广西壮族自治区贺州市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试卷（含解析）

广西贺州市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．复数满足，则（

）A．1 B． C．2 D．3．已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．已知圆台的上底面半径为，母线长为，表面积为，则该圆台的高为（

）A． B． C． D．6．已知，，若，，则（

）A． B． C． D．7．如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若（），（），则关于的说法正确的是（

）A．当时，取到最大值 B．当或1时，取到最小值C．，使得 D．，为定值8．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．数据的上四分位数是6B．数据的方差是1，则的方差是9C．若，则A和B是对立事件D．若事件与相互独立，且，则10．下列关于函数的说法正确的是（）A．直线是函数图象的一条对称轴B．在区间上单调递增C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到D．若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为11．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则（

）A．，，，四点共面 B．平面平面C．直线与所成的角为 D．平面三、填空题12．定义在上的奇函数满足：当，，则__________．13．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________.14．已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．四、解答题15．已知为实数，向量，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．16．如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面⊥平面.17．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）．(1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值；(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；(3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．18．在中，角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)若的面积，内切圆的半径为，求；(3)若为锐角三角形，且，求面积的范围．19．如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求二面角的正弦值.参考答案1．B【详解】由题设，，所以．2．B【详解】由，得，故，故选：B3．A【详解】已知是单位向量，故.对两边平方得，代入，解得.由点积定义得（为两向量夹角），得，即同向共线，存在使，充分性成立；若存在使，由，得.当时，，此时，必要性不成立.因此是“存在实数，使得”的充分不必要条件.4．D【详解】对于A，由，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误；对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误；对于C，由线面平行的判定定理可知C错误；对于D，过直线作平面，且，因为，所以，过直线作平面，且，同理可得，所以，因为，（若，则与重合）所以，因为，且，所以，，故D正确.

5．C【详解】设圆台的下底面半径为，则该圆台的表面积为，整理可得，因为，解得.故该圆台的高为.6．D【详解】因为，，所以，已知，所以，因此，已知，，所以，则.7．D【详解】因为，，所以，所以，因为为边长为的等边三角形，所以，所以，所以，为定值，D正确；A，B，C错误.故选：D.8．B【详解】因为是奇函数，所以，又因为是偶函数，所以，即，所以，即，则，所以的周期为8，则，，所以．9．ABD【详解】由题意得数即分位数，因为，所以数据的分位数是6，A正确：设数据的均值为，记，则，可得，故方差是9，B正确；虽然，但是不能判断出是否为0，不能判断出是否对立，C错误；因为事件与相互独立，且，所以，得到，D正确．10．AB【详解】选项A：令，解得，当时，，A正确.选项B：即，令，因为，所以在区间上单调递增，B正确.选项C：左移得，C错误.选项D：令，得，函数在区间上恰有三个零点，则三个零点只能为：，故，D错误.11．BC【详解】对于A中，直线，是异面直线，故，，，四点不共面，故A错误；对于B中，在长方体中，可得平面，平面，所以平面平面，故B正确；对于C中，取的中点，连接，，则，所以直线与所成的角为．，，，所以三角形为等边三角形，所以，故C正确；对于D中，取的中点，连接，则易得，因为平面，显然与平面不平行，故D错误．故选：BC.12．【详解】∵是定义在上的奇函数，∴，则，∴．故答案为：13．【详解】由题设，所有可能的有序数对共有个，而的情况有，共有16个，所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为.故答案为：14．4【详解】如图，由题意得：，可得：，由基本不等式，可得，解得．当且仅当时取等号，即当时，的最小值为4.故答案为：4．15．(1)或；(2)【详解】（1）若，则，即即或；（2）因为，则，则，所以，得.16．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）连接交于点,连接．四边形是矩形，是的中点．又为的中点，．平面，平面，平面（2）面，面，．是矩形，．而，，平面平面又平面．平面平面．17．(1)，(2)平均数为，第80百分位数为.(3)【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为，故年龄在内的市民人数为.由图可得：，解得；（2）平均数为前三组的频率和为，第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组，第80百分位数为.（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈，所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为.18．(1)(2)(3)【详解】（1）由，可得，由于，故，（2）由题可知，化简得，由余弦定理知，即，所以，解得（3）在中，由正弦定理得，于是得，因为是锐角三角形，则，且，于是有，则，即，则，从而得，所以面积的取值范围是19．(1)设，连接，因为四边形为菱形，所以，，又因为为等边三角形，所以，因为，平面，所以平面.(2)(3)【详解】（1）略（2）解法1：设点到平面的距离为，在中，，，可得点到的距离为，由（1）知，平面，所以，又因为，所以.解法2：由（1）知，平面，平面，所以平面平面，平面平面，过C作，垂足为E，所以平面，则即为