第七章 观察、猜想与证明 综合检测【北京】七下数学综合检测

第七章观察、猜想与证明综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共24分)1.(2021北京海淀期末)如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=100°，那么∠3=()A.50° B.100° C.130° D.150°2.(2022北京怀柔期末)一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1的补角的度数为()A.45° B.135° C.75° D.165°3.(2020浙江金华中考)如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b.理由是()A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D.在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4.(2022北京门头沟期末)下列命题是假命题的是()A.同角或等角的余角相等B.相等的角是对顶角C.平行于同一条直线的两条直线平行D.在同一平面内，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等5.在地理课堂上，老师组织学生进行寻找北极星的探究活动时，李佳同学使用了如图所示的测倾器，则下列四个角中，最可能和∠AOB互补的角为()A. B. C. D.6.(2022北京密云期末)如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断AD∥BC的是()A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.∠2=∠4 D.∠3=∠47.(2022北京东城期末)如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处.若∠1=80°，则∠2的度数是()A.50° B.60° C.70° D.80°8.(2021北京陈经纶中学期中)如图，点E在CA的延长线上，DE、AB交于F，且∠BDE=

∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线，则下列结论：①AB∥CD；②FQ平分∠AFP；③∠B+∠E=140°；④∠QFM的度数为定值.其中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(每小题3分，共18分)9.(2022北京东城期末)在数学课上，小明提出如下命题：“在同一平面内，如果直线l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l2与l一定相交.”你认为小明提出的命题是(填“真命题”或“假命题”)，你的依据是.

10.如图，直线DE经过点C，则∠A的内错角是，∠A的同旁内角有.

11.(2022云南昆明官渡期末)《七彩云南》是少数民族的传统艺术表演，也是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱.在表演中，舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C处的两盏激光灯控制.如图，光线AB与灯带AC的夹角∠A=40°，当光线CB'与灯带AC的夹角∠ACB'=时，CB'∥AB.

12.(2022海南海口二模)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依此规律，第5个图形有个小圆，第n个图形有个小圆.

13.(2022江苏无锡期末)如图，AB∥CD，若GE平分∠DGH，HE平分∠GHB，GF平分

∠CGH，∠CGH=70°，则∠EHB的度数是，图中与∠DGE互余的角共有个.

14.如图，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD=∠BEF=56°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF=.

三、解答题(共58分)15.(5分)如图，C是线段AB的中点，D，E是线段AB上的两个点，且AD=EB.求证：C是线段DE的中点.证明：∵C是线段AB的中点()，

∴().

∵AD=EB(已知)，∴AC-AD=CB-EB()，

即DC=CE，∴C是线段DE的中点().

16.(5分)如图，在四边形ABCD中，点E，F是边AD，BC上的点，已知BE∥DF，∠1+∠2=90°，∠2=∠3.求证：AB⊥BC.(请完成下面的证明，并填上对应的推理依据)证明：∵BE∥DF，∴∠1=，()

又∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠3+∠4=90°，()

即∠ABC=90°，∴AB⊥BC.()

17.(5分)下列图案由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有4个；当正方形有2个时，等边三角形有7个；……(1)图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加个；

(2)第n个图案中，等边三角形有个；

(3)现有2022个等边三角形，若按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个?18.(7分)如图所示，直线l1，l2分别与直线l3，l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°，求∠3的度数.19.(7分)如图，AB∥CD，∠A=54°，∠E=18°，求∠C的度数.20.(7分)如图，B，A，E三点在同一条直线上.现有三个条件：(1)AD∥BC，(2)∠B=∠C，(3)AD平分∠EAC.请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明.已知：，

求证：.

证明：21.(10分)如图1，已知AB∥CD，点G在AB上，点H在EF上，连接CG、CH，CG⊥CH，∠CHE+∠CGA=90°.(1)求证：AB∥EF；(2)如图2，若∠BAE=90°，延长HC交BA的延长线于点M，请直接写出图2中所有与

∠AGC互余的角.图1图222.(12分)已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN<∠BAM≤90°.(1)如图①，求证：∠ABC=∠BAM+∠BCN.阅读并将下列推理过程补充完整：证明：过点B作BG∥NC，∵l1∥l2，∴AM∥NC∥().

∴∠ABG=∠BAM，∠CBG=∠BCN().

∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=∠BAM+∠BCN.(2)如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC=∠BAM，BE平分∠ABC.求证：∠DEB=∠DBE.(3)在(2)的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由. 图① 图② 备用图

