追及问题中的数学模型建构与应用-小学六年级数学导学案

追及问题中的数学模型建构与应用——小学六年级数学导学案

  一、设计理念与理论依据

  本导学案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是模型意识、几何直观、推理能力和应用意识。追及问题是小学阶段行程问题中的核心与难点，它不仅是速度、时间、路程三者数量关系的深化应用，更是学生从算术思维向代数思维过渡，从具体情境向抽象模型跃迁的关键载体。传统教学中，往往侧重于公式套用与题型训练，容易导致学生机械记忆、思维僵化。本设计力图突破这一窠臼，以“情境-问题-模型-应用-拓展”为逻辑主线，将追及问题置于真实或拟真的复杂情境序列中，引导学生亲身经历“数学化”的过程：即从纷繁的具体情境中识别出共同的数学结构，抽象出“速度差×追及时间=初始距离”这一核心等量关系，并运用方程这一有力的数学工具予以表征和解决。整个过程强调学生的主动探究、协作交流与反思修正，旨在实现从解题技能到数学思想，从知识获取到素养生成的根本性转变。

  本设计还深度融合了跨学科视野。追及问题的本质是运动物体在时空中的关系刻画，其思想内核与物理学的运动学、计算机科学的算法逻辑（如碰撞检测）、乃至经济学中的优化问题均有相通之处。教学中将适时、适度地渗透这些联系，不追求跨学科知识的深度，而重在展现数学作为基础工具和思维模式的普适性与强大力量，开阔学生的学科视野，激发其探索更广阔知识领域的兴趣。

  二、教学背景与学情分析

  本节课的教学对象是六年级下学期学生。在知识储备上，学生已经牢固掌握了速度、时间、路程三者的基本关系（路程=速度×时间），能够熟练解决简单的行程问题，并初步学习了用字母表示数和最简单的方程。在思维发展上，六年级学生的抽象逻辑思维开始加速发展，具备了一定的归纳、概括和分析数量关系的能力，但将多重关系进行整合并建立等量关系的模型思想尚在萌芽阶段。在情感与态度上，学生对富有挑战性和现实意义的问题感兴趣，但面对复杂问题时容易产生畏难情绪，依赖于教师的步骤指引。

  因此，本节课的挑战在于如何搭建合适的“脚手架”，引导学生在已有知识“生长点”上自然“生长”出新知。关键在于设计有梯度、有思维容量的问题链，让学生在对比、分析、概括中自己“发现”追及问题的核心结构，而非被动接受结论。同时，需要通过多样化的情境和应用，让学生体会模型的价值，增强学习数学的信心和成就感。

  三、教学目标

  基于以上分析，设定如下三维教学目标：

  1.知识与技能：理解“同向运动”、“速度差”、“追及时间”、“初始距离（路程差）”等概念；能准确分析复杂情境中的追及关系，自主归纳并掌握追及问题的基本等量关系：速度差×追及时间=初始距离；能灵活运用方程或算术方法解决两物体直线追及的基本及变式问题。

  2.过程与方法：经历“创设情境—提出问题—自主探究—建立模型—解释应用—拓展延伸”的完整学习过程。通过观察动画演示、操作学具、画线段图、列关系式等多种活动，发展几何直观和数形结合能力。在小组合作探究中，提升分析信息、提取数量、建立等量关系的数学模型建构能力，以及有条理、合逻辑的表达能力。

  3.情感、态度与价值观：在解决富有现实感和挑战性的追及问题过程中，感受数学与生活、与其他学科的紧密联系，体验数学建模的威力和应用价值。在克服困难、解决问题的过程中，培养严谨求实的科学态度、探索精神和合作意识。

  四、教学重难点

  教学重点：引导学生经历分析、抽象、概括的过程，自主建构追及问题的数学模型（核心等量关系），并理解其本质。

  教学难点：在复杂多变的情境中（如出发时间不同、运动过程有变化），准确识别追及问题的结构，灵活运用模型解决问题。初步感悟模型思想的精髓——剥离非本质属性，把握核心关系。

