苏科版初中数学七年级上册《有理数的乘法》教案 591976

苏科版初中数学七年级上册《有理数的乘法》教案

一、教学内容分析

  本节课隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，是学生在掌握了有理数、数轴、相反数、绝对值及有理数加法法则之后，对数系运算规则的又一次关键性扩展。从课程标准解构，其知识技能图谱的核心在于理解并掌握有理数乘法法则，特别是符号法则“同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”以及“任何数与0相乘，都得0”。这一法则不仅是后续学习有理数除法、乘方乃至整个代数式运算的基石，更标志着学生的数学思维从算术向代数实现了一次质的飞跃。在过程方法层面，本节课是渗透数学建模、归纳推理等思想的绝佳载体。如何引导学生从具体情境（如连续运动、温度变化、水位升降）中抽象出一般的数学规律，经历“具体实例—观察归纳—猜想验证—符号表达”的完整探究过程，是本课设计的灵魂。其素养价值深远，它不仅是运算能力的夯实，更是发展学生抽象能力、推理意识和模型观念的关键节点。理解有理数乘法，特别是“负负得正”的合理性，有助于学生打破固有的算术思维定势，初步建立对运算一致性和规则普适性的理性认知，感悟数学的严谨与逻辑之美。

  从学情诊断看，学生已具备非负有理数（正数和0）的乘法运算经验，熟悉“正×正=正”及与0相乘的规则。潜在的认知障碍主要在于对负数参与乘法运算的陌生感与不适应性，尤其是对“负×正=负”尚可借助生活经验（如连续亏损）类比理解，但对“负×负=正”则普遍感到抽象与困惑，易产生“为何两个‘不好’的东西相乘会变‘好’”的认知冲突。此外，在法则应用初期，学生易混淆符号法则与加法法则。基于此，教学对策在于：一是创设强关联、可操作的情境模型（如数轴上的运动），将抽象运算直观化、意义化；二是搭建由浅入深的认知阶梯，通过系列探究任务，让学生亲手“发现”规律，在“为何如此”上达成理解共识，而非强行记忆；三是设计多层次、即时性的评价任务，如观察学生在小组探究中的讨论焦点、分析其随堂练习中的典型错例，动态评估学生对法则本质的理解程度，并针对理解困难的学生提供额外的可视化辅助或“一对一”的引导性问题串。

二、教学目标

  知识目标：学生能准确叙述有理数乘法法则，特别是符号确定法则；能解释法则（尤其是“负负得正”）在给定情境（如数轴运动模型）中的现实意义；能正确、熟练地进行两个有理数的乘法运算，并初步处理含多个因数连乘的符号判断问题。

  能力目标：学生能够从一系列具有共同特征的具体算例中，通过观察、比较、归纳，自主发现有理数乘法的符号规律与绝对值运算规律；能够将生活情境或几何模型（数轴）转化为数学算式，并用归纳出的法则进行合理解释，初步形成数学建模与归纳推理的能力。

  情感态度与价值观目标：学生在探究“负负得正”等规律的过程中，能保持好奇心与求知欲，勇于提出猜想并尝试验证；在小组协作中，能认真倾听同伴观点，理性交流不同见解，共同构建知识，体验合作学习的价值与发现数学规律的成就感。

  科学（学科）思维目标：重点发展学生的抽象思维与归纳思维。通过从具体到抽象的过程，剥离现实背景抽取纯粹的数学关系；通过从特殊到一般的归纳，形成普适性运算规则。同时，渗透数形结合思想，借助数轴这一直观工具理解抽象的运算规则。

  评价与元认知目标：引导学生学会使用“符号先行，再算绝对值”的运算程序进行自我监控，减少计算错误；鼓励学生在练习后回顾反思，归类常见的错误类型（如符号错误、与加法混淆），并分析原因，初步形成批判性审视自身学习过程的意识。

三、教学重点与难点

  教学重点：有理数乘法法则的归纳、理解与应用。其确立依据在于，该法则是本章节乃至整个有理数运算体系的“大概念”，是后续除法、乘方及混合运算的逻辑基础。从学业评价角度看，有理数乘法运算是初中数学的基础技能，是各类考试中高频出现的考点，其掌握的熟练度与准确度直接关系到后续代数学习的信心与效果。

