2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第03讲 实数的认识与运算（原卷版）

第03讲实数的认识与运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）典型例题一无理数典型例题二实数的性质典型例题三实数与数轴典型例题四实数的大小比较典型例题五无理数的大小估算典型例题六勾股定理与无理数典型例题七实数的混合运算典型例题八新定义下的实数运算典型例题九与实数运算相关的规律题典型例题十实数运算的实际应用知识点01实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.【即时训练】1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中正确的是（）A．无限小数都是无理数 B．无理数都是无限小数C．实数可以分为正实数和负实数 D．两个无理数的和一定是无理数2．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）实数的相反数是______．知识点02实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.【即时训练】1．（2026·山东菏泽·二模）下列四个数中，绝对值最大的数是（

）A． B．0 C． D．2．（2026·安徽六安·二模）在电子制作的过程中，我们发现电阻的阻值为，电阻的阻值为，比较大小：_____2.3（填“＞”或“＜”）．知识点03实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【即时训练】1．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）计算的结果为（

）A．11 B． C．1 D．2．（2026·浙江丽水·模拟预测）______．【典型例题一无理数】【例1】（2026·山东德州·二模）下列四个选项中，无理数的是（

）A． B． C． D．【例2】（2026·河北·二模）已知数据：，，，，．其中有理数出现的频率为（

）A．0.2 B．0.6 C．0.7 D．0.8【例3】（25-26七年级下·陕西延安·期中）实数中是无理数的是______．【例4】（25-26七年级下·河南安阳·期中）在实数，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有_____________个．1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明．(1)无限小数都是无理数．(2)无限小数都是实数．(3)带根号的数都是无理数．(4)实数都是有理数．(5)实数都是无理数．2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______．(2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．3．（24-25七年级下·福建厦门·阶段检测）【阅读理解】定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：解：设，a与b是互质的两个整数，且，则，即_________①．∵是整数且不为，∴是的倍数．设（是整数，且），则．∴_________②．∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾．∴是无理数．【解决问题】(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；①__________________；②__________________(2)证明：是无理数．【典型例题二实数的性质】【例1】（2026·重庆巴南·模拟预测）实数7的绝对值是（

）A．7 B． C． D．【例2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（

）A．两个无理数的积仍为无理数B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数C．无理数可以用分数来表示，例如D．任意一个无理数的绝对值都是正数【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数的相反数是__________．【例4】（24-25七年级下·山西大同·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则______．1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．(1)已知两个实数a，b，则．(2)两个无理数的和一定是无理数．2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）数轴上两点A、B在数轴上分别表示数a、b．那么A、B两点之间的距离可表示为．(1)当点A表示的数为4，点B表示的数为9时，AB＝；当点A表示的数为﹣2，点B表示的数为时，AB＝；当点A表示的数为x，点B表示的数为2，且AB＝3时，点A表示的数x为．(2)当取最小值时，求x的取值范围，并求出的最小值．3．（24-25八年级上·山东东营·期中）阅读与理解上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：，因为，所以当时，的值最小，最小值是0，所以，所以当时，的值最小，最小值是1，所以的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________；(2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；(3)知识拓展：若，求的最小值．【典型例题三实数与数轴】【例1】（2026·宁夏·一模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（

）A． B． C． D．3【例2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）根据图中尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的实数为（

）A． B． C． D．【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是_____________；【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________．1．（25-26八年级下·北京西城·期中）利用勾股定理在数轴上画出的点P2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点．(1)写出数轴上点所表示的数为______；(2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”）(3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹）3．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为_______，图2中点表示的数为______；(2)迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图；②利用①中的结论，在图4的数轴上标出表示数的点．【典型例题四实数的大小比较】【例1】（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）在，，，这组数中，最小的数是（

）A． B．0 C．2 D．【例2】（2026·安徽安庆·一模）在，，0，这四个数中，最大的数是（

）A． B． C．0 D．【例3】（25-26七年级下·四川南充·期中）比较大小：_______1(用>，<，=填空)【例4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）若，，则a______b（填“”“”或“”）．1．（25-26八年级上·全国·单元复习）已知：3，0.66666…，0，，，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0），．(1)写出以上所有的有理数；(2)写出以上所有的无理数；(3)把这些数按从小到大的顺序排列起来．2．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下：请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接．(1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________．(2)请你帮助小云完成剩下的任务．3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小小明的解法如下：解：因为，所以所以，所以所以我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小【典型例题五无理数的大小估算】【例1】（25-26七年级下·安徽六安·期中）数轴上点表示的数是，点表示的数是，则数轴上，两点之间的整数是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【例2】（2026·湖北荆州·模拟预测）将5个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形，如图，则估计与这个大正方形的边长最接近的整数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例3】（25-26七年级下·重庆开州·期中）比较大小：_______．（填“>”“<”或“=”）【例4】（2026·广东肇庆·一模）斐波那契数列中的第n项可以用表示，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，最接近的整数为______．1．（25-26七年级下·湖南·阶段检测）阅读下面求近似值的方法，回答问题：第1步：任取正数；第2步：令，则；第3步：令，则；…以此类推，得到．其中称为的阶过剩近似值，称为的阶不足近似值．仿照上述方法，求的近似值．取，则：(1)_____．(2)求的三阶不足近似值．2．（25-26八年级上·北京·单元测试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．小明的方法：∵，设，∴，∴，∴，解得，∴．（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）问题：(1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）；(2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）．3．（24-25七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)到底有多大？下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．由面积公式，可得________．因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______．(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．【典型例题六勾股定理与无理数】【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（