  五、教学准备

  1.教师准备：精心制作的多媒体课件，包含动态演示追及过程的微视频或动画（如龟兔赛跑、两人跑步、两车行驶）；设计并印制供学生使用的探究学习单。

  2.学生准备：直尺、铅笔、彩笔；预习简单的行程问题。

  六、教学过程设计

  （一）情境激趣，孕伏模型（预计用时：8分钟）

  1.动态引入，激活旧知

   播放一段精心制作的动画：在一条笔直的道路上，一只乌龟从起点A以较慢的速度匀速向右爬行。一段时间后，一只兔子从同一点A出发，以更快的速度匀速向右奔跑去追赶乌龟。

   教师提问：同学们，这个场景让你想到了什么故事？（龟兔赛跑）但今天的故事里，兔子可没有睡觉。请大家仔细观察，兔子能追上乌龟吗？为什么？（能，因为兔子速度比乌龟快。）在数学上，我们把这种“两个物体同向运动，快者追慢者”的问题，称为“追及问题”。

  2.聚焦要素，提炼概念

   动画暂停在兔子刚刚出发的时刻。引导学生观察并思考：

   （1）在兔子开始追的那一刻，兔子和乌龟之间已经有什么了？（有一段距离）我们把这“开始追的时刻两者之间的距离”称为“初始距离”或“路程差”。

   （2）兔子要追上乌龟，什么条件是关键？（兔子的速度要大于乌龟的速度）我们把“兔子的速度减去乌龟的速度”得到的差，称作什么？（“速度差”）速度差代表着什么含义？（单位时间内，兔子能接近乌龟多少米。）

   （3）从兔子开始追，到终于追上乌龟，所用的时间我们称为什么？（“追及时间”）

   教师板书核心概念词汇：同向运动、初始距离（路程差）、速度差、追及时间。

   设计意图：借助经典寓言和生动动画，快速吸引学生注意力，在熟悉的语境中自然引出“追及问题”。通过三个层层递进的问题，引导学生将生活场景数学化，精准提炼出构成追及问题的三个核心概念要素，为后续的模型建构奠定坚实的认知基础。此环节重在“引”和“导”，将学生的思维聚焦于问题的数学本质。

  （二）合作探究，建构模型（预计用时：22分钟）

  这是本节课的核心环节，旨在让学生亲历模型的形成过程。

  1.初次探究，感知关系

   出示探究问题一（学习单任务一）：乌龟在兔子前方100米处，乌龟的速度是5米/分，兔子的速度是15米/分。兔子同时出发追乌龟，多久能追上？

   （1）独立尝试：请学生先用自己喜欢的方法尝试解决。预计学生可能出现的方法有：算术法（100÷(15-5)=10分钟）；画线段图法；列表枚举法；方程法（设追及时间为x分钟，列方程：(15-5)x=100或15x=5x+100）。

   （2）小组交流：在小组内分享各自的方法，重点讨论：每种方法背后的道理是什么？这些方法之间有什么联系？

   （3）全班汇报与引导：

    首先展示线段图。请学生上台，结合线段图讲解思路。线段图能直观显示，追及过程中，兔子比乌龟多走的路程正好就是初始的100米。

    其次，聚焦算术算式“100÷(15-5)”。引导学生解释：15-5是速度差，表示每分钟兔子能追上10米；100米是要追的总距离；用总距离除以每分钟追上的距离，就得到追及时间。这是“路程差÷速度差=追及时间”。

    最后，引出方程。板书学生列出的方程，如(15-5)x=100。引导学生发现，这个方程表达的就是“速度差×追及时间=路程差”。而方程15x=5x+100，则表示“兔子走的路程=乌龟走的路程+初始距离”，这同样是追及问题中另一组重要的等量关系。

  2.二次探究，归纳模型

   出示探究问题二（学习单任务二）：变换情境，深化理解。

   情境A：甲、乙两人从同一地点出发，甲先走3分钟后，乙才以更快的速度去追。已知两人速度，求乙追上甲的时间。

   情境B：甲、乙从相距一定距离的两地同时同向出发，甲在前慢走，乙在后快追。

   情境C：环形跑道追及问题（首次相遇）。

   将全班分为若干小组，每组选择1-2个情境进行深入探究。要求：必须画出线段图（或环形示意图）辅助分析；写出数量关系式；尝试用方程解决问题。

   小组活动期间，教师巡视指导，重点关注学生如何将新情境“转化”为第一次探究中的基本结构。例如，在情境A中，要引导学生理解“甲先走3分钟的路程”就是本题的“初始距离”。在情境C中，要引导学生理解环形跑道上同向追及，快者比慢者多跑的路程就是“一圈的长度”，这“一圈长”在此处扮演了“初始距离”的角色。

