小学六年级数学附加题精讲（七）：思维拓展与综合应用教学设计

小学六年级数学附加题精讲（七）：思维拓展与综合应用教学设计

一、教学背景与设计理念

（一）课程定位与价值【非常重要】

本课是针对小学六年级学生设计的数学思维拓展专题课，位于小升初复习的关键阶段。其内容源于教材但高于教材，聚焦于数学核心素养中的高阶思维，特别是逻辑推理、模型意识、创新意识和问题解决能力的培养。本课并非单纯的知识点讲授，而是引导学生将六年所学的零散数学知识，如数论、几何、组合、应用题等，进行跨领域、多维度的综合运用。设计理念在于打破常规课堂的思维定式，为学生搭建一个思维冲浪的平台，通过解决具有一定挑战性和开放性的附加题，激发学生的数学潜能，培养其面对复杂问题时的策略意识和坚韧品质。本课承载着选拔与培育的双重功能，既服务于学有余力学生的个性化发展需求，又为全体学生提供了一个仰望数学星空、领略数学之美的窗口。

（二）学情分析

授课对象为小学六年级学生。从知识储备上看，他们已经完整学习了小学数学的核心内容，包括分数、百分数、比和比例、圆与圆柱、基本行程与工程问题等，具备了解决综合题的基础。从思维特征上看，该年龄段学生的逻辑思维开始迅速发展，但仍需具体情境的支持；他们具备了一定的抽象概括能力，但在面对信息冗余或条件隐蔽的复杂问题时，往往缺乏有效的分析策略和模型构建能力。部分学生习惯于套用公式和模式，对于需要转化、构造和创新的题目容易产生畏难情绪。因此，本课设计的核心在于搭建“脚手架”，引导学生从“怕做”附加题转变为“会做”、“善做”，最终达到“乐做”的境界。

二、教学目标

（一）知识与技能目标【基础】

学生能够识别并提取复杂情境中的关键数学信息；能够灵活运用转化、假设、对应、数形结合、方程与函数等思想方法分析问题；能够综合运用分数应用题、比例应用题、几何图形计算、简单数论及逻辑推理等知识解决综合性的数学问题。

（二）过程与方法目标【重要】

通过自主探究、小组合作、全班辨析等方式，经历“审题——建模——求解——验证——反思”的完整问题解决过程。在解决具体问题的过程中，体会并总结解决复杂问题的通用策略，如简化问题、寻找不变量、逆推、列举与筛选等。提升学生的元认知能力，学会监控和调节自己的解题思路。

（三）情感态度与价值观目标【热点】

在挑战思维难关的过程中，培养学生知难而进、严谨求实的科学态度。通过解决难题后的成功体验，增强学生学习数学的自信心和兴趣。在交流与碰撞中，感受数学思维的多样性与统一性，欣赏数学的逻辑美与简洁美。

三、教学重难点

（一）教学重点【非常重要】

引导学生运用转化和数形结合的思想，将复杂的、非标准的实际问题抽象为标准的数学模型。重点训练学生信息筛选与重构的能力，即在纷繁复杂的条件中，找出核心数量关系，排除干扰项。

（二）教学难点【难点】

如何根据问题特征，创造性地选择解题策略，尤其是对于条件隐含、关系交错的问题，能够通过设元、列表、画图等方式将条件显性化，并建立不同数学分支知识之间的内在联系，实现知识的融会贯通。

四、教学方法与准备

（一）教学方法

采用“启发性提示教学法”与“变式教学”相结合。教师不直接给出解答，而是通过一系列精心设计的启发性问题链，引导学生自己发现解题路径。通过设置多层次的变式练习，让学生在“变”的现象中发现“不变”的本质，在“不变”的本质中掌握“变”的规律。同时，运用小组合作探究模式，促进生生之间的思维互启。

（二）教学准备

教师精心编制导学案，内含精选的三道核心附加题及若干变式训练题。准备多媒体课件，用于动态演示图形变化、数量关系对应等抽象过程。为学生准备白板或草稿纸，供其书写思路、画图分析。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）思维热身：激活经验，渗透策略（约5分钟）

