高一数学《函数的概念及其表示》专题复习教学设计

高一数学《函数的概念及其表示》专题复习教学设计一、基本信息与设计理念【课题名称】专题04函数的概念及其表示（复习讲义）【授课对象】高中一年级学生【授课时段】寒假预科复习【课时安排】建议3课时（可根据学生掌握情况灵活调整）【课程类型】专题复习课（寒假预科讲义配套教学设计）【设计理念】本设计严格遵循《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的基本理念，以发展学生数学核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象）为导向。课程设计摒弃了传统的“灌输记忆”模式，转向“问题驱动概念建构自主探究变式迁移”的深度学习模式。通过精心设计的“知识清单”唤醒学生记忆，借助“思维导图”构建结构化知识体系，依托“十大题型”的层层递进，帮助学生从“知其然”到“知其所以然”，再到“知其所未然”，最终达成对函数概念本质的深刻理解和灵活应用。作为寒假预科讲义，本设计兼顾基础巩固与能力提升，为新学期的学习筑牢根基。二、教学内容与课标分析（一）教学内容解析【基础】函数是描述客观世界变量关系的重要数学模型，是贯穿高中数学课程的主线。函数的概念及其表示是整个函数理论的基石。本节课的核心内容是在初中用变量观点描述函数的基础上，进一步用集合论和对应论的思想提升对函数的认识，建立起更一般、更严格的形式化定义。具体内容包括：函数概念的深化理解（三要素）、函数定义域与值域的求解、函数的三种表示法（解析法、图象法、列表法）及其综合应用、以及分段函数的理解与处理。（二）课标要求与核心素养1.【核心素养：数学抽象】在初中学习的变量说的基础上，引导学生用集合语言和对应关系刻画函数，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。通过实例，让学生经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，提升数学抽象素养。2.【核心素养：数学运算】会求简单函数的定义域和值域（特别是复合函数定义域），能根据条件求函数的解析式（如代入法、配凑法、换元法、待定系数法、方程组法等）。在运算过程中，培养严谨、细致的运算习惯。3.【核心素养：直观想象】能够画出给定函数或分段函数的图象，并能通过图象直观地分析函数的性质（如定义域、值域、最值等），体会“以形助数”的思想方法。4.【核心素养：逻辑推理】理解函数相等的概念，能够判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数是一个函数而不是几个函数，并能根据分段函数的解析式解决相关问题，培养分类讨论与逻辑推理能力。（三）学情分析【已有基础】学生在初中已经学习了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数，对“变量说”下的函数定义有初步了解，知道函数的三种表示法，具备基本的代数运算和作图能力。【存在问题】学生对函数概念的理解往往停留在“一个量随另一个量变化”的表层，对于函数是“一种确定的对应关系”缺乏深刻认识。具体表现为：容易忽视定义域的重要性；对抽象符号f(x)的理解存在困难，难以区分f(x)与f(a)；在判断函数是否相同时，容易忽略定义域；对分段函数图象的画法和理解存在障碍。【对策】针对上述问题，本设计通过设置认知冲突的问题（如“y=1是函数吗？”），引导学生重新审视旧知，再用集合与对应的观点进行再分析，从而在思辨中完成概念的升华。三、教学目标与重难点（一）三维目标整合1.知识与技能：1.2.准确理解并掌握函数的三要素（定义域、对应关系、值域），能用区间表示数集。2.3.掌握求函数定义域和值域的基本方法。3.4.熟练掌握函数的三种表示法，并能根据具体问题情境选择恰当的方法表示函数。4.5.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，并能画出其图象。6.过程与方法：1.7.通过对初中函数定义的回顾与高中函数定义的对比分析，经历概念的形成与深化过程。2.8.通过“十大题型”的变式训练，掌握解决函数问题的基本策略（如数形结合、分类讨论、换元法等）。9.情感、态度与价值观：1.10.体会数学概念的严谨性与发展性，感悟从具体到抽象、从特殊到一般的思维方法。2.11.在解决函数问题的过程中，培养严谨求实的科学态度和锲而不舍的钻研精神。（二）教学重难点1.【教学重点】1.2.【重点】函数三要素的理解与应用。2.3.【重点】求函数定义域（特别是抽象函数定义域）的方法。3.4.