  3.抽象概括，建立模型

   各小组汇报研究成果。教师引导学生对比、分析所有情境：

   （1）这些问题的情境各不相同，有直线有环形，有同时出发有先后出发。但解决它们时，有没有找到共同点？

   （2）这个共同点是什么？（都是研究两个物体同向运动，快追慢的问题。）

   （3）解决问题的关键，都是要抓住哪一组核心的数量关系？

   在学生充分发言的基础上，教师与学生共同总结，完成模型的抽象概括：

   追及问题的核心数学模型是：速度差×追及时间=初始路程差。

   这里的“初始路程差”是一个广义的概念，它可能是开始时两者间的距离，也可能是先行者提前走的路程，还可能是环形跑道的一圈长度。方程是表达这一模型的强有力工具。

   教师板书核心模型：追及问题核心等量关系：速度差×追及时间=路程差。

   设计意图：本环节遵循“具体—抽象—再具体—再抽象”的认知规律。第一次探究从一个标准情境入手，让学生运用多种方法解决问题，体会不同方法背后相通的数量关系。第二次探究通过一组变式情境，挑战学生的思维定势，促使他们在解决新问题时，主动联想、调用和调整第一次获得的经验，从而实现知识的迁移和深化。最后的抽象概括是画龙点睛之笔，引导学生剥离具体情境的非本质属性（谁追谁、在哪追、怎么出发），聚焦最本质的数学结构（速度、时间、路程差三者关系），从而真正建立起普适性的数学模型。这个过程是学生思维从感性到理性，从具体到抽象的关键飞跃。

  （三）分层应用，内化模型（预计用时：12分钟）

  模型的价值在于应用。本环节设计分层练习，旨在巩固模型，并培养灵活应用的能力。

  1.基础应用（巩固模型）

   （1）两辆卡车从工厂出发去送货。甲车先开出半小时，车速为60千米/时。乙车以75千米/时的速度去追。乙车需要多少小时追上甲车？

   （2）一条环形跑道长400米，小张和小王同时从同一地点同向出发。小张每秒跑6米，小王每秒跑4米。经过多少秒小张第一次追上小王？

   设计意图：这两题直接对应探究环节中的两类变式（不同时出发、环形跑道），要求学生直接应用模型解决，检验对模型基本形式的掌握情况。强调画图分析和规范书写。

  2.综合应用（灵活运用）

   （3）小丽和小明家相距1200米，两人同时从家出发相向而行（注意：此处变为“相向”，是干扰项）。小丽每分钟走70米，小明每分钟走50米。相遇后，小明突然想起有东西没拿，立即以原速返回家去取，取到后立即以原速再去追小丽。问小明从返回到家再到追上小丽，共用了多少分钟？

   设计意图：本题情境复杂，融合了“相遇”与“追及”两种行程问题。学生需要先解决相遇问题，计算出相遇点和各自走过的路程，然后将情境转化为一个标准的追及问题（小明从家再次出发追已走远的小丽）。此题挑战学生阅读理解、信息筛选和模型识别能力，是思维的综合训练。

  3.拓展延伸（模型联结）

   （4）（跨学科视角）在计算机游戏中，常常需要判断一个运动的子弹是否能击中一个运动的敌人，这涉及“追及碰撞检测”。假设敌人在子弹发射时位于(x1,y1)，以速度向量(v1x,v1y)移动；子弹从(x2,y2)发射，以速度向量(v2x,v2y)飞行。忽略重力，从数学上看，子弹能击中敌人的条件是什么？（提示：将问题分解到x轴和y轴两个方向上，每个方向上看作一个追及问题，必须存在一个相同的正时间t，使得在两个方向上同时“追上”。）

