河北省承德市部分学校2025-2026学年高一下学期6月月考数学试卷（含解析）

河北承德市部分校2025-2026学年高一下学期6月联考数学试题一、单选题1．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（

）A．振幅是4，初相是 B．振幅是3，初相是C．振幅是4，初相是 D．振幅是3，初相是2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（

）A．若，，则B．若，，，则与平行或异面C．若，，则D．若，，，则3．已知平面向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为（

）

A． B． C． D．5．已知，，则（

）A． B． C． D．6．已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（

）A．， B．， C．， D．，7．在正三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过点，，的截面一定是（

）A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形8．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.测得到，的俯角和分别为，，到，的俯角分别为，，同时测得.则山顶，之间的距离为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知平面向量，，则（

）A．当时，B．存在，使C．与向量共线的单位向量是D．当向量与向量的夹角为锐角时，10．已知函数的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（

）A．是函数的一个周期B．C．不等式的解集为，D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象所对应的函数是偶函数11．如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（

）A．直线与是异面直线B．异面直线与所成角的取值范围是C．若，则的最小值为D．当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处三、填空题12．__________．13．已知点为所在平面内一点，若，则_______.14．如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器.当时，正四棱锥外接球的体积为__________.四、解答题15．如图，在平行六面体中，，，.(1)以，，为基底向量，表示向量，；(2)求证：；(3)求的长.16．已知的三内角，，的对边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若的面积等于，为线段的中点，当中线最短时，求的周长.17．如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且.(1)记平面平面，证明：；(2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.18．已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若方程在上的根从小到大依次为，，，，求的值；(3)设，记在上的最小值为，求.19．如图，在直三棱柱中，为的中点，，且．(1)证明：平面；(2)若，二面角的平面角为．①求与平面所成角的正弦值；②点在面内，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度．参考答案1．C解析：由弹簧振子的运动方程为，得，，，即该弹簧振子的振幅是4、初相是.2．D解析：对于A，若，，则，故A正确；

对于B，若，，，则或，异面，故B正确；对于C，若，，则，故C正确；对于D，如图，在正方体中，，平面，平面，而平面与平面不垂直，故D错误.3．A解析：因为，所以，即，又，，所以，则向量在向量上的投影向量为：．4．A解析：在直观图中，因为，，，则，，

在原图中，，，，即圆台的高为.所以圆台的体积为.5．B解析：.因为，所以，又因为，所以，所以.所以，故.6．C解析：对于A，假设存在实数，，使得，则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底.对于B，假设存在实数，，使得，则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底.对于C，假设存在实数，，使得，则，解得，即存在实数，使得上式成立，所以，，共面，不能构成一组基底.对于D，假设存在实数，，使得，则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底.7．B解析：如图，取的中点，连接，，，.因为棱的中点为，棱的中点为，所以.同理，所以，所以四边形为经过点，，的截面.因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，所以，，所以，所以四边形是平行四边形.因为三棱锥是正三棱锥，所以，所以，所以四边形是矩形，即经过点，，的截面一定是矩形.8．D解析：在中，，，所以．由余弦定理，得，即，在中，，由正弦定理，得，所以．在中，，由余弦定理得，，即，即．所以，之间的距离为．9．AD解析：对于A，因为，所以，解得，故A正确；对于B，，若，则，即，，故不存在，使，故B错误；对于C，与共线的单位向量有两个，为，故C错误；对于D，当与的夹角为锐角时，且，不共线，即且，解得，故D正确.10．ABD解析：对于A，由题意及函数的图象可知，.设函数的最小正周期为，则阴影部分的面积为，则.因为的最小正周期为，所以也是的一个周期，故A正确.对于B，因为，所以.因为，即，所以.因为，所以，所以，故B正确.不等式，即，所以，，解得，，故C错误.将的图象向右平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为，为偶函数，故D正确.故选：ABD.11．BCD解析：对于A，线段与是正方体的对角面的两条对角线，所以直线与共面，故A错误；对于B，在正方体中，易知为等边三角形，则.，或其补角为异面直线与所成角，则异面直线与所成角的取值范围为，故B正确；对于C，如图，将面和面沿着展开至同一平面，则当，，三点共线时，取得最小值.，且，，则.又，，即的最小值为，故C正确；对于D，如图，连接，记.在正方体中，平面，又平面，.在正方形中，，又，，平面，平面.平面，，同理得.，，平面，平面.又平面平面，平面，设交点为.直线与直线相交，交点为.又，设正方体的棱长为2，则，解得.又，当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，故D正确.12．解析：．13．解析：过点A作，，则，以，为邻边作平行四边形，所以，，可得，，所以.14．解析：设加工成的正四棱锥形容器为，为底面的中心，如图.当时，由题意，得正四棱锥的底面边长，斜高，，所以正四棱锥的高.设正四棱锥外接球的半径为，球心为，则，点在直线上，且在正四棱锥外.所以，解得.所以正四棱锥外接球的体积为.15．(1)，(2)证明：因为，，，所以，.由（1）得，所以，即．(3)解析：（1）在中，由空间向量的减法运算，得.

．（2）略．（3）由（1）知，所以，

所以．16．(1)(2)解析：（1）在中，已知，由正弦定理得.因为，，所以.

所以，即.

又，，则，所以.（2）由（1）知，则，所以.

在中，由余弦定理，得，当且仅当，即，时，等号成立.

所以，故，即，

所以当中线最短时，的周长为.17．(1)在正四棱锥中，，平面，平面，则平面，而平面，平面平面，所以.(2)存在，.解析：（1）略（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足.理由如下：连接交于，连接，则为中点，取中点，又，则，过作的平行线交于，连接，在中，有，由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则，又，平面，平面，则平面，又，平面，因此平面平面，又，得平面，所以存在，且.18．(1)，(2)(3)解析：（1）.令，，解得，，所以的单调递增区间为，.（2）作出的图象和直线，如图.因为，所以，即，所以，或，，解得或，.

由图可知，的图象与直线在内有5个交点，则所有根从小到大依次为，，，，.

所以，，，，所以.（3）当时，有，在上单调递增，所以在上单调递增，得；

当时，有，在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，且左端点值小于右端点值，得；当时，有，且，在上单调递增，在上单调递减，且右端点值小于或等于左端点值，此时的最小值为.

综上，19．(1)在直三棱柱中，平面，由平面，得，由为的中点，，得，又，平面，所以平面(2)①；②.解析：（1）略（2）①在直三棱柱中，