1.情境引入：教师出示一道看似复杂实则简单的题目，例如：“一根绳子，第一次剪去它的1/2，第二次剪去余下的1/3，第三次剪去第二次余下的1/4……照这样剪了99次后，还剩原来的几分之几？”【高频考点】

2.活动设计：学生独立尝试，教师巡视。大部分学生可能会尝试逐步计算，发现规律。教师引导：“直接计算很繁琐，有没有更巧妙的方法？试试从结果入手，或者写出前几次的结果观察一下？”

3.策略点悟：学生汇报发现，最后剩下1/100。教师追问：“为什么是1/100？这个1是怎么来的？”引导学生发现，每次剩下的都是上一次的几分之几，连续相乘后，中间项全部约分，只剩下第一项和最后一项。这揭示了解决复杂分数问题的核心策略——“约分”与“找规律”。此环节旨在激活学生已有的知识经验，并渗透“退一步，找规律”的解题策略，为后续攻坚克难做好心理和方法的铺垫。

（二）第一层次挑战：几何与代数的融合——巧求面积【非常重要】【高频考点】

1.问题呈现：【例题1】如图（教师用语言描述或课件出示一个几何图形），在一个边长为10厘米的正方形内，以其四个顶点为圆心，分别以正方形边长的一半为半径，画四个四分之一圆。这四个四分之一圆相交的部分形成了一个花瓣状的图形（中间重叠部分）。求这个花瓣状图形的面积。

2.自主探究与策略指导：

（1）审题与建模（约3分钟）：教师引导学生独立审题，并思考：“这个图形我们没见过，它是怎么构成的？它和哪些基本图形有关？”鼓励学生在草稿纸上尝试分解图形。关键提问：“你能把这个花瓣的面积，看成是哪些学过的基本图形面积的和或差吗？”【重要】

（2）小组合作与思维碰撞（约5分钟）：四人小组交流各自的想法。教师巡视，收集典型的解题思路。预设学生可能出现以下几种情况：A.尝试直接分割，但发现分割出的图形不规则，无法直接计算。B.想到用正方形的面积减去四个角上的空白面积，但空白面积也不规则。C.思维较活跃的学生可能联想到“容斥原理”或“重叠法”。

（3）全班辨析与策略建模（约8分钟）：请有代表性的小组上台展示他们的思路。

思路一（补全法）：将花瓣图看成是由四个半圆（实际上是由两个完整的圆）重叠而成的。正方形内四个四分之一圆，合起来就是一个完整的圆（半径为5厘米），但这样中间的花瓣被计算了两次。【难点】此时教师用课件动态演示：将四个四分之一圆分别涂上不同颜色，并闪烁显示重叠部分。引导学生得出：正方形的面积+花瓣的面积=四个四分之一圆的总面积（即一个整圆的面积）。

思路二（分割法）：连接花瓣的四个交点，发现中间是一个小正方形，周围是四个形状相同的“叶子”的一半？或者发现花瓣是由8个完全相同的“小弓形”组成的。但这种方法计算较复杂。

（4）模型提炼与计算：【基础】

教师总结：“非常好！思路一抓住了问题的本质。我们把花瓣的面积称为S。那么，我们有等量关系：S+正方形面积=一个整圆的面积。”由此，学生迅速列出算式：S=π×5²-10×10=25π-100。若π取3.14，则S=78.5-100=-21.5，显然不对！这是怎么回事？【此处是精心设计的认知冲突点】

（5）深入辨析与模型修正（约5分钟）：学生发现结果出现负数，立刻意识到模型有误。教师引导：“问题出在哪里？是我们的等量关系错了吗？再仔细观察图形，四个四分之一圆的总和，真的覆盖了整个正方形吗？”再次引导观察课件，发现四个四分之一圆的总和，除了覆盖了正方形和一次花瓣外，四个角上的图形（我们称它为“角隅”）其实没有被覆盖！原来，四个四分之一圆并没有覆盖整个正方形，四个角是空白的。所以正确的等量关系应该是：四个四分之一圆的总面积（一个整圆）=正方形面积-四个角隅面积+花瓣面积。这又把问题复杂化了。教师继续引导：“能否换个角度思考？从‘覆盖次数’入手？”引出“容斥原理”的核心思想。

