1.1集合的概念(精讲)(原卷版+解析)

1.1集合的概念目录学习内容与学习目标 1TOC\o"1-3"\h\u知识梳理 1学法指导 2自学与预习基础检测 2考点剖析 3考点一：集合元素“符号”的理解 3考点二：列举法与描述法 3考点三：集合中的元素 4考点四：相同集合 4考点五：判断元素与集合的关系 4考点六：含参题型1：“临界值”取舍 5考点七：含参题型2：一元二次型 5考点八：新定义 5课堂练习 61.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．4初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.5.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．概念一元素：一般地，我们把研究对象统称为元素(element)．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)．表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．概念二集合中元素的三个特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．概念三元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)“不属于”：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.概念四几个常用数集的固定字母表示自然数集：N;整数集：Z有理数集：Q实数集：R概念五集合的表示方法集合常见的表示方法有：自然语言、列举法、描述法．(1)自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法时，只要叙述清楚即可，如由所有正方形构成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”．再如全体实数组成的集合，或实数集等．(2)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(3)描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．概念六集合的分类(1)有限集；(2)无限集．1．元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1.下列各个全体中，能表示为集合的是（

）A．某届某校较优秀的毕业生； B．很接近的所有实数；C．某班身高较高的男生； D．数轴上所有的有理数点．2.用符号“∈”或“∉”填空：1____N，－3____N，___Q，___N，1__Z，－3___Q，0___Z，___R，0___N*，π___R，___Q，___Z．3.方程的解集可表示为（

）A． B．C． D．4.给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的序号是______.5.判断下列集合是有限集还是无限集．（1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合；______（2）所有正方形组成的集合；______（3）直线上的所有点组合的集合；______（4）不大于9的所有非负整数组成的集合．______1.分析下列集合中的元素是什么？A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}．2.已知集合，，，，，则（

）A． B．C． D．3.以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.①中国古代四大发明

②地球上的小河流③方程的实数解

④周长为10cm的三角形⑤接近于0的数1.集合用列举法可以表示为（

）A． B． C． D．2.由大于且小于的偶数所组成的集合是（

）A． B．C． D．3.方程组，的解集可以表示为（

）A． B．C． D．4.集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______.1.若，则中的元素应满足什么条件？2.设集合中含有三个元素（1）求实数应满足的条件；（2）若，求实数.3.若集合，集合，则集合中元素的个数是多少？1.下列各组集合表示同一集合的是（

）A． B．C．， D．2.下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．，B．，C．，D．，3.若，则a2020+b2020的值为（

）A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣11.已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2.已知集合，则下列不是集合P的元素有（

）A． B．C． D．3.设集合，则下列是集合中的元素的有（

）A．， B．，C．， D．，1.已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．2.已知集合，则集合中元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．63.已知集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4.已知集合，且，则A． B．C． D．1.若关于的方程的解集为单元素集合，则实数______．2.已知集合．(1)若，求实数a的值；(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；(3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．3.集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，集合A中至少有一个元素，求实数k的取值集合．1.已知集合，是实数集的子集，定义，若集合，，则（

）A． B． C． D．2.用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，若，则实数的取值可能为（

）A． B． C． D．20213.（多选）对于数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，a-b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中错误的是（

）A．集合M={-1，0，1}为闭集合B．集合为闭集合C．正整数集是闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合4.定义集合､的一种运算：，若，，则___________.1下列各组中M、P表示不同集合的是（

）A．，B．C．，D．，2.(多选）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．3.下列各组中M，P表示不同集合的是（

）A．M＝{3，－1}，P＝{3，－1}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}4.已知集合中的元素满足：，且，．若集合中恰有三个元素，则______，集合中的元素是______．5.具有下述性质的都是集合中的元素，即，其中，．则①，②，③中是集合的元素的是______（填序号）6.已知集合，若集合A中只含有一个元素，则实数a的取值范围是___________.7.定义集合､的一种运算：，若，，则___________.8.已知集合其中．(1)试分别判断，与集合A的关系；(2)若，，则是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．9.设集合．求证：（1）一切奇数属于集合；（2）偶数不属于；（3）属于的两个整数，其乘积仍属于．10.已知集合．（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．1.1集合的概念目录学习内容与学习目标 1TOC\o"1-3"\h\u知识梳理 1学法指导 2自学与预习基础检测 2考点剖析 3考点一：集合元素“符号”的理解 3考点二：列举法与描述法 4考点三：集合中的元素 5考点四：相同集合 6考点五：判断元素与集合的关系 7考点六：含参题型1：“临界值”取舍 8考点七：含参题型2：一元二次型 9考点八：新定义 9课堂练习 111.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．4初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.5.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．概念一元素：一般地，我们把研究对象统称为元素(element)．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)．表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．概念二集合中元素的三个特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．概念三元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)“不属于”：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.概念四几个常用数集的固定字母表示自然数集：N;整数集：Z有理数集：Q实数集：R概念五集合的表示方法集合常见的表示方法有：自然语言、列举法、描述法．(1)自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法时，只要叙述清楚即可，如由所有正方形构成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”．再如全体实数组成的集合，或实数集等．(2)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(3)描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．概念六集合的分类(1)有限集；(2)无限集．1．元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1.下列各个全体中，能表示为集合的是（