   教师用通俗语言解释，不深入公式。重点在于让学生惊叹：原来我们学的追及模型，竟然是游戏编程、动画仿真中的基础数学原理！感受数学的广泛应用和强大力量。

   设计意图：分层设计满足不同层次学生的需求。拓展题不作为全体要求，旨在激发学有余力学生的兴趣，建立数学与前沿科技的联系，彰显数学的跨学科价值。

  （四）反思总结，升华认知（预计用时：5分钟）

  1.知识梳理：引导学生共同回顾本节课的探索之旅。我们研究了什么问题？经历了怎样的探索过程？最终找到了什么法宝（数学模型）？这个模型的核心是什么？

  2.方法提升：我们是如何得到这个模型的？（从具体例子中比较、分析、抽象、概括。）解决问题时，什么方法帮助我们最清晰地看到了数量关系？（画线段图。）什么工具帮助我们清晰地表达了等量关系？（方程。）

  3.情感与思想渗透：通过今天的学习，你对数学有了什么新的认识？（数学能解决很多实际问题；复杂问题背后有简单的规律；画图和方程是很好的工具；数学和计算机游戏都有关系……）教师总结：数学的魅力就在于从变化万千的世界中，发现不变的规律，并运用这些规律去预测、去创造。追及问题只是一个例子，希望同学们掌握这种“建立模型”的思维方法，去迎接未来更多的挑战。

   设计意图：不仅总结知识，更反思学习过程和思想方法。将具体的数学知识（追及模型）上升到一般的数学思想方法（建模思想、数形结合），实现认知的升华。通过学生的自我表达，强化积极的情感体验和学习数学的内驱力。

  （五）布置作业，实践延伸（预计用时：课后完成）

  1.必做题：完成练习册上相关的基础与综合练习题。

  2.探究题（二选一）：

   （1）实地调研与计算：测量自己正常步行和慢跑的速度。设计一个与家人或朋友的“追及”小游戏（如让对方先走一段，自己再去追），记录数据，并用今天所学的模型进行计算验证。

   （2）数学小论文：以“我眼中的追及问题”为题，写一篇短文。可以介绍它的模型，可以记录自己解决某个难题的过程和感想，也可以畅想它在生活、科技中的其他可能应用。

   设计意图：作业设计体现基础性与开放性相结合。必做题巩固课堂所学；探究题将数学学习延伸到课外和生活，强调实践、体验和创造，让数学学习真正活起来。小论文的形式鼓励学生进行深度思考和个性化表达。

  七、教学评价设计

  本节课的评价贯穿于教学全过程，采用多维、动态的评价方式。

  1.过程性评价：通过课堂观察，评价学生在探究活动中的参与度、合作交流的意愿与效果、运用线段图等工具辅助思考的习惯、以及提出问题和分析问题的逻辑性。教师通过巡视指导、倾听小组讨论、提问互动等方式，及时给予鼓励和点拨。

  2.纸笔评价：通过课堂练习和课后作业，评价学生对追及问题模型的理解深度和应用熟练程度。重点关注：是否能正确识别追及问题的结构；是否能规范地画出线段图并分析；是否能准确列出方程或算式；书写是否规范。

  3.表现性评价：通过探究题的完成情况（尤其是实践报告或小论文），评价学生综合运用知识解决实际问题的能力、动手实践能力、创新意识和数学表达与交流能力。

  八、板书设计

  板书将随着课堂进程动态生成，力求突出重点，展现思维脉络。

   主板书区：

    追及问题——数学模型建构

    核心概念：

     同向运动 速度差 追及时间 初始距离（路程差）

    探究与发现：

     （图示：标准追及线段图）

     关系1：兔子路程=乌龟路程+初始距离

     关系2：(快速度-慢速度)×时间=初始距离

    抽象模型：

     速度差×追及时间=路程差

    （方程：(v快-v慢)×t=s初）

    应用提示：

     1.审清题意，识别“追及”。

     2.画图分析，找准“三量”。

     3.构建方程，求解检验。

   副板书区：用于展示学生探究过程中的典型思路、列式或临时演算。

  九、教学反思与特色说明

  （本部分为教学设计者的自我反思与剖析，旨在说明本设计的理论深度与实践创新点。）

  1.深度聚焦数学建模过程：本设计的最大特色是将一堂传统的应用题教学课，重构为一节数学建模的启蒙课。整个教学过程不是以教会学生解几类追及题为终点，而是以引导学生体验“从现实到数学，从具体到抽象，从特殊到一般”的