新人教版七年级下册第六章实数全章教案

新人教版七年级下册第六章实数全章教案引言本章是在学生已经学习了有理数的基础上，对数系的进一步扩充。通过引入无理数，使学生对数的认识从有理数扩展到实数。这不仅是后续学习二次根式、一元二次方程以及函数等知识的重要基础，也有助于学生更深刻地理解数学的严密性和逻辑性。本章的学习，将让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程，培养其数感、运算能力和初步的逻辑推理能力。一、全章教学目标（一）知识与技能1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根。2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。3.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小。4.了解实数的运算法则及运算律，并能运用它们进行简单的实数运算。（二）过程与方法1.通过具体问题情境，引导学生经历观察、思考、类比、抽象、概括、归纳等数学活动，体验数学概念的形成过程。2.在探究平方根、立方根的性质以及实数的运算法则的过程中，培养学生的观察能力、抽象概括能力和初步的演绎推理能力。3.鼓励学生积极参与数学活动，敢于发表自己的见解，学会与他人合作交流，体会数形结合、转化与化归等数学思想。（三）情感态度与价值观1.通过了解数系的扩充过程，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学的好奇心和求知欲。2.在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。3.培养学生独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度。二、教学重点与难点（一）教学重点1.算术平方根、平方根、立方根的概念及其表示方法。2.实数的概念及实数与数轴上点的一一对应关系。3.用计算器求平方根和立方根。（二）教学难点1.平方根与算术平方根的区别与联系。2.无理数概念的建立及对无理数的理解。3.实数与数轴上点的一一对应关系的理解。三、课时安排建议本章教学时间约需8课时（不包括复习与评价），具体分配如下（仅供参考）：*6.1平方根：3课时*6.2立方根：1课时*6.3实数：2课时*数学活动、小结：2课时---6.1平方根第一课时：算术平方根教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根。2.会求一些非负数的算术平方根。3.经历算术平方根概念的形成过程，感受数学与生活的联系。教学重点算术平方根的概念和求法。教学难点算术平方根的概念，以及对“算术平方根是非负数”的理解。教学准备多媒体课件、计算器（供学生课堂练习使用）。教学过程一、创设情境，引入新课教师活动：1.提出问题：学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm²的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？2.引导学生思考：这个问题实际上是已知什么，求什么？（已知正方形的面积，求正方形的边长。）3.学生回答后，教师总结：因为5²=25，所以这个正方形画布的边长应取5dm。二、探索新知，形成概念教师活动：1.类似地，提出问题：*若正方形的面积是1dm²，则边长是多少？（1dm，因为1²=1）*若正方形的面积是9dm²，则边长是多少？（3dm，因为3²=9）*若正方形的面积是16dm²，则边长是多少？（4dm，因为4²=16）2.引导学生观察思考：这些问题有什么共同特点？（都是已知一个正数的平方，求这个正数。）3.给出算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。规定：0的算术平方根是0。4.结合定义，解释前面的例子：因为5²=25，所以5是25的算术平方根，记作√25=5。同样，√1=1，√9=3，√16=4，√0=0。5.强调：*算术平方根的概念中，x是正数（0特殊）。*被开方数a是非负数（a≥0）。*√a本身也是非负数（√a≥0）。三、例题讲解，巩固概念教师活动：1.例1：求下列各数的算术平方根：（1）100（2）49/64（3）0.0001引导学生分析：根据算术平方根的定义，求一个数的算术平方根，就是要找一个正数x，使x²等于这个数。解：（1）因为10²=100，所以100的算术平方根是10，即√100=10。（2）因为(7/8)²=49/64，所以49/64的算术平方根是7/8，即√(49/64)=7/8。（3）因为0.01²=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即√0.0001=0.01。2.引导学生总结：求带分数的算术平方根，一般先将其化为假分数；求小数的算术平方根，可先将其化为分数或直接观察。四、练习反馈，深化理解学生活动：1.完成课本练习题中相关部分（如求一些简单数的算术平方根）。2.思考：负数有算术平方根吗？为什么？（因为任何数的平方都不可能是负数，所以负数没有算术平方根。）教师活动：巡视指导，对学生出现的问题及时纠正，并强调算术平方根的非负性。五、课堂小结，梳理知识教师引导学生总结本节课所学内容：1.什么是算术平方根？如何表示？2.算术平方根有什么性质？（非负性：被开方数非负，算术平方根本身非负。）3.如何求一个非负数的算术平方根？六、布置作业1.必做题：课本习题中相应题目。2.选做题：思考√a²等于什么？（a≥0时，√a²=a）板书设计（示例）6.1.1算术平方根1.情境问题：已知面积求边长2.算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么x叫做a的算术平方根。