）A．某届某校较优秀的毕业生； B．很接近的所有实数；C．某班身高较高的男生； D．数轴上所有的有理数点．【答案】D【分析】根据集合的概念依次判断即可得答案.【详解】解：对于A选项，较优秀的毕业生不确定，故不正确；对于B选项，很接近的数没有度量标准，故不正确；对于C选项，身高较高没有度量标准，故不正确；对于D选项，满足集合的概念，故正确.故选：D2.用符号“∈”或“∉”填空：1____N，－3____N，___Q，___N，1__Z，－3___Q，0___Z，___R，0___N*，π___R，___Q，___Z．【答案】

∈

∉

∈

∉

∈

∈

∈

∈

∉

∈

∈

∉【分析】利用元素与集合之间的关系以及常见数集的符号表示即可得出答案.【详解】表示自然数集；表示正整数集；表示整数集；表示有理数集；表示实数集.故答案为：；；；；；；；；；；；.3.方程的解集可表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解一元二次方程，然后列举法表示集合即可.【详解】因为，所以，故方程的解集可表示为，故选：C.4.给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的序号是______.【答案】①③④【分析】根据数的分类直接判断.【详解】由题可得，，，，故①③④正确.故答案为：①③④.5.判断下列集合是有限集还是无限集．（1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合；______（2）所有正方形组成的集合；______（3）直线上的所有点组合的集合；______（4）不大于9的所有非负整数组成的集合．______【答案】

有限集

无限集

无限集

有限集【分析】根据集合的元素一一判断即可；【详解】解：（1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人只有有限个，故年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合为有限集；（2）正方形有无数多个，故所有正方形组成的集合为无限集；（3）直线上有无数个点，故直线上的所有点组合的集合为无限集；（4）不大于9的所有非负整数组成的集合，故不大于9的所有非负整数组成的集合为有限集；故答案为：有限集；无限集；无限集；有限集；1.分析下列集合中的元素是什么？A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}．[解]三个集合都是用描述法表示的．对于集合A，其中的元素是x，根据“y＝x2”，这里的x并没有什么限制，即x可以是任意实数，即集合A是由所有实数组成的集合，即实数集．对于集合B，其中的元素是y，这里的x没有任何限制，即x可以是任意实数，但是通过“y＝x2”，元素y有了限制：实数的平方，从而B中的元素是非负实数．对于集合C，从元素的代表符号“(x，y)”可以看出，其中的元素是有序实数对，这些数对的第一个数x没有限制，第二个数y受条件“y＝x2”的限制，因此C中的元素是有序实数对，且数对的第一个数取任意实数，第二个数是第一个数的平方(从几何角度讲，(x，y)就是坐标平面内的一个点，从而C中的元素就是抛物线y＝x2上的点)．2.已知集合，，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据集合的表示，确定集合中的元素，能化简的集合要化简后对比解：∵是单元素集，集合中的元素是，，，，集合中的元素是点，.∴.故选：D.3.以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.①中国古代四大发明

②地球上的小河流③方程的实数解

④周长为10cm的三角形⑤接近于0的数【答案】②⑤【分析】利用集合元素的基本特征判断.【详解】①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合；②地球上的小河流，不确定，不能构成集合；③方程的实数解是1或-1，是确定的，能构成集合；④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合；⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合.故答案为：②⑤1.集合用列举法可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合中元素满足的条件求出的值，再利用列举法表示可得正确选项.【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合，故选：B.2.由大于且小于的偶数所组成的集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据元素所满足的性质可得出结果.【详解】由题意可知，由大于且小于的偶数所组成的集合是.故选：D.3.方程组，的解集可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由方程组，解得，得到解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，方程组，解得，其解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，其中A，B．D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的集合，不符合要求，所以不能表示为．故选：ABD．4.集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______.【答案】

【分析】根据集合的描述法可得A中的代表元素为y，再结合满足条件即得，B中代表元素为结合满足的条件即得.【详解】由，，，知x可取的值为0，，，当时，，当时，，当时，，所以集合；由题知集合B表示点集，所以.故答案为：，.1.若，则中的元素应满足什么条件？【答案】且且【分析】根据集合中元素的互异性即可求解.【详解】根据集合中元素的互异性可得：，解得且且，所以应满足且且.2.设集合中含有三个元素（1）求实数应满足的条件；（2）若，求实数.【答案】（1）且；（2）【分析】（1）由集合元素的互异性直接求解.（2）若，则或，进而求解即可得答案.【详解】解：（1）由集合元素的互异性可得：且，解得且.（2）若，则或由于，所以.3.若集合，集合，则集合中元素的个数是多少？【答案】1【分析】根据集合中元素满足的条件，结合集合中的元素一一对应判断是否满足条件即可【详解】解:若,则,∴此时不成立；若,则,∴此时不成立;若,则,∴此时不成立;若,则,∴此时满足条件.综上可知.故集合中元素的个数为.1.下列各组集合表示同一集合的是（

