福建莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷高二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷高二数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若随机变量X服从二项分布B4,12，则A.14 B.12 C.2 2.若函数fx=ex+A.0 B.1 C.2 D.e3.若随机事件A,B满足PA=35，A.15 B.25 C.354.在四面体OABC中，D是BC的中点，则A.12OA+12OB+5.根据成对分类变量X与Y的样本观测数据，计算得到χ2≈4.881，依据α附：α0.10.050.01x2.7063.8416.635A.变量X与Y相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.05

B.变量X与Y相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.01

C.变量X与Y不相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.05

D.变量X与Y不相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.016.若向量a=1,1,0，b=A.−1 B.0 C.1 D.7.若函数fx=lnx+ax2A.−∞,−8 B.−∞,8.已知随机变量X服从正态分布N0,1，随机变量Y服从正态分布N2,1，且满足PX<a=PY>b，PA.0.1359 B.0.1573 C.0.2718 D.0.34135二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知线性相关的两个变量x，y的10对样本观测数据xi,yii=1,2,3,⋯,10满足i=A.x=−1 B.y=−110.已知正方体ABCD−A1B1A.若x=z=1，则AP⊥CD1

B.若AP//平面A1BC1，则点P轨迹的面积为11.已知定义在0,+∞上的函数fx的导函数为f′x，若xA.2f3<3f2

B.f2>f3>f4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线y=1x在点P1,13.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=A14.有4个尺寸不同的蛋糕，事先尺寸未知．现随机排列逐个呈现，按如下策略进行选择：拒绝第一个蛋糕，之后选择首个比第一个大的；若第一个本身就是最大的，则选择最后一个．按此策略选到最大尺寸蛋糕的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx=1(1)求函数(2)求函数fx在区间16.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA(1)证明：PB(2)求直线PB与平面17.(本小题15分)已知函数fx(1)证明：(2)若fx≥18.(本小题17分)如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90∘，AB=4，CD=1，A(1)求(2)求平面BC(3)若四面体ABCE的四个顶点都在球19.(本小题17分)某通信系统包含n个信号节点A1，A2，A3，…，Ann≥2，它们通过n(1)若每个节点正常工作的概率为q1+q(i)求PX(ii)证明：对任意自然数m(2(i)求所有节点都有信号的概率(结果用p表示(ii)当n=100时，若对任意p∈0,1，均可从A2，A3，A4，…，A991.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】AC10.【答案】AB11.【答案】AB12.【答案】x+13.【答案】314.【答案】112415.【答案】解：(1)因为fx因为fx在x=−即−22−故fx=1令f′x=0，则当−2<x<0时，f当x<−2或x>0时，f′x所以单调增区间：−∞,−(2)由(1)知，在区间−1fx在0,1即f0f−f1所以最大值为73，最小值为1

16.【答案】解：(1)连接BD，交AC于正方形ABCD中，AC、BD交于O又E为PD的中点，所以P又PB⊄平面ACE，所以PB//(2)因为PA⊥底面AB所以PA⊥AB，VP在Rt△PAB中，P同理可得PC=在▵PCD中，PD2设直线PB与平面PCD所成角为θ，点B到平面P则VP−BCD所以sinθ故直线PB与平面PCD

17.【答案】解：(1)因为函数fx又f′x=则p′x=ex又f′0=0，所以当−1<x所以fx在−1,所以当x=0时，fx取得最小值f(2)因为fx所以m≤xe令gx解法一：g′令hx=ex−又h12=所以∃x0∈12所以当0<x<x0时，hx<0，即所以gx在0,x所以gx所以m≤2−2ln解法二：g′x=则q′x=2e又g′所以∃x0∈12,1所以ex所以当0<x<x0时，g所以gx在0,x所以gx所以m≤2−2ln解法三：因为gx令t=x+所以h′由h′t<0得t<所以ht在−∞,所以gx所以m≤2−2ln

18.【答案】解：(1)作CG⊥E因为平面CDEF⊥平面ABFE，平面C所以，CG⊥平面ABFE所以，CG⊥BE，又AC⊥B所以，BE⊥平面ACG，所以，BE由EF//AB，A翻折前在梯形ABCD中，由AD⊥AB在平面四边形CGED中，C又CD//所以，EG设AE=x，则AS即(1+4所以，DE(2)在原直角梯形ABCD四边形DCMA为矩形，MB=AB−由于CD//所以，沿EF将梯形ABCCG以E为原点，EA,ED,EFE(0,BC设平面BCE法向量为n1=(n取z1=1，则nn取z2=1，则ncosn所以，平面BCE与平面BC(3)若四面体AB由于▵ABE为直角三角形，故球心O在经过斜边BE中点(1,21+(所以，O(点O(1,d=所以，S▵

19.【答案】解：(1)设X为n个信号节点正常工作的节点数，那么(i)P(ii)当m≠0时，设Y为m个信号节点正常工作的节点数，那么PY=0当m=1即11+q当m>1时，即11+q综上所述，1+(2)(设ξ为光纤信号传输传输中断条数，那么ξ∼第一种：所有光纤都正常工作；第二种：信号源节点A1，A所有节点都有信号的概率为((ii)若从A2,A3,…,A由于每一段两端都有信号源，所以若某一段内有至少两条光纤故障，则该段中间会有节点收不到信号；若该段内故障光纤数不超过1，则该段所有节点都有信号，所以，某段信号节点有a