记作：x=√a，a≥0，√a≥0。0的算术平方根是0。3.例题讲解：例1：求下列各数的算术平方根（1）100→√100=10（2）49/64→√(49/64)=7/8（3）0.0001→√0.0001=0.014.性质：负数没有算术平方根。5.练习---第二课时：平方根教学目标1.了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。2.知道开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根。3.理解平方根的性质，能区分平方根与算术平方根。教学重点平方根的概念和求法，平方根的性质。教学难点理解平方根的性质，区分平方根与算术平方根。教学准备多媒体课件。教学过程一、复习旧知，引入新课教师活动：1.提问：什么是算术平方根？5的算术平方根是多少？0的算术平方根是多少？-3有算术平方根吗？2.提出问题：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？（学生可能回答3，引导学生思考还有没有其他数。）因为(-3)²=9，所以这个数也可以是-3。二、探索新知，形成概念教师活动：1.类比算术平方根的定义，给出平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x²=a，那么x叫做a的平方根。2.引导学生对比算术平方根与平方根的定义，找出不同点。3.开平方运算：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。（可结合平方运算的图示，给出开平方运算的图示，帮助学生理解互逆关系。）4.平方根的表示方法：一个正数a有两个平方根，它们互为相反数。正的平方根用√a表示，负的平方根用-√a表示，合起来可记作±√a。例如，9的平方根是±3，记作√9=±3。（这里需要强调√9本身指的是算术平方根3，±√9才表示9的两个平方根。）5.平方根的性质探究：*正数有几个平方根？它们之间有什么关系？（两个，互为相反数）*0的平方根是多少？（0的平方根是0）*负数有平方根吗？（负数没有平方根）（引导学生结合平方运算的结果进行归纳总结。）三、例题讲解，巩固应用教师活动：1.例2：求下列各数的平方根：（1）100（2）49/64（3）0.0001（4）0解：（1）因为(±10)²=100，所以100的平方根是±10，即±√100=±10。（2）因为(±7/8)²=49/64，所以49/64的平方根是±7/8，即±√(49/64)=±7/8。（3）因为(±0.01)²=0.0001，所以0.0001的平方根是±0.01，即±√0.0001=±0.01。（4）因为0²=0，所以0的平方根是0，即±√0=0。2.引导学生比较例1（算术平方根）和例2（平方根）的区别与联系。3.例3：判断下列说法是否正确：（1）3是9的平方根。（√）（2）9的平方根是3。（×，应为±3）（3）-5是25的平方根。（√）（4）(-4)²的平方根是-4。（×，应为±4）通过判断题，强化学生对平方根概念的理解，特别是符号的表示。四、练习巩固，深化理解学生活动：1.完成课本练习题中相关部分。2.口答：说出下列各数的平方根和算术平方根：16，81，25/36，0.04。教师活动：重点关注学生对平方根符号的正确使用，以及算术平方根与平方根的区分。五、课堂小结1.什么是平方根？如何表示一个数的平方根？2.平方根有哪些性质？（正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。）3.算术平方根与平方根的区别与联系是什么？（区别：算术平方根是一个非负数，平方根通常有两个（0除外）且互为相反数；联系：算术平方根是平方根中的正的那个。）六、布置作业1.必做题：课本习题中相应题目。2.思考题：若一个数的平方根是a+3和2a-15，求这个数。板书设计（示例）6.1.2平方根1.平方根的定义：x²=a→x叫做a的平方根。2.表示方法：a的平方根是±√a（a≥0）（√a表示算术平方根，-√a表示负的平方根）3.平方根的性质：*正数：两个，互为相反数(±√a)*0：一个，0(√0=0)*负数：没有平方根4.开平方：求平方根的运算（与平方互为逆运算）5.例题讲解：例2：求平方根例3：判断6.算术平方根与平方根的区别与联系---第三课时：平方根（应用与拓展）教学目标1.进一步巩固平方根和算术平方根的概念。2.会利用平方根的概念解决一些简单的实际问题。3.会用计算器求一个非负数的平方根，并能根据实际需要取近似值。4.了解√a(a≥0)的双重非负性，并能运用其解决问题。教学重点利用平方根解决实际问题，用计算器求平方根。教学难点√a的双重非负性的理解与应用，实际问题的转化。教学准备多媒体课件、计算器（学生每人一个）。教学过程一、复习回顾，温故知新1.什么是一个数的平方根？什么是算术平方根？2.说出下列各式的意义，并求值：√36，-√0.25，±√(121/144)，√03.若√x=5，则x=______；若x²=5，则x=______。二、应用举例，解决问题教师活动：1.引入实际问题：例4：一个面积为10m²的正方形展厅，它的边长是多少？（精确到0.1m）分析：这个问题是已知正方形面积求边长，实质是求10的算术平方根。解：设边长为xm，依题意得x²=10。所以x=√10。用计算器求得√10≈3.1623，精确到0.1m，x≈3.2。答：它的边长约为3.2m。2.引导学生思考：如何用计算器求一个数的平方根？（教师可简要介绍计算器的使用方法，不同型号计算器操作可能不同，以实际为准。）3.学生活动：用计算器求下列各式的值：√256，√0.0049，√1.44，√(1/4)，√10（精确到0.001）教师强调：用计算器求平方根时，要注意按键顺序，并根据