【重点】分段函数的概念、图象及求值。5.【教学难点】1.6.【难点】对函数符号f(x)的理解，以及f(x)与f(a)的区别与联系。2.7.【难点】抽象函数定义域的求解。3.8.【难点】用换元法和方程组法求函数解析式。四、教学过程设计（核心环节）【第一课时】函数的概念与三要素（一）创设情境，认知冲突（唤醒与导入）【师】同学们，我们在初中就已经接触过函数，谁能用一句话说说什么是函数？能举几个例子吗？【生】预设回答：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数。比如y=2x，y=x²等。【师】非常好。那我们来看两个问题，大家思考一下，用初中的定义还能完美解释吗？问题1：（板书）判断下列关系式是否表示y是x的函数？（1）y=1（2）y²=x【生】对于问题1（1），可能会有争议。有的学生会认为没有自变量，不是函数；有的会认为y恒等于1，x取任何值，y都是1，所以是函数。【师】大家的争论点很好！这正是我们今天要深入研究的主题——如何用更精确、更一般的数学语言来定义函数，让它能涵盖所有的情形。我们将引入集合和对应的观点，重新审视函数这个概念。（二）概念建构，精讲深化（探究新知）【师】请大家打开课本（或看讲义），我们来看教材上的三个引例（解析式、图象、表格）。请同学们小组讨论，这三个例子有什么共同的结构特征？【生】讨论后回答：它们都涉及两个非空的数集；都有一个确定的对应关系；对于一个数集中的每一个数，在另一个数集中都有唯一确定的数和它对应。【师】总结得非常到位。这就是高中函数定义的核心。1.【重要】函数的概念（对应说）：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y和它对应，那么就说f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。1.2.x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）。2.3.与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）。显然，值域是集合B的子集。4.【基础】对函数符号f(x)的理解：1.5.f(x)是一个整体符号，它表示一个函数，其中f是对应法则。2.6.对应法则f好比一个“加工器”，把输入的自变量x，经过“加工”后，输出函数值f(x)。3.7.f(a)表示当自变量x=a时，函数f(x)对应的函数值，是一个具体的数值。8.【重点】函数的三要素：1.9.定义域：自变量x的取值范围。2.10.对应关系：f（联系的纽带，核心）。3.11.值域：函数值的集合。4.12.强调：当且仅当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，这两个函数才是同一个函数（值域可由前两者唯一确定）。（三）典例剖析，变式训练（应用新知）【题型一】函数概念的辨析1.【热点】下列对应关系是集合A到集合B的函数的是（）A.A=R，B=R，对应关系f：x→y=1x2B.A={x|x≥0}，B=R，对应关系f：x→y=±xC.A=Z，B=Z，对应关系f：x→y=x2D.A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤2}，对应关系f：x→y=x1【解析】判断是否为函数，需同时满足：A、B非空数集；A中任意元素在B中有唯一元素对应。A：x=2时，1x2无意义，即A中元素2在B中没有元素与之对应，不是函数。B：对于A中一个正数x，y=±x有两个值与之对应，不是唯一，不是函数。C：对于A中任意整数x，x2都是唯一确定的整数，满足函数定义。D：A中x=0，按对应关系得y=1，不在集合B中，即A中元素0在B中没有元素对应，不是函数。【答案】C【题型二】函数图象的判断（数形结合）1.【重要】下列各图中，可表示函数y=f(x)的图象的是（）（此处应配有四个坐标系，分别画出：A.一个圆；B.一条与y轴平行的直线；C.一条与x轴平行的直线；D.一条与x轴垂直的直线。但根据文本描述，我们只能抽象说明）【解析】函数图象的本质是：对于定义域内的每一个x，有且仅有一个y与之对应。反映在图象上，就是“垂直于x轴的直线与图象至多有一个交点”。根据此“铅垂线法”，只有C选项符合。【答案】C【题型三】判断两个函数是否为同一函数1.【高频考点】下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.f(x)=x21x1与g(x)=x+1B.f(x)=(x)2与g(x)=|x|C.f(x)=x0与g(x)=1D.f(x)=|x|与g(x)=x,x≥0x,x<0【解析】A：f(x)定义域为{x|x≠1}，g(x)定义域为R，定义域不同。