公式法课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2.2

公式法第二十五章

一元二次方程学习目标12会用公式法解一元二次方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律．解方程5x2＋4x－1＝0.

探究与应用任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).能否用配方法得出它的解呢?我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题:活动

探究一元二次方程的根的判别式和求根公式问题情境

将方程二次项系数化成1移项配方化为(x+n)2=p(n,p是常数,p≥0)的形式用直接开平方法求得方程的解2合作探究ax2+bx+c=0(a≠0)

？2合作探究

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)【问题1】那么我们能否也用配方法得出它的解呢？解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0：

①对于方程①接下来能用直接开平方解吗1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=

.

2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式与其根的情况的关系:当Δ>0时,方程有两个

的实数根;

当Δ=0时,方程有两个

的实数根;

当Δ<0时,方程

实数根.

概括新知

2合作探究

2合作探究

方程有两个不相等的实数根式子b2−4ac的值有以下三种情况：

(教材补充例题)利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况:(1)x2-5x=-7;

理解应用例1解:(1)方程化为x2-5x+7=0.∵a=1,b=-5,c=7,∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×7=-3<0,故方程无实数根.

2合作探究

归纳总结

由上可知，对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；

当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ<0时，方程无实数根.2合作探究

求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.

可以发现，式子b2−4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2−4ac.根的判别式△与方程的根的关系：

①当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;

②当Δ＝0时,方程有两个相等的实数根;

③当Δ<0时,方程无实数根.

求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.拓展当m为何值时,关于x的一元二次方程mx2-(4m+1)x+4m-1=0:(1)有两个相等的实数根?(2)有两个不相等的实数根?(3)无实数根?

3典例分析

确定a，b，c的值时，要注意它们的符号.3典例分析

【练习】用公式法判断下列方程是否有实数根?(1)5x2＋4x－1＝0;(2)2x2＋3＝4x;解:a＝5，b＝4，c＝－1,∵△＝42－4×5×(－1)＝36>0,∴方程有两个不相等的实数根.解:a＝2，b＝－4，c＝3,∵△＝(－4)2－4×2×3＝－8<0,∴方程无实数根.思考1：在使用根的判别式时，我们需要注意什么？使用根的判别式前一定要先把一元二次方程变为一般形式.如果一元二次方程有实数根,那么应包括相等或不相等两种情况,∴△≥0.思考2：若一元二次方程有实数根,则△的取值范围是?1.应用“Δ”求字母的值或取值范围的步骤首先要根据方程的根的情况判断b2-4ac与0的大小关系,列出关于待定字母的不等式(组)或方程,然后再求解,得到字母的值或取值范围.懂

步骤3典例分析引言问题

在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？5-xx分析：设雕像腰部以下的身长BC为xm，根据题意，列方程得：

x2+5x−25=0.请你选择合适的方法解这个方程.3典例分析

运用公式法解一元二次方程的步骤易错点：注意a，b，c符号.1.变形：先将方程化为一般形式，2.确定系数：确定a,b,c的值；

2.计算：计算判别式Δ=b2-4ac的值；3.判断：若Δ≥0，利用求根公式计算方程的