(完整版)2.3初等函数

第三节初等解析函数一、指数函数二、对数函数四、三角函数与双曲函数三、幂函数五、反三角函数与反双曲函数小结与思考这里的ex是实指数函数一、指数函数1.指数函数的定义:定义

对于任何复数z=x+iy,规定实的正余弦函数复指数函数与实指数函数保持一致.2.指数函数的性质(1)证明加法定理证几点说明：加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明因为：例1解例2解求出下列复数的辐角主值:二、

对数函数1.定义说明：2.计算公式

由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数．规定：为对数函数Lnz的主值．于是：特殊地,例3解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例4解例5解３.对数函数的性质说明两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应．反之也成立．由于对数函数的多值性,对性质(1)和(2),证(3)[证毕]三、幂函数1.幂函数的定义注意:由对数函数的定义，例6解答案课堂练习例7解2.幂函数的解析性内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面四、三角函数和双曲函数1.正弦与余弦函数将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.定义

对任意的复数z,规定z的

性质:(5)遵循通常的三角恒等式，如(注意：这是与实变函数完全不同的)sinz的零点(sinz=0的根)为z=n

，cosz的零点(cosz=0的根)为z=(n+1/2)

；n=0,1,2,···(7)(8)sinz,cosz在复数域内均是无界函数．2.其它复变数三角函数的定义1.都是相应实函数的推广2.定义域：tanz,secz的定义域为z

(k+1/2)

cotz,cscz的定义域为z

k

3.它们都在自己的定义域内解析

(tanz)

=sec2z,

(cotz)

=-csc2z

(secz)

=tanzsecz(cscz)

=-cotzcscz4.tanz

cotz的周期是

secz

cscz的周期是2

5secz是偶函数

tanz

cotz,

cscz是奇函数例8解定义3.双曲函数容易证明:它们的导数分别为它们都是以为周期的周期函数,参见课本P25五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义利用对数定义，两端取对数得同样可以定义反正弦函数和反正切函数,2.反双曲函数的定义小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:

1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数思考题１．实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,(3)

(4)错了２．指出下列解法有何错误．荒谬透顶！！！决不会相等！！！原因Paradox悖论

Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加A={0,1}A+A={0,1,2}2A={0,2}A+A

2A“所有克利特人都