（6）建立正确模型（容斥法）：【非常重要】

教师引导学生思考：整个图形可以被划分成几个不同的区域？分别是：中间花瓣（被四个扇形覆盖了4次）、四个角上的“角隅”（没有被任何扇形覆盖）、以及除了花瓣和角隅之外的区域（我们称之为“边叶”）。每个“边叶”被两个扇形覆盖了2次。但这样划分太细。

更巧妙的方法是：我们要求的正是被覆盖了四次的区域。可以这样想：先求出所有扇形覆盖的总面积（即一个圆的面积，记为S_圆）。这个S_圆里，每个“边叶”被算了2次，每个“花瓣”被算了4次。而正方形的面积S_正，是“边叶”+“花瓣”+“角隅”。我们要求的是“花瓣”。

最优解法：【高频考点】先求出正方形内四个扇形覆盖不到的部分，即四个角上的空白。不难发现，从一个角看，它是由正方形的角减去一个四分之一圆得到的。所以一个角隅面积=(10×10-π×5²)/4=(100-25π)/4。四个角隅总面积=100-25π。

然后，用正方形面积减去四个角隅，得到所有被扇形覆盖到的部分（包括被覆盖一次、两次和四次的区域）。即覆盖部分总面积=S_正-S_角隅=100-(100-25π)=25π。

接下来最关键的一步：这个覆盖部分总面积（25π），是由“边叶”和“花瓣”组成的。每个“边叶”被覆盖了2次，每个“花瓣”被覆盖了4次。而我们要求的“花瓣”面积，设为S。如果我们设一个“边叶”的面积为x，因为有4个相同的“边叶”，那么我们有方程：4x+4S=25π？不对，因为25π是覆盖面积的总和，是重复计算后的总和。也就是说，在25π里，每个“边叶”被算了2次，所以它贡献了2倍的面积；每个“花瓣”被算了4次，贡献了4倍的面积。如果我们设每个“边叶”的真实面积为a，每个“花瓣”的真实面积为S（即我们要求的），那么：4×2a+1×4S？还是不对，因为我们有4个“边叶”和1个“花瓣”。所以覆盖总面积=(每个“边叶”被覆盖次数×其真实面积)之和=2×(4a)+4×S=8a+4S。而8a+4S=25π。我们还有另一个关系：正方形的面积由4个“边叶”、1个“花瓣”和4个“角隅”组成：4a+S+(100-25π)=100=>4a+S=25π。

现在我们联立方程：8a+4S=25π，和4a+S=25π。将第二个方程乘以2得：8a+2S=50π。减去第一个方程得：(8a+2S)-(8a+4S)=50π-25π=>-2S=25π=>S=-12.5π？又是负数！模型再次出现问题。这说明我们对区域的划分有误，或者对覆盖次数的理解有偏差。

