配方法（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章一元二次方程25.2.1配方法（第1课时）学习目标12会用直接开平方法解一元二次方程.在探究如何解一元二次方程的过程中，体会降次和化归的数学思想．

【探究1】

解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程【操作尝试】(3)x2+1=0.解:整理,得x2=-1,∵负数没有平方根,∴原方程无实数根.

问题1:解下列方程:(1)x2=4;(2)9x2-6=3;解:根据平方根的意义,得x1=2,x2=-2.解:移项,并将二次项系数化为1,得x2=1.根据平方根的意义,得x1=1,x2=-1.

【探究1】

解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程【概括新知】

一般地,对于一元二次方程ax2+c=0,先将它变形为x2=p的形式,再利用直接开平方法求解,其中,当p>0时,方程有两个不等的实数根x1=,x2=;当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;当p<0时,方程无实数根.1．什么是一元二次方程？一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.2．什么是一元二次方程的根？使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.

2合作探究解方程：x2=4.解：根据平方根的意义，得x=±2，

即x1=2，x2=−2.一般化解方程：x2=p.

p≥0

把4换成0呢？x1＝x2＝0

【理解应用】例1

解下列方程:(1)x2-900=0;

(2)2x2-8=0;

(3)4x2-3=0.方法点拨:通过移项把方程化为x2=p的形式,然后直接开平方求解即可.解:(1)移项,得x2=900.

直接开平方,得x=±30,即x1=30,x2=-30.解:(2)移项,并将系数化为1,得x2=4.

由此可得x=±2,即x1=2,x2=-2.解:(3)移项,并将二次项系数化为1,得x2=

.

由此可得x=±

,即x1=

,x2=-

.

C

【跟踪练习2合作探究解方程：x2=4.解：根据平方根的意义，得x=±2，

即x1=2，x2=−2.类比解方程：(x+3)2=5.

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义．

【尝试交流】方程(3x+1)2=2呢?试一试.

【探究2】

解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程问题2:(1)由方程x2=25得x=±5，因此想到：由（x+3）2=25，

得即一元二次方程x2=25与(x+3)2=25有何区别和联系?类比方程x2=25的求解方法,你能解方程(x+3)2=25吗?x+3=±5，

x+3=5，x+3=-5

【探究2】解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程【尝试交流】(2)对于(nx+m)2=p型的方程，你能说说它的基本解法吗?

【概括新知】

运用直接开平方法可以解形如x2=p或(nx+m)2=p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。我们把这种思想称为“降次转化思想”.开平方降次转化二次变一次4巩固练习1.方程x2−4=0的解是（

）A．x=±2 B．x=±4 C．x=2 D．x=−2A4巩固练习2.一元二次方程2x2+4=0的根是（

）A．x1=2，x2=−2 B．x=2C．无实数根 D．以上均不正确C

在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.降次

用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．

【理解应用】例2解下列方程:(1)

(x+2)2－9=0；(2)3(x+1)2－27=0.解：移项，得(x+2)2=9.直接开平方，得x+2=±3.∴x1=1,x2=－5.即x1=2，x2=-4.解：移项，得3(x+1)2=27.系数化为1，得(x+1)2=9.直接开平方，得x+1=±3.

【探究2】解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程【概括新知】

直接开平方法解一元二次方程的“三步法”开方求解变形将方程化为含未知