  教学难点：对“负负得正”法则的理解与合理化认同。难点成因在于其高度的抽象性，缺乏与之直接对应的、学生熟悉的日常生活原型，认知跨度较大。学生容易机械记忆，但内心存疑，导致在复杂情境或疲劳状态下容易出错。突破方向在于，设计有效的认知桥梁——如数轴上的连续反向运动模型，或利用运算的延续性和一致性（如利用“一个因数不变，另一个因数减小1，积如何变化？”的规律进行推导）——让学生不仅“知其然”，更在逻辑上“知其所以然”。

四、教学准备清单

1.教师准备

  1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含数轴动态演示、探究任务表格、分层练习题）；实物磁贴或卡片（用于板书关键步骤与法则）；设计并打印《课堂探究学习任务单》。

  1.2预设与规划：详细设计各探究环节的引导性问题链；预判学生可能的生成性回答及应对策略；规划板书设计，左侧呈现探究过程与实例，右侧最终归纳形成法则。

2.学生准备

  2.1知识回顾：复习有理数的概念、数轴、绝对值及有理数加法法则。

  2.2学具：准备笔、尺、《课堂探究学习任务单》。

3.环境布置

  教室桌椅调整为适合4人小组合作讨论的形式，确保每个学生都能清晰看到黑板和屏幕。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与问题驱动：“同学们，我们已经学会了有理数的加减法，今天我们要向更复杂的运算进军——乘法。先看一个生活小问题：一辆玩具车在东西向的直道上行驶，我们规定向东为正，向西为负。如果它以每秒3米的速度向东行驶，4秒后它在起点东边多少米？（生：12米）很好，列式是(+3)×(+4)=+12。那如果它是以每秒3米的速度向西行驶呢？4秒后位置？”（引导学生得出(-3)×(+4)=-12）“现在，挑战来了：如果这辆车以每秒3米的速度向西行驶，那么4秒‘前’它在哪里？请大家在数轴上比划一下，试着列出算式。”

2.暴露认知冲突与提出核心问题：学生尝试后，可能会有不同答案。教师点出关键：“看，‘4秒后’我们用了‘+4’，那‘4秒前’对应的时间该怎么表示？”（生：-4）“所以，刚才的问题就变成了速度为负（向西），时间也为负（以前），算式是(-3)×(-4)。它的结果是多少？两个负数相乘，结果到底是正还是负？这就是今天我们要攻克的核心堡垒。”

3.明确学习路径：“我们不能凭空猜测。这节课，我们就化身数学侦探，通过设计一系列‘案件’（具体算式），从简单到复杂，寻找隐藏的规律，最终自己推导出有理数乘法的完整法则，并解释为什么‘负负得正’。准备好了吗？我们的探索之旅现在开始！”

第二、新授环节

  本环节采用支架式教学，通过五个递进任务，引导学生自主建构法则。

任务一：确立“正数乘有理数”的规律

1.教师活动：教师引导学生回顾导入中的前两个例子：(+3)×(+4)=+12，(-3)×(+4)=-12。提出问题串：“观察这两个算式，乘法运算中，结果的符号与因数的符号有什么关联？”“结果的绝对值呢？”引导学生聚焦“正数×正数”和“负数×正数”。接着，在白板上出示更多例子如(+2)×(+5)、(+2)×(-5)、(-4)×(+3)等，让学生快速口算，并将算式与结果填入预设的表格中。随后提问：“当一个因数是正数时，积的符号完全由谁决定？你能用一句话概括‘正数×正数’和‘正数×负数’的规律吗？”（板书学生归纳的雏形）。

2.学生活动：学生口算教师提供的例子，观察、思考教师提出的问题。在小组内讨论规律，尝试用语言描述：“正数乘正数得正”，“正数乘负数得负，积的绝对值等于两数绝对值的积”。部分学生可能会初步感知到“符号看另一个因数的符号”。

3.即时评价标准：1.能否准确计算出给定算式的数值结果。2.在小组讨论中，能否围绕“符号”和“绝对值”两个维度进行观察。3.归纳表述时，语言是否清晰、准确，触及“绝对值相乘”的核心。