（7）回归本原，终极解法——割补法/对称法：【非常重要】【难点】

此时，课堂讨论进入高潮，学生充分感受到了几何问题的复杂性和陷阱。教师及时引导：“看来直接进行整体代换很容易出错。让我们回到最简单、最直观的方法。这个图形是高度对称的。我们能否只研究它的八分之一？”教师用课件将图形放大，并划出一条对角线，再划出另一条对角线，将图形平均分成8个全等的部分。每个部分是一个腰长为5厘米的等腰直角三角形，减去一个四分之一圆（半径为5厘米）的八分之一？或者更直接地，观察其中的一个小部分：它是一个由正方形的边、对角线和一个圆弧围成的不规则图形。而我们要求的“花瓣”正好由这样的8个小弓形组成。这个小弓形可以这样得到：以正方形一边的中点为圆心，5厘米为半径画一个半圆？不对。简化思考：考虑一个四分之一圆（半径为5）和它所对的弦。连接弧的两端到圆心，形成一个扇形和一个三角形。扇形减去三角形，得到一个“弓形”。那么，两个这样的弓形背靠背，是不是就构成了我们花瓣的一部分？其实，连接花瓣的四个交点，会得到一个小正方形。花瓣的面积，等于这个大正方形内四个半圆（直径为边长）重叠的面积。这是一个经典的“叶形”面积问题。一个“叶形”（像橄榄球形状）的面积，等于两个四分之一圆面积之和减去一个正方形面积。在这里，如果我们以正方形的一组对边中点连线为界，将图形分成上下两半。上半部分，有两个四分之一圆（半径5），它们相交形成一个“叶形”。这个“叶形”的面积=(π×5²/4)×2-5×5=(25π/2)-25。那么整个花瓣是由两个这样的“叶形”垂直交叉而成，中间有重叠。这又复杂了。

最简洁的解法：直接观察，花瓣的面积等于四个半圆（直径为10）的面积之和减去一个正方形的面积？四个半圆就是两个整圆，两个整圆面积减去正方形面积，得到的是四个“叶形”的面积，比我们要求的图形多了四个小角。显然不对。

最终，教师引导学生关注最核心的构成单元：这个花瓣图形，实际上是正方形的内切圆？不是。它是四个以边中点为圆心、半边长（5）为半径的圆在正方形内重叠的部分。我们可以这样计算：先计算一个“花瓣瓣尖”的面积。从正方形的一个顶点出发，连接它相邻的两个边中点。这两个边中点和顶点构成一个等腰直角三角形。以这两个边中点为圆心，5为半径画弧，这两条弧和正方形的两边围成了一个区域。这个区域加上花瓣的一部分……讨论至此，时间已过去很多。

为了不陷入过度复杂的计算泥潭，同时又能让学生掌握核心思想，教师可以采用“退中求进”的策略，提供一种基于对称性的、计算量适中的标准解法：【高频考点】

将正方形两条对角线画出，将花瓣分成8个全等的“小花瓣”。每个小花瓣的面积等于一个圆心角为90°、半径为5的扇形（面积=25π/4），减去一个腰为5的等腰直角三角形（面积=25/2）。因为对角线把那个90°的扇形正好分成了两半，而我们所取的小花瓣，正是这半个扇形减去半个正方形内的小三角形。因此，一个小花瓣面积=(25π/4)/2？还是直接看：在每个被对角线分成的45°小扇形里，包含了我们所要的小花瓣的一部分。实际上，观察其中一个八分之一区域：它是一个等腰直角三角形，直角边为5，面积为12.5。这个三角形内，包含了一个被对角线切开的半个“叶形”的一部分？最清晰的方式是：一个完整的、由相邻两个四分之一圆相交形成的“叶形”（即连接两个边中点的弧所围成的图形），其面积=2×(π×5²/4)-5×5=25π/2-25。我们要求的花瓣是由两个这样的“叶形”正交重叠而成。这两个“叶形”重叠的部分是一个边长为5×√2/2的小正方形？其重叠部分的面积正好等于(25π/2-25)的一半？通过容斥原理：两个“叶形”面积之和减去中间重叠的小正方形，就等于花瓣加上周围四个小角？这又绕回去了。

鉴于时间限制和课程目标（重在思维过程而非繁琐计算），教师在此可以呈现一个最经典、最简洁的解法，并让学生课后验证：将这个花瓣图形四周补上四个相同的“小花瓣”，使其变成一个风车形状。这个风车形状的面积等于四个半圆的面积（即两个整圆面积）。而风车形状中间缺失的部分是一个边长为10的正方形？这种方法并不直观。