B：f(x)定义域为{x|x≥0}，g(x)定义域为R，定义域不同。C：f(x)=x0定义域为{x|x≠0}，g(x)=1定义域为R，定义域不同。D：g(x)正是f(x)=|x|的分段形式，定义域和对应关系完全相同。【答案】D【第二课时】函数的定义域与解析式（一）温故知新，直击核心【师】上节课我们明确了函数的三要素。这节课，我们将重点攻克其中的两大核心要素——定义域和解析式。请记住一句话：定义域是函数的灵魂，解析式是函数的外衣。（二）题型探究，方法提炼【题型四】求函数的定义域1.【基础】具体函数的定义域（1）分式型：分母不为0。（2）根式型：偶次根式下被开方数大于等于0；奇次根式下被开方数为R。（3）零次幂型：x0中，x≠0。（4）实际问题型：除满足数学条件外，还需符合实际意义。例4.1：求函数f(x)=x+1+1x2的定义域。【解析】要使函数有意义，需满足：x+1≥0且x2≠0。即x≥1且x≠2。所以定义域为{x|x≥1且x≠2}，用区间表示为[1,2)∪(2,+∞)。2.【难点】抽象函数的定义域1.3.核心法则：定义域永远指自变量x的取值范围。2.4.法则：在同一个对应法则f下，括号内整体的取值范围相同。例4.2：已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x+1)的定义域。【解析】f(x)的定义域为[1,3]，意味着对于f，括号内的整体必须满足在1到3之间。对于f(2x+1)，则有1≤2x+1≤3。解得：0≤2x≤2=>0≤x≤1。所以f(2x+1)的定义域为[0,1]。例4.3：已知函数f(2x1)的定义域为[0,2]，求函数f(x)的定义域。【解析】f(2x1)的定义域为[0,2]，即自变量x的取值范围是0≤x≤2。则对于f(2x1)这个整体，括号内的范围是：当x=0时，2x1=1；当x=2时，2x1=3。所以2x1的取值范围是[1,3]。因为同一个对应法则f，括号内整体范围相同，所以f(x)的定义域就是x的取值范围，即为[1,3]。【题型五】求函数的解析式1.【基础】代入法（直接法）例5.1：已知f(x)=x22x，求f(x+1)。【解析】f(x+1)=(x+1)22(x+1)=x2+2x+12x2=x21。2.【重要】配凑法与换元法（用于已知f[g(x)]求f(x)）例5.2：已知f(x+1)=x2+2x，求f(x)的解析式。【解法一：配凑法】f(x+1)=x2+2x=(x2+2x+1)1=(x+1)21。将(x+1)看作一个整体，令t=x+1，则f(t)=t21。所以f(x)=x21。【解法二：换元法】令t=x+1，则x=t1。代入得f(t)=(t1)2+2(t1)=t22t+1+2t2=t21。所以f(x)=x21。3.【难点】方程组法（用于已知关于f(x)与f(1x)或f(x)的关系式）例5.3：已知f(x)+2f(1x)=x(x≠0)，求f(x)。【解析】这是一个函数方程。我们用1x替换原式中的x，得到：f(1x)+2f(x)=1x。联立原方程，将f(x)和f(1x)视为两个未知数：{f(x)+2f(1x)=x(1){f(1x)+2f(x)=1x(2)为了消去f(1x)，我们可以(1)2×(2)，或者用加减消元法。这里用(1)2×(2)：[f(x)+2f(1x)][2f(1x)+4f(x)]=x2x化简得：3f(x)=x2x=x22x所以f(x)=x223x=2x23x。【第三课时】函数的表示法与分段函数（一）回顾与引入【师】我们知道了函数是什么，也知道了定义域和解析式怎么求。那么，除了用解析式，我们还能用什么方式来表达一个函数呢？它们各有何优劣？（二）知识精讲【基础】函数的三种表示法1.【基础】解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。优点：简明、概括，便于理论推导和计算。缺点：不够直观。2.【基础】列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点：不需计算，直接看出对应值。缺点：只能表示有限个元素间的对应，难以看出变化趋势。3.【基础】图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。优点：直观形象，能清晰地反映函数的变化趋势和整体性质。缺点：从图象上读出的对应值往往不够精确。（三）典例剖析，综合应用【题型六】求函数值（分段函数）1.【热点】已知函数f(x)={2x+1,x≤0{x2,x>0，则f(f(1))=______。