）A． B．0．8 C． D．【例2】（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在长方形中，，若以A为圆心，的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则M为（）

A．2 B． C． D．【例3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是___________．【例4】（2025·河南·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在上，则与数轴正半轴的交点E表示的数为__________．1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是无理数，另外两边长是有理数；(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；(3)在图③中，画一个面积最大的直角三角形，使它的三边长都是无理数．2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，．(1)请说明甲同学这样做的理由；(2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点．3．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点．(1)正方形的面积是，点表示的数是；(2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹）(3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值．【典型例题七实数的混合运算】【例1】（24-25七年级下·广西玉林·期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【例2】（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（

）A．1 B． C．2 D．【例3】（25-26八年级上·北京大兴·期中）计算：（1）______．（2）______．【例4】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________．1．（2026·河南周口·模拟预测）计算(1)；(2)．2．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）计算．(1)；(2)；(3)．3．（2026·贵州贵阳·一模）解答以下问题：(1)计算：；(2)杨老师给出了一道“挑战题”：，小明和南南围绕这道题展开了讨论：请你观察方程的特点，选择喜欢的方式解这个方程．【典型例题八新定义下的实数运算】【例1】（24-25七年级下·湖南株洲·期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．现对17进行如下操作：，这样对17只需进行3次操作后变成1，类似的，401变为1需要进行的操作次数是（

）A．2次 B．3次 C．4次 D．5次【例2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）十六世纪的数学家试图求解方程时，陷入了困境．在实数范围内，任何实数的平方都为非负数，这意味着该方程在实数领域内无解．为了突破这一局限，数学家们大胆引入了一个全新的概念——虚数，定义：，其中是虚数单位，如．虚数与实数结合形成复数，复数的形式为，其中是叫实部，叫虚部，如复数中，2是实部，3是虚部，那么的实部为（

）A． B． C．1 D．6【例3】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________．【例4】（25-26七年级上·河北唐山·期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为，，，，如果，那么我们把这个四位正整数叫作“进步数”．例如四位正整数1234：因为，所以1234叫作“进步数”．则四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”之差为________．1．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数．请根据上述材料，解答下列问题：(1)若数与是关于的对称数，求数的值；(2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由．2．（25-26七年级下·全国·阶段检测）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”．例如：，为3，4的“平方和数”．请你根据以上材料回答下列问题：(1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________；②5还可以是数_________，_________的“平方和数”．(2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________；(3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值．3．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考：请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下：，．．．继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则．任务：(1)填空：___________，___________．(2)求的值．(3)已知，求的值．【典型例题九与实数运算相关的规律题】【例1】（24-25八年级上·山东威海·阶段检测）为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（

）A． B． C． D．【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是（）A． B． C． D．【例3】（24-25七年级上·山东德州·期末）一列数，其中则，则______．【例4】（2023·内蒙古·模拟预测）观察下列各式：，，，…请利用你所发现的规律，计算：________．1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：(1)具体运算，发现规律，①；②；③；④_________；(2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律；(3)证明你的猜想．2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，计算：3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段检测）先观察等式，再解答问题：①；②；③．(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______；(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）；(3)应用上述结论，请计算的值．【典型例题十实数运算的实际应用】【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（

）A．，， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1，【例2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（）A． B． C．2 D．【例3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为2________．【例4】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”）1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：___，___；(2)计算：(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式2．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，．(1)请你写出的有理化因式：___________；(2)请仿照上面给出的方法简化；(3)已知，，求的值．3．（24-25七年级上·四川成都·期末）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1套至55套56套至110套110套及以上每套服装的价格70元60元50元如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元．(1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？(2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？(3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元．1．（2026·宁夏固原·二模）若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·河北邢台·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（

）A． B．C． D．3．（25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为0，2，过点A作，且，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点A的左侧），则点D表示的数为（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（

）A． B． C． D．5．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（

）A． B． C． D．6．（24-25七年级下·福建福州·期末）请