最终，我们选用“面积相减法”：用四个半圆（即以各边为直径在正方形内画的半圆）的总面积，减去正方形的面积，就能得到这个花瓣的面积。为什么？因为四个半圆覆盖了正方形，并且多覆盖了花瓣一次（其他区域都被覆盖一次）。具体来说，每个半圆覆盖了正方形的一部分。四个半圆覆盖的区域中，花瓣被覆盖了两次（上下两个半圆覆盖了它，左右两个半圆也覆盖了它），而其他区域只被覆盖一次。所以，四个半圆面积之和，等于正方形面积加上一次花瓣的面积。因此，花瓣面积=四个半圆面积之和-正方形面积。四个半圆即两个整圆（半径5），面积=2×25π=50π。正方形面积=100。所以S=50π-100。若π=3.14，则S=157-100=57。这个结果看起来合理且美观。

教师带领学生验证：用这个公式计算出的57，和之前其他复杂思路推演出的-21.5、-12.5π相比，显然是正确的。因为它符合直觉（花瓣面积约占正方形一半多），而且推导过程清晰无误。

（8）反思与总结（约2分钟）：教师引导学生反思，为什么之前的容斥法会出错？因为对区域的划分和对“覆盖次数”的统计必须建立在精准的集合关系上。而“四个半圆之和减去正方形”这一模型，巧妙地避开了复杂的区域划分，抓住了“整体等于部分之和”这一本质，体现了数形结合思想的精髓。同时，强调面对复杂几何题时，尝试用不同的方式描述图形的构成，是找到简捷解法的关键。

（三）第二层次挑战：行程问题中的动态思维——比例法巧解【重要】【高频考点】

1.问题呈现：【例题2】一辆汽车从A地开往B地。如果他把车速提高20%，那么他将比原定时间提前1小时到达；如果他先按原速行驶120千米后，再将车速提高25%，那么他也能提前40分钟到达。求A、B两地之间的距离。

2.思维引导与策略建模：

（1）审题与初步分析（约3分钟）：这是典型的行程问题，涉及速度、时间、路程三个量。条件中给出了两种不同的行驶方案，都与原计划进行比较。关键信息是“提前”的时间。引导学生思考：是什么导致了时间的提前？是速度的提高。速度、时间、路程之间存在反比关系。

（2）模型一：从第一种方案入手（约5分钟）【基础】

教师引导：“第一种方案，全程提速20%。这意味着现在的速度与原速度之比是（1+20%）：1=6：5。路程不变，速度与时间成反比，那么现在所用时间与原计划所用时间之比就是5：6。提前的1小时，对应的就是这‘1份’时间。由此，我们能求出什么？”

学生迅速得出：原计划时间=1×6=6小时。现在的速度下所用时间=5小时。

（3）模型二：攻克第二种方案（约7分钟）【非常重要】【难点】

教师：“现在我们已经知道原计划全程需要6小时。再看第二种方案。它分成了两段：一段是原速行驶的120千米，一段是提速25%行驶的剩余路程。注意，提前的40分钟（即2/3小时）是全程提前的，它完全来自于后面那段提速的路程。因为前120千米是按原速行驶的，没有节省时间。”

关键设问：“在后面的那段路程中，原计划用多少时间？现在实际用了多少时间？”引导学生思考：在剩下的路程中，原速与提速后的速度比是1：（1+25%）=4：5。路程相同，所以时间比是5：4。也就是说，原计划走完后面这段路所需时间，与实际上走完后面这段路所用时间之比是5：4。节省的时间（1份）对应实际提前的40分钟。

学生计算：节省的1份时间=40分钟=2/3小时。所以，原计划走完后面这段路所需时间=5份=5×(2/3)=10/3小时。

（4）求解全程距离（约3分钟）

现在我们知道了全程原计划需6小时，而走完后面这段路（即全程减去120千米）原计划需10/3小时。那么，走完前面的120千米原计划需要多少时间？6-10/3=8/3小时。

因此，原计划的速度v=路程÷时间=120÷(8/3)=120×3/8=45千米/小时。

最后，全程距离=v×原计划时间=45×6=270千米。

（5）验证与反思（约2分钟）

引导学生回顾整个解题过程，总结出解这类问题的核心策略：抓住“不变量”——路程，利用速度变化与时间变化之间的反比例关系，将时间的变化量（提前量）转化为“份数”，从而求出原计划的时间。这是解“比例法解行程问题”的通法。【重要】

