解】.故答案为：6.9.已知在方向上的投影向量为，则与夹角的正弦值为___________.【答案】##0.8【分析】根据投影的定义求出与夹角的余弦值，结合同角三角函数的平方关系，计算出与夹角的正弦值．【详解】因为，，且在方向上的投影向量为，设与的夹角为，则，即，又因为，且，故．故答案为：．10.如图，正方体的棱长为，是其内切球的一条直径