【解析】这是一个分段函数，求值时要注意自变量所在区间，选择对应的解析式。∵1≤0，∴f(1)=2×(1)+1=1。∵1≤0，∴f(f(1))=f(1)=2×(1)+1=1。【陷阱】注意，有些题目中，内层函数值可能将自变量带入另一个区间。【题型七】分段函数的图象与值域1.【重要】已知函数f(x)=|x1|+|x+2|。（1）用分段函数形式表示f(x)；（2）画出函数f(x)的图象；（3）求函数f(x)的值域。【解析】这是一个经典的绝对值函数，体现了分段函数与数形结合的思想。（1）找零点：令x1=0得x=1；令x+2=0得x=2。这两个点将实数轴分成三段：(∞,2]，(2,1]，(1,+∞)。当x≤2时，x1≤0，x+2≤0，∴f(x)=(x1)(x+2)=x+1x2=2x1。当2<x≤1时，x1≤0，x+2>0，∴f(x)=(x1)+(x+2)=x+1+x+2=3。当x>1时，x1>0，x+2>0，∴f(x)=(x1)+(x+2)=2x+1。所以f(x)={2x1,x≤2{3,2<x≤1{2x+1,x>1（2）作图：根据各段解析式，在相应区间内画出图象。图象是一个“平底锅”形状，中间是水平线段y=3(x∈[2,1])，左边是一条斜率为2的射线，右边是一条斜率为2的射线。（3）由图象可知，函数的最小值为3（在x∈[2,1]上取得），无最大值。因此值域为[3,+∞)。【题型八】函数图象的识别与应用1.【热点】某学生从家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了开始走余下的路。下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则符合该学生走法的图象是（）（选项应为四个关于距离与时间的图象。根据描述，应为D。因为一开始跑步，离学校距离减少得快，图象陡；后来走路，减少得慢，图象平缓。且出发时距离最大，到校时距离为0。）【解析】本题考查用图象法表示函数，并理解图象变化趋势的实际意义。关键要分清纵轴是“离学校的距离”，随着时间增加，距离越来越小。一开始速度快，距离下降快（斜率大），后来速度慢，距离下降慢（斜率小）。【答案】D【题型九】函数值域的常见求法（综合）1.【难点】求下列函数的值域：（1）y=x22x+3，x∈[1,3]（配方法，结合图象）（2）y=2x+1x3（分离常数法）（3）y=x+12x（换元法）【解析】（1）y=(x1)2+2，对称轴为x=1，在区间[1,3]内。当x=1时，y_min=2；当x=1时，y=(2)2+2=6；当x=3时，y=(2)2+2=6。所以值域为[2,6]。（2）y=2x+1x3=2(x3)+7x3=2+7x3。因为7x3≠0，所以y≠2。所以值域为{y|y∈R且y≠2}。（3）令t=12x(t≥0)，则x=1t22。代入得y=1t22+t=12t2+t+12=12(t22t)+12=12(t1)2+1。因为t≥0，且二次函数开口向下，当t=1时，y_max=1；无最小值（t可以无限大，y趋近于负无穷）。所以值域为(∞,1]。【题型十】创新探究与综合应用1.【高频考点】设函数f(x)={x1,x≤0{x,x>0。若f(x0)>1，求实数x0的取值范围。【解析】本题是分段函数与不等式结合，需分类讨论。①当x0≤0时，f(x0)=x01>1，解得x0>2，即x0<2。结合前提x0≤0，取交集得x0<2。②当x0>0时，f(x0)=x0>1，解得x0>1。结合前提x0>0，取交集得x0>1。综上，x0的取值范围为(∞,2)∪(1,+∞)。五、知识清单与思维导图（课堂总结）（一）【思维导图】（此处在教学设计中以文字形式呈现框架，供学生填空或复述）┌─────────────────┐│函数的概念││(集合对应说：任意、唯一)│└────────┬────────┘│┌────────┴────────┐│函数的三要素│◄─────┐└────────┬────────┘│││┌────┴────┬────┴────┐│↓↓↓│┌──────┐┌──────┐┌──────┐│判断函数相等│定义域││对应关系││值域││(定义域与对应关系)└──────┘└──────┘└──────┘│││││││└─────┼───┘│↓││┌─────────────┐│││函数的表示法│││└──────┬──────┘││┌──┴──┬──┐││↓↓↓││┌────┐┌────┐┌────┐│││解析法││列表法││图象法│││└────┘└────┘└──┬─┘│││││┌─┴─┐││┌────┤应用├────┐││↓└───┘↓││┌──────┐┌──────┐│││求值、作图││数形结合│││