4.形成知识、思维、方法清单：

  ★规律1：正数×正数=正数。这是算术乘法的直接延续，认知起点。

  ★规律2：正数×负数=负数，负数×正数=负数。可初步归结为：异号两数相乘，结果为负。这是从具体实例中归纳的第一步抽象。

  ▲方法提示：引导学生关注算式的“结构”。在此阶段，可渗透“因数中的‘正’像一位公正的裁判，它不改变另一个因数的‘本性’：另一个因数是正，结果就正；另一个是负，结果就负。”用生动比喻辅助记忆。

任务二：探究“负数乘负数”的奥秘

1.教师活动：这是攻坚环节。教师回到导入遗留的核心问题：(-3)×(-4)=？首先，引导学生用数轴运动模型深化理解：将“-3”理解为向西每秒3米，“×(-4)”理解为回溯到4秒前。教师在数轴上动态演示：从原点出发，向西（左）移动代表现在，那么4秒前的位置应该是从“现在”点向东（右）回溯12米，最终落在原点东侧12米处，所以结果是+12。“看，在数轴上，‘负负’真的可以‘得正’！”接着，教师提供一组有规律的算式，搭建“脚手架”：(-3)×3=-9；(-3)×2=-6；(-3)×1=-3；(-3)×0=0；然后问：“观察这一列算式，第二个因数每次减少1，积怎么变化？（增加3）按照这个规律，下一个，(-3)×(-1)应该等于多少？（+3）再下一个，(-3)×(-2)呢？（+6）”。让学生填写表格，感受规律的延续性。

2.学生活动：学生观看数轴演示，努力将动态过程与算式结果相联系，试图理解其几何意义。接着，观察教师提供的“规律列”，进行推理填空，亲自验证(-3)×(-1)=3，(-3)×(-2)=6等。在小组内激动地交流：“真的，顺着规律下来，负数乘负数就是正数！”“而且绝对值也是相乘的。”

3.即时评价标准：1.能否理解数轴演示所表达的“反向的时间导致运动方向再次反向”这一逻辑。2.能否发现并应用“因数变化引起积规律性变化”的推理链。3.探究过程中是否表现出豁然开朗的兴奋感和逻辑认同感。

4.形成知识、思维、方法清单：

  ★核心突破：负数×负数=正数。这是法则的难点与关键。通过数形结合（数轴模型）赋予其几何直观，通过规律推理（保持运算的一致性）赋予其逻辑必然。

  ★归纳雏形：同号两数相乘，结果为正。与任务一的“异号得负”初步对应。

  ▲认知说明：“负负得正”并非现实世界的直接摹写，而是数学为了保证运算体系的和谐、完整与强大而做出的“最佳规则设计”。它像游戏规则，一旦接受，整个系统就能流畅运行。

任务三：归纳完整的有理数乘法法则

1.教师活动：教师将前面所有探究过的例子进行汇总展示，引导学生从“符号”和“绝对值”两个角度进行终极归纳。提问：“现在，谁能当一回小老师，给全班完整地总结一下，两个有理数相乘，积的符号如何确定？积的绝对值如何确定？还有特殊情况吗？”鼓励多名学生尝试表述，教师予以补充和精炼。最终，与学生共同敲定法则的标准表述，并郑重板书：“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。”强调：“这是我们今天侦探工作的最终成果，也是我们今后运算的尚方宝剑。”

2.学生活动：学生对照实例，回顾探索历程，尝试用精炼、准确的语言概括法则。进行个人表述和小组内互述，直至熟练掌握法则的文字表述。齐声朗读法则，加深印象。

3.即时评价标准：1.归纳的表述是否完整、准确，涵盖同号、异号、绝对值及0的情况。2.语言是否简洁、逻辑清晰。3.能否脱离具体例子，抽象地陈述一般法则。

4.形成知识、思维、方法清单：

  ★有理数乘法法则（最终版）：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。

  ★运算程序：一判符号，二算绝对值。养成“先定号，后计算”的良好运算习惯。

  ▲教学提示：板书时，可用彩色粉笔突出“同号得正，异号得负”和“绝对值相乘”，形成视觉焦点。

任务四：法则的简单直接应用

1.教师活动：教师出示一组直接应用法则的计算题，如：(-5)×6，4×(-7)，(-3)×(-8)，(-0.5)×2，0×(-100)。先让学生独立计算，然后指名回答，并追问：“你的第一步是做什么？（定符号）符号依据是什么？绝对值是多少？”特别强调带分数和小数的处理（通常先化假分数或统一为小数）。通过快速问答，固化运算程序。