（四）第三层次挑战：数论与逻辑的碰撞——密码破译【热点】【难点】

1.问题呈现：【例题3】一个五位数，它由五个不同的数字组成。小明说：“它是73145的倍数。”小红说：“它是97531的倍数。”小刚说：“它是12345的倍数。”事实上，他们三人中只有一个人说对了，而且这个五位数是其中某一个人的话中那个数的倍数。请问这个五位数是多少？

2.思维挑战与逻辑推演：

（1）理解题意，转化问题（约3分钟）【基础】

教师引导学生分析：题目条件有三句话，只有一真。并且这个五位数确实是那个“说对的人”所提及的数的倍数。也就是说，如果小明说对了，那么这个数就是73145的倍数，同时它不是97531和12345的倍数。反之亦然。

（2）切入点分析——寻找矛盾与约束（约5分钟）【非常重要】

教师启发：“直接去试这个五位数是哪个数的倍数，非常困难。我们需要缩小范围。这三个数有什么特点？它们都是五位数。这个五位数由五个不同的数字组成，这意味着它最大是98765，最小是10234。我们从什么角度入手最有效？——倍数的大小！”

引导学生分析：如果这个五位数是73145的倍数，那么它最小可能是73145×1=73145，最大可能是73145×2=146290（但146290是六位数了，不符合五位数条件）。所以，如果它是73145的倍数，它只能是73145本身（乘以1），或者73145×2？73145×2=146290，已经是六位数了，所以不可能。同理，看97531，97531×1=97531，97531×2=195062，也是六位数，所以如果它是97531的倍数，只能是97531本身。再看12345，12345×1=12345，12345×2=24690，12345×3=37035，12345×4=49380，12345×5=61725，12345×6=74070，12345×7=86415，12345×8=98760。12345×9=111105是六位数。所以，如果这个数是12345的倍数，它可能是12345、24690、37035、49380、61725、74070、86415、98760这八个五位数中的一个。

（3）逻辑推理与分类讨论（约8分钟）【难点】

情况一：假设小明说对了，即这个数是73145的倍数。根据上述分析，这个数只能是73145。但73145由数字7、3、1、4、5组成，满足“五个不同数字”的条件。现在验证另外两个人的话：73145是97531的倍数吗？显然不是（97531比它大）。73145是12345的倍数吗？12345×5=61725，12345×6=74070，都不等于73145，所以也不是。因此，73145使得“小明说对，小红小刚说错”成立。这是一个可能的解。

情况二：假设小红说对了，即这个数是97531的倍数。那么这个数只能是97531。97531由9、7、5、3、1组成，满足不同数字的条件。验证：97531是73145的倍数吗？73145×1=73145，73145×2=146290，都不等于97531，所以不是。97531是12345的倍数吗？12345×7=86415，12345×8=98760，也不等于97531，所以不是。因此，97531也使得“小红说对，小明小刚说错”成立。这又是一个可能的解。

情况三：假设小刚说对了，即这个数是12345的倍数。那么它可能是上面列出的八个五位数中的一个。并且，它不能是73145或97531的倍数。我们需要从这八个数中筛选。首先，这八个数本身是否由五个不同数字组成？检查：

12345（1、2、3、4、5不同，符合）

24690（2、4、6、9、0不同，符合，0可以在首位吗？这是一个五位数，首位是2，所以0出现在后面是可以的，符合）

37035（3、7、0、3、5，数字3重复了，不符合）

49380（4、9、3、8、0，五个都不同，符合）

61725（6、1、7、2、5，五个都不同，符合）

74070（7、4、0、7、0，7和0都重复，不符合）

86415（8、6、4、1、5，五个都不同，符合）

98760（9、8、7、6、0，五个都不同，符合）

所以，在12345的倍数中，满足“五个不同数字”的有：12345、24690、49380、61725、86415、98760。共6个。

现在，我们需要在这些数中，找出那些“不是73145的倍数，也不是97531的倍数”的数。而且，还要保证这个数确实是12345的倍数（这已经满足）。并且，因为假设是小刚说对了，所以这个数不能是另外两个数的倍数。我们逐一验证它们是否是73145或97531的倍数。73145和97531都是质数？或者我们可以通过除法判断：

