1.2空间向量基本定理(精讲)(原卷版+解析)

1.2空间向量基本定理目录TOC\o"1-3"\h\u学习内容与学习目标 1知识梳理 1学法指导 2自学与预习基础检测 2考点剖析 2考点一：空间的基底 2考点二：空间向量基本定理 3课堂练习 41、掌握空间向量基本定理.2、会用空间向量基本定理对向量进行分解3、会用基底法表示空间向量.4、初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．概念一、空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．概念二、空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．概念三、证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.概念四、求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.概念五、求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．1.零向量能否作为基向量？不能.零向量与任意两个向量a，b都共面2.基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．3.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．4.证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．5.求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．判断对错：1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．()2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．()3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．()4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.()5．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).()6．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线．()7．已知两个向量eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))的夹角为60°，则∠NMP＝60°.()8．如果eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，则四点O，P，M，N一定共面．()1.．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是()A．

B．

C．

D．2.（2022·全国·高二课时练习）已知向量是空间的一组基，则向量也是空间的一组基；()3.（2021·全国·高二课时练习）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．()4．（2021·全国·高二课时练习）如果向量与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线．()5.（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（

）A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线 D．O，A，B，C四点共面1.（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（

）A． B．C． D．2.（2022·安徽·六安一中东校区高二开学考试）如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（

）．A． B．C． D．3.（2022·广西·容县高级中学高二开学考试（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（

）A． B．C． D．4.（2021·辽宁·高二期中）已知三棱柱，点在线段上，且，则（

）A． B．C． D．1.（2021·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则全不是零向量．()2.（2022·江苏连云港·高二期中）在正方体中，，则（

）A． B． C． D．3.（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．C． D．4.（2022·江苏常州·高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（

）A． B． C． D．5.（2022·全国·高二课时练习）已知O、A、B、C为空间四点，且对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则（

）A．、、共线 B．、共线C．、共线 D．O、A、B、C四点共面6.（多选）（2022·重庆·高二期末）若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，1.2空间向量基本定理目录TOC\o"1-3"\h\u学习内容与学习目标 1知识梳理 1学法指导 2自学与预习基础检测 2考点剖析 2考点一：空间的基底 2考点二：空间向量基本定理 3课堂练习 61、掌握空间向量基本定理.2、会用空间向量基本定理对向量进行分解3、会用基底法表示空间向量.4、初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．概念一、空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．概念二、空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．概念三、证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.概念四、求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.概念五、求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．1.零向量能否作为基向量？不能.零向量与任意两个向量a，b都共面2.基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．3.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．4.证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．5.求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．判断对错：1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．(×)2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(√)3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(√)4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(×)5．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).(×)6．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线．(×)7．已知两个向量eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))的夹角为60°，则∠NMP＝60°.(×)8．如果eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，则四点O，P，M，N一定共面．(√)1.．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是()A．

B．

C．

D．【答案】C【详解】根据空间基底的概念可知：不共面，符合要求故选：C2.（2022·全国·高二课时练习）已知向量是空间的一组基，则向量也是空间的一组基；()【答案】正确【分析】根据空间向量基底的概念判断即可；【详解】解：因为向量是空间的一组基，所以向量为非零向量，且不共面，因为向量和向量包含在由向量、向量所确定的平面内，所以向量、向量与向量不共面，且向量、向量与向量都是非零向量，所以向量也是空间的一组基；故答案为：正确3.（2021·全国·高二课时练习）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．()【答案】错误【分析】由空间向量基本定理即可判断正误.【详解】由空间向量基本定理可知：任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．所以不正确，故答案为：错误.4．（2021·全国·高二课时练习）如果向量与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线．()【答案】正确【分析】根据空间基底的知识确定正确结论.【详解】若与不共线，则与它们都垂直的向量，可以构造基底.所以如果向量与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线.故答案为：正确.5.（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（

）A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线 D．O，A，B，C四点共面【答案】D【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面故选：D1.（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量线性运算法则计算即可.【详解】．故选：C．2.（2022·安徽·六安一中东校区高二开学考试）如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可．【详解】连接ON，则由题可得故选：B.3.（2022·广西·容县高级中学高二开学考试（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空间向量加法法则直接求解．【详解】连接BD，如图，则故选：A．4.（2021·辽宁·高二期中）已知三棱柱，点在线段上，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量基本定理进行求解.【详解】由题意得：，，，故故选：D1.（2021·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则全不是零向量．()【答案】正确【分析】根据空间基底的知识确定正确结论.【详解】三个不共面的向量可以构成空间的一个基底，所以不共面，所以全不是零向量，所以判断正确.故答案为：正确.2.（2022·江苏连云港·高二期中）在正方体中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为，而，所以有