第七章观察、猜想与证明综合检测答案全解全析1.C∵∠1+∠2=100°，∠1=∠2，∴∠1=50°，∴∠3=180°-∠1=180°-50°=130°.故选C.2.D由题意得∠1=45°-30°=15°，∴∠1的补角的度数为180°-∠1=180°-15°=165°.故选D.3.B由题意得a⊥AB，b⊥AB，∴a∥b(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行).故选B.4.BA.同角或等角的余角相等，是真命题，不符合题意；B.相等的角不一定是对顶角，本选项命题是假命题，符合题意；C.平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；D.在同一平面内，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是真命题，不符合题意.故选B.5.D根据题图可得∠AOB的度数约为135°，∴与∠AOB互补的角的度数约为45°，综合各选项知D符合.故选D.6.B由∠1=∠3可得AD∥BC(内错角相等，两直线平行)，故B符合题意.7.A∵AB∥CD，∴∠1=∠AEB'=80°，∴∠BEB'=180°-∠AEB'=100°，由折叠得∠2=∠FEB'=12∠8.D①∵∠BDE=∠AEF，∴AE∥BD，∴∠B=∠EAF.∵∠B=∠C，∴∠EAF=∠C，∴AB∥CD，结论①正确；②∵AB∥CD，∴∠AFQ=∠FQP.∵∠FQP=∠QFP，∴∠AFQ=∠QFP，∴FQ平分∠AFP，结论②正确；③∵AB∥CD，∴∠EFA=∠FDC.∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，∴∠EFA=40°.∵∠B=∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA=180°，∴∠B+∠E=180°-∠EFA=140°，结论③正确；④∵FM为∠EFP的平分线，∴∠MFP=12∠EFP=12∠EFA+1∵∠AFQ=∠QFP，∴∠QFP=12∠AFP∴∠QFM=∠MFP-∠QFP=12∠EFA=20°，即∠QFM的度数为定值，结论④综上所述，正确的结论有①②③④.故选D.9.真命题；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行解析小明提出的命题是真命题，理由如下：在同一平面内，假设l2与l不相交，那么l2∥l，则过P点有两条直线l1，l2与l平行，这与过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以l2与l一定相交.10.∠ACD；∠B，∠ACB，∠ACE解析根据内错角和同旁内角的定义，结合题图直接写出即可.11.140°解析当∠ACB'=140°时，CB'∥AB.理由如下：∵∠ACB'=140°，∠A=40°，∴∠ACB'+∠A=180°，∴CB'∥AB.12.34；(n2+n+4)解析观察图形变化可知：第1个图形有4+1×2=6个小圆，第2个图形有4+2×3=10个小圆，第3个图形有4+3×4=16个小圆，第4个图形有4+4×5=24个小圆，∴第5个图形有4+5×6=34个小圆，第n个图形有4+n(n+1)=(n2+n+4)个小圆.13.35°；5解析∵AB∥CD，∠CGH=70°，∴∠GHB=∠CGH=70°，∠HGD=180°-∠CGH=110°.∵GE平分∠DGH，HE平分∠GHB，∴∠DGE=∠HGE=12∠DGH=55°∠EHB=∠GHE=12∠∵GF平分∠CGH，∴∠CGF=∠FGH=35°，∵AB∥CD，∴∠CGF=∠GFH=35°，∴∠DGE+∠EHB=∠DGE+∠EHG=∠DGE+∠CGF=∠DGE+∠FGH=∠DGE+∠GFH=90°，∴与∠DGE互余的角有∠EHB，∠EHG，∠CGF，∠FGH，∠GFH，共5个.14.62°或118°解析如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°，∵∠MFD=∠BEF=56°，∴CD∥AB，∴∠GEB=∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB=∠GEF=12∠BEF=28°∴∠FGE=28°，∴∠PGF=∠PGE-∠FGE=90°-28°=62°.②当射线GP'⊥EG于点G时，∠P'GE=90°，∴∠P'GF=∠P'GE+∠FGE=90°+28°=118°.∴∠PGF的度数为62°或118°.15.解析已知；AC=CB；线段中点的定义；等量减等量，差相等；线段中点的定义.16.解析∵BE∥DF，∴∠1=∠4，(两直线平行，同位角相等)又∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠3+∠4=90°，(等量代换)即∠ABC=90°，∴AB⊥BC.(垂直的定义)17.解析(1)由题中图案可知，图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加3个.(2)第1个图案：等边三角形有4个，第2个图案：等边三角形有4+1×3=7(个)，第3个图案：等边三角形有4+2×3=10(个)，第4个图案：等边三角形有4+3×3=13(个)，……第n个图案：等边三角形有4+3(n-1)=(3n+1)个.(3)∵(2022-1)÷3=673……2，∴若按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形673个.18.解析∵∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补(已知)，∴∠1+∠2=180°，∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)，∴∠3=∠5(两直线平行，内错角相等).∵∠4=125°(已知)，∴∠3=∠5=180°-125°=55°.19.解析如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD∥AB.∴∠AEF=∠A=54°，∠C=∠CEF，∵∠CEF=∠AEF-∠AEC=54°-18°=36°，∴∠C=∠CEF=36°.20.解析已知：AD∥BC，∠B=∠C，求证：AD平分∠EAC.证明：∵AD∥BC，∴∠B=∠EAD，∠C=∠DAC.∵∠B=∠C，∴∠EAD=∠DAC，即AD平分∠EAC.(答案不唯一)21.解析(1)证明：∵CG⊥CH，∴∠GCH=90°，∴∠ACG+∠ECH=90°，又∵∠CHE+∠CGA=90°，∠A+∠E+∠ACG+∠ECH+∠CHE+∠CGA=360°，∴∠A+∠E=180°，∴AB∥EF.(2)∵∠BAE=90°，∴∠ACG+∠AGC=90°，∵AB∥CD，∴∠ACD=90°，∠M=∠DCH，∵CG⊥CH，∴∠ACG=∠DCH=∠M，∵AB∥EF，∴∠M=∠CHE，∴与∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE.22.解析(1)证明：过点B作BG∥NC，∵l1∥l2，∴AM∥NC∥BG(平行于同一条直线的两条直线平行).∴∠ABG=∠BAM，∠CBG=∠BCN(两直线平行，内错角相等).∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=∠BAM+∠BCN.(2)证明：如图，过点B作BG∥NC，∵l1∥l2，∴AM∥NC∥BG，∴∠DEB=∠EBG，∠CBG=∠BCN，由(1