2.学生活动：学生独立完成计算，严格按照“先定号，后算绝对值”的步骤进行。回答时清晰说明每一步的思考依据。

3.即时评价标准：1.运算步骤是否清晰、规范。2.计算结果（包括符号和数值）是否准确。3.口头表述能否体现法则的应用过程。

4.形成知识、思维、方法清单：

  ★巩固应用：通过模仿练习，将文字法则转化为自动化技能的第一步。

  ★易错警示：带分数参与乘法时，若未化假分数，易导致计算错误。强调：含带分数的乘法，通常先化为假分数。

  ▲延伸思考：像(-0.5)×2这样的题目，既可以看作(-0.5)×2=-1，也可以先确定符号为负，再计算0.5×2=1，得-1。方法多样，但核心程序不变。

任务五：探究多个有理数连乘的符号规律

1.教师活动：提出进阶问题：“我们已经会算两个数相乘，那三个、四个甚至更多有理数连乘，比如(-2)×(-3)×(-4)，结果的正负号怎么确定呢？”不急于给出结论，而是让学生先猜想，再计算验证。引导学生从两个的规律推想多个：“我们可以两两结合来看。先看前两个(-2)×(-3)=+6，再算(+6)×(-4)=-24。结果是负的。”再换一个例子，如(-1)×(-2)×(-3)×(-4)，让学生计算并观察。提问：“观察这些连乘式，最终结果的符号，和什么有关？你能发现一个更快捷的判断方法吗？”引导学生数算式中“负因数”的个数。

2.学生活动：学生动手计算教师给出的连乘例子。在计算和比较中，自主发现规律：当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正。并尝试用此规律快速判断其他连乘式的符号，再通过完整计算验证。

3.即时评价标准：1.能否通过具体计算，从结果中归纳出符号规律。2.归纳出的“看负因数个数”的规律是否准确。3.能否运用此规律进行快速预判。

4.形成知识、思维、方法清单：

  ★拓展规律：多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。这是对基本法则的灵活应用与推广。

  ★思维提升：体现了化归思想——将复杂问题（多个数连乘）转化为已解决的简单问题（两个数相乘）的组合。

  ▲强调：此规律的前提是“非零因数”。只要有一个因数是0，积就是0。

第三、当堂巩固训练

  设计分层、变式练习，提供即时反馈。

1.基础层（全员过关）：计算：(1)(-7)×8(2)6×(-5)(3)(-4)×(-9)(4)(-3/5)×(5/9)。目标：巩固基本法则和运算程序。反馈：学生完成后，同桌互换批改，教师巡视收集典型错误（如符号错误、分数计算错误），进行1分钟集中点评。

2.综合层（多数挑战）：(1)(-1)×(-2)×3×(-4)的结果是正还是负？请先判断，再计算验证。(2)温度每升高1千米下降6°C，已知地面温度为20°C，求距地面3千米高度的气温。目标：应用多个因数符号规律，及在简单情境中建模。反馈：第(1)题请学生讲解判断思路；第(2)题请学生板书列式（20+(-6)×3），并解释算式中每个数的意义。教师强调“将实际问题转化为有理数乘法算式”的建模过程。

3.挑战层（学有余力）：已知|a|=5，|b|=2，且ab<0。求a+b的值。目标：综合运用绝对值、有理数乘法符号法则和加法。反馈：请做出来的学生分享思路：由ab<0知a、b异号，再结合绝对值条件，分类讨论得出a、b的两组可能值，最后分别计算a+b。教师点评其思维的严密性。

第四、课堂小结

1.知识整合：“同学们，经过一节课的探索，我们收获了哪些‘宝藏’？请大家用一分钟时间，在笔记本上画出本节课的知识思维导图，中心是‘有理数的乘法’。”请一位学生上台展示并讲解其构图（通常分支包括：法则内容、探究过程、方法技巧、易错点等）。

2.方法提炼：“回顾我们得到法则的过程，我们用到了哪些厉害的‘数学武器’？”引导学生回顾：从具体例子中归纳（归纳推理）、用数轴直观理解（数形结合）、从两个数推广到多个数（化归思想）。