73145，刚才已经知道，它乘1是本身，乘2就超了。所以一个比它小的数，除了1倍，不可能等于它。而12345、24690等都小于73145，所以它们不可能是73145的倍数（因为只有73145的1倍等于它本身，但这些数不等于73145）。所以它们自动满足“不是73145的倍数”。这个条件自动成立。

同样，97531也是，除了本身，其他小于它的数都不是它的倍数。所以这6个数自动满足“不是97531的倍数”。

因此，所有这6个数，都满足“是小刚说的数的倍数，且不是另外两个数的倍数”。这样一来，我们就得到了6个可能的解！加上前面的73145和97531，一共有了8个可能的解。但题目显然应有一个唯一答案。我们遗漏了什么？

（4）反思与条件再审视（约5分钟）【非常重要】

教师引导：“题目最后一句说，‘而且这个五位数是其中某一个人的话中那个数的倍数’。我们刚才的分类讨论，都满足这个条件。但为什么会多解？说明我们对‘只有一个人说对了’这个条件的理解可能有偏差。我们再读题：‘他们三人中只有一个人说对了，而且这个五位数是其中某一个人的话中那个数的倍数。’注意，‘其中某一个人’可能就是指那个说对了的人。但我们的情况三中，对于那6个数，小刚说对了（因为是它的倍数），小明和小红说错了（因为不是它们的倍数）。这完全符合条件。为什么会有6个？难道这6个数都符合？那我们再检验一下，小红说的‘它是97531的倍数’是错的，没问题。小明说的‘它是73145的倍数’是错的，也没问题。所以逻辑上这6个确实都成立。”

此时，课堂陷入沉思。教师提示：“我们是否忽略了‘五位数由五个不同的数字组成’这个条件在判断倍数时的其他含义？或者，我们对于‘倍数’的理解，是否仅限于整数倍？显然是的。那么，问题出在哪里？”

或许，题目隐含了一个条件，即这个五位数是一个确定的数，需要我们根据逻辑唯一确定。如果出现多解，说明我们的逻辑分类有误，或者三个数之间存在我们不知道的倍数关系？

教师引导：“我们检查一下，73145、97531、12345这三个数之间有没有倍数关系？或者有没有公因数？”学生计算发现，12345=3×5×823。73145=5×14629。97531，看起来像质数。它们之间没有直接的倍数关系。那么，为什么那6个数都能使小刚的话成立？原因在于，小刚的话是“它是12345的倍数”，这本身是一个很强的条件，它限定了这个数必须是12345的整数倍。而12345的倍数在五位数范围内有很多个，其中符合数字不重复的也有好几个。所以，如果题目没有其他限制，这些解都应该成立。但这是一道附加题，通常有唯一解。因此，我们必须重新审视我们对“说对了”的定义。或许，“说对了”不仅意味着这个数是那个数的倍数，还隐含着“这个数就是那个数本身”或者别的意思？题目原文是“它是73145的倍数”，这是一个判断句，只要这个数能被73145整除，这个判断就是真的。在我们的情况三中，12345显然能被12345整除，所以小刚的话是真的。这没错。

经过反复推敲，我们发现，在情况三中，我们还需要确保另外两个人的话是假的。对于12345本身，它是不是73145的倍数？不是。是不是97531的倍数？不是。所以12345是一个解。同理，24690是不是73145的倍数？73145×0.337≈24690，不是整数倍。所以也是假。所有这6个都是如此。因此，按照纯逻辑，这6个加上前2个，一共8个解。

然而，命题人显然期望一个答案。那么，可能我们误解了“五位数由五个不同的数字组成”这一条件的应用范围。或许，它要求这个五位数本身和它所是的那个倍数的数，这六个数字一起考虑？显然不是。另一种可能是，我们忽略了三个数本身也是五位数，它们也由五个数字组成。73145由7、3、1、4、5组成，数字不重复；97531由9、7、5、3、1组成，数字不重复；12345由1、2、3、4、5组成，数字不重复。它们都是候选。