）A． B．C．， D．【答案】C【分析】根据集合的表示法一一判断即可；【详解】解：对于A：集合表示含有点的集合，表示含有点的集合，显然不是同一集合，故A错误；对于B：集合表示的是直线上的点组成的集合，集合为数集，故B错误；对于C：集合、均表示含有两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；对于D：集合表示的是数集，集合为点集，故D错误；故选：C2.下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】根据集合元素的性质可判断.【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确．故选：B．3.若，则a2020+b2020的值为（

）A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1【答案】C【分析】根据即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值.【详解】∵，根据集合中元素的性质可得：∴，解得a=﹣1，b=0，∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.故选：C.1.已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.【详解】由题意可得，解得，故选：A.2.已知集合，则下列不是集合P的元素有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对各选项中的式子化简分析判断即可【详解】对于A，因为，此时，所以是集合中的元素，所以A不合题意，对于B，因为，所以不是集合P的元素，所以B符合题意，对于C，因为，此时，所以是集合中的元素，所以C不合题意，对于D，因为，此时，所以是集合中的元素，所以D不合题意，故选：B3.设集合，则下列是集合中的元素的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【分析】分别对，取整数，，可判断A；由，可判断B；令，通过验证不成立可判断C；由，可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为，，，，所以，故选项A正确；对于B：因为，，，，所以，故选项B正确；对于C：若，则存在，使得，则，易知和同奇或同偶，若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，矛盾；若和都是偶数，则能被整除，而不能被整除，矛盾，所以，故选项C不正确；对于D：，，，所以，故选项D正确；故选：ABD.1.已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知求出集合A，进一步得到m的范围.【详解】由题意可知，可得.故选：D2.已知集合，则集合中元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先解分式不等式，化简集合，即可确定集合中元素个数.【详解】由得，解得，所以.故选：B.3.已知集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据元素与集合之间的关系可得结果.【详解】∵2∈A，∴2﹣a≤0；∴a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）.故选：C.4.已知集合，且，则A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，解得.故选：D.1.若关于的方程的解集为单元素集合，则实数______．【答案】0或##或0##0，##，0##和0##0和【分析】由题意，方程有唯一解，分，两种情况讨论，当时，令，求解即可【详解】由于关于的方程的解集为单元素集合，即方程有唯一解（1）当时，，方程有唯一解；（2）当时，综上0或故答案为：0或2.已知集合．(1)若，求实数a的值；(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；(3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）将代入方程求解即可；（2）分、两种情况求解即可；（3）由条件可得，且，解出即可.(1)∵，∴，∴；(2)当时，，符合题意；当时，，∴．综上，或；(3)集合中含有两个元素，即关于的方程有两个不相等的实数解，∴，且，解得且，∴实数的取值范围为．3.集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，集合A中至少有一个元素，求实数k的取值集合．【答案】{k|k≤1}【分析】根据集合中元素的个数运用分类讨论法求解参数的取值范围即可.【详解】由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．1.已知集合，是实数集的子集，定义，若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求函数的值域求得，由此求得.【详解】在上递减，所以，的对称轴为轴，所以，所以.故选:B2.用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，若，则实数的取值可能为（

）A． B． C． D．2021【答案】BCD【分析】先求出，从而得到或，利用即方程有一个根得到，那么排除掉A选项，其他三个选项为正确结果.【详解】由，可得，若，有或.当时，方程组中消去有：，则，解得：，可得若，则实数的取值范围为，可知选项为:.故选：BCD3.（多选）对于数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，a-b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中错误的是（

）A．集合M={-1，0，1}为闭集合B．集合为闭集合C．正整数集是闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合【答案】ACD【分析】利用闭集合的定义判断.【详解】A.因为，故集合M={-1，0，1}不为闭集合，故错误；B.因为，所以集合为闭集合，故正确；C.因为，故正整数集不是闭集合，故错误；D.如，，而，故不为闭集合，故错误；故选：ACD4.定义集合､的一种运算：，若，，则___________.【答案】【分析】准确理解，根据新定义求，时的结果.【详解】∵，，，∴故答案为：{2，3，4，5}1下列各组中M、P表示不同集合的是（

）A．，B．C．，D．，【答案】BD【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】选项A中，根据集合的无序性可知；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故．故选：BD．2.(多选）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.【详解】当均为负数时，；当两负一正时，；当两正一负时，；当均为正数时，；∴，A、B错误，C、D正确.故选：CD3.下列各组中M，P表示不同集合的是（

）A．M＝{3，－1}，P＝{3，－1}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}【答案】BD【分析】选项A中，M和P的代表元素相同，是同集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P；选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合．【详解】选项A中，根据集合的无序性可知；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故．故选：BD．4.已知集合中的元素满足：，且，．若集合中恰有三个元素，则______，集合中的元素是______．【答案】

6

3，4，5【分析】根据集合元素的特征和的范围可得，进而可得集合的元素.【详解】因为，，，且集合P中恰有三个元素，所以，此时集合P中的元素是3，4，5．