3.作业布置与延伸：

1.4.必做（基础+拓展）：①教材课后练习A组全部题目。②请自己设计两个生活中的情境，用有理数乘法算式表示出来。

2.5.选做（探究）：思考：有理数的除法法则可能会是怎样的？能否尝试利用“除法是乘法的逆运算”来推导？预习下一节内容。

3.6.“下节课，我们将运用这把‘乘法宝剑’，去解锁有理数的除法，看看乘除之间会碰撞出怎样的火花。”

六、作业设计

1.基础性作业（必做）：

1.2.计算下列各式：(1)(-9)×10(2)1.5×(-4)(3)(-2/3)×(-6)(4)0×(-13.7)(5)(-1)×(-1)×(-1)。

2.3.口述有理数乘法法则，并录音或录视频发给学习小组长检查。

3.4.设计意图：巩固基本运算技能，强化法则记忆。

5.拓展性作业（建议大多数学生完成）：

1.6.在数轴上表示下列运算（可画示意图）：(-2)×3和2×(-3)，并结合图形说明结果为什么不同。

2.7.某水库水位每天下降2厘米，记作-2厘米/天。请计算：(1)3天后的水位变化量；(2)3天前的水位比现在高多少？分别列出算式。

3.8.设计意图：深化对法则几何意义和现实意义的理解，促进知识的内化与迁移。

9.探究性/创造性作业（选做）：

1.10.数学小论文（题目二选一）：①《我来说说“负负得正”》——用你自己的语言和方式（故事、图画、推理等）向一位小学六年级的弟弟妹妹解释为什么“负负得正”。②《有理数乘法和加法的“爱恨情仇”》——比较乘法和加法在符号法则上的根本不同，并举例说明为什么不能混淆。

2.11.设计意图：激发深度学习，锻炼数学表达与创造性思维，满足学有余力学生的挑战需求。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。这是本节课的基石，必须准确记忆并理解。

★2.运算步骤（程序性知识）：进行有理数乘法运算时，建议遵循“先定符号，再算绝对值”的步骤。养成这一习惯能极大减少错误。

★3.“负负得正”的理解：这是难点。需结合数轴运动模型（方向与时间的双重反向）或运算一致性规律来理解其合理性与必要性，而非死记硬背。

★4.多个有理数连乘的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；有偶数个时，积为正。多个数相乘时，有一个因数为0，积就为0。此规律是高频考点。

▲5.带分数与小数的处理：算式中含带分数时，通常先化为假分数；含小数时，可根据情况统一化为分数或小数计算，以简便为准。这是运算中的易错细节。

▲6.与加法法则的对比：务必区分！加法是“同号相加取同号，异号相抵消看绝对值”；乘法是“同号得正，异号得负”。两者逻辑完全不同，混淆是常见错误根源。

★7.数形结合思想的应用：借助数轴将抽象的乘法运算可视化，是理解法则（特别是符号）的强大工具。体现了数学中直观与抽象的紧密结合。

▲8.归纳推理的体验：本节课是体验“从特殊到一般”归纳思想方法的典型课例。通过有限特例发现无限普适的规则，是数学发现的重要方式。

★9.核心素养落脚点：本节课主要发展学生的运算能力（掌握新算法）、抽象能力（从实例抽象出法则）、推理能力（归纳与验证）和模型观念（用乘法模型解决简单实际问题）。

▲10.常见考题形式：直接计算题；利用符号法则判断积的符号（特别是连乘）；在数轴背景下理解乘法；与绝对值、相反数等知识结合的综合题；简单的实际应用题。

八、教学反思

  （一）目标达成度评估：本节课预设的知识与技能目标达成度较高。通过课堂观察和随堂练习反馈，绝大多数学生能准确叙述法则并完成基础计算。能力与思维目标方面，学生在任务一、二的探究活动中表现积极，能跟随教师引导进行观察归纳，对数轴模型表现出兴趣，但在自主、完整地表述归纳过程方面，部分学生仍有困难，说明归纳推理能力的培养非一日之功，需在后续教学中持续渗透。情感目标在攻克“负负得正”难点时体现明显，学生眼中闪现的恍然大悟的光芒，是本节课最珍贵的收