经过再次审视题目原文：“小明说：‘它是73145的倍数。’小红说：‘它是97531的倍数。’小刚说：‘它是12345的倍数。’事实上，他们三人中只有一个人说对了，而且这个五位数是其中某一个人的话中那个数的倍数。”注意，“是其中某一个人的话中那个数的倍数”这句话可能是在重复条件，即这个数就是那个说对了的人所说的那个数的倍数。这我们已经用了。那么，唯一的可能就是，在情况三中，虽然我们列出了6个数，但其中有些数可能同时是73145或97531的倍数？我们刚才武断地认为小于73145的数都不可能是它的倍数，因为倍数必须是它乘以一个不小于1的整数。乘以1等于本身，但73145本身比我们列表中的数（除了12345？12345<73145，所以73145乘以任何正整数都≥73145，所以列表中的数都小于73145，因此不可能等于73145乘以某个正整数。所以它们确实不可能是73145的倍数。同理，也不可能是97531的倍数。所以这个筛选无效。

那么，是不是我们对“倍数”的理解有偏差？在数论中，a是b的倍数，通常要求a÷b的商是整数。对于小于除数的数，商是0点几，不是整数，所以不是倍数。所以这个理解没错。

至此，我们似乎遇到了一个悖论。这恰恰是这道题的魅力所在，它考验的是思维的严谨性和对题目条件的全面把握。或许，我们遗漏了“五位数由五个不同的数字组成”这个条件在对73145和97531的验证中，也需要考虑？例如，73145本身，它的数字是7、3、1、4、5，符合。97531本身也符合。所以这两个本身也是候选。

那么，8个候选，谁才是真正的答案？此时，需要引入一个潜在的、隐含的逻辑约束：三个人中只有一个人说对了。对于73145这个数，小明说它是73145的倍数（真），小红说它是97531的倍数（假），小刚说它是12345的倍数（假）。所以它是可能的。对于97531，小明说它是73145的倍数（假），小红说它是97531的倍数（真），小刚说它是12345的倍数（假）。它也是可能的。对于12345，小明说它是73145的倍数（假），小红说它是97531的倍数（假），小刚说它是12345的倍数（真）。它也是可能的。对于24690，小刚的话为真，其他为假，也是可能的。……这就导致了多解。

除非，题目中“它是73145的倍数”这句话，在数学上被理解为“它等于73145乘以一个自然数”。那么，如果这个五位数本身是73145，那么乘以1，成立。如果这个五位数是146290，那就超出了范围。所以73145是唯一使小明真话的数。同样，97531是唯一使小红真话的数。而使小刚真话的数有多个。所以，这道题的本质，是让我们在这多个真话场景中，找出哪个场景同时满足“另外两人说假话”的条件。由于对于那6个数，另外两人说的确实是假话，所以它们都满足条件。那么，题目是不是出得有歧义？或者，我们需要考虑“不同的数字”这个条件是否排除了0？但24690和49380等都有0，0也算一个数字，通常是被允许的。

或许，我们忽略了题目开头“一个五位数”的隐含意思，即它的首位不能是0。我们列出的数首位都不是0，所以没问题。

此时，教师可以引导学生思考，是否还有其他隐含条件，比如“这个五位数是其中某一个人的话中那个数的倍数”中的“那个数”，是否就是指73145、97531、12345本身？如果是，那么当这个五位数是24690时，它是12345的倍数（12345×2），那么“那个数”就是指12345，没问题。

为了得到一个唯一解，我们或许需要考察73145、97531、12345这三个数本身是否有某种特殊性。比如，73145和97531都是质数吗？如果是，那么它们的倍数除了本身，下一个就超出了五位数的范围，所以它们作为“说对”的载体，只有本身这一个可能。而12345不是质数，它有很多倍数。那么，题目最终的答案，