初中数学九年级圆的基本性质中考考点知识清单

初中数学九年级圆的基本性质中考考点知识清单一、圆的基本概念与确定条件（一）圆的定义（静态与动态）【基础】【必考】圆的定义有两种表达方式，这是理解圆的性质的基石。1、动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。这揭示了圆是点的运动轨迹。2、静态定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。★【重要】由此定义，我们可以得出圆的两个重要属性：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。（二）圆的确定条件【基础】【高频考点】1、经过一点可以作无数个圆。2、经过两点（A、B）可以作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。3、★【重点】不在同一条直线上的三个点确定一个圆。这是“三角形的外接圆”和“圆的内接三角形”的理论依据，也是中考尺规作图的重要考点25。二、圆中的相关概念辨析【基础】【高频考点】（三）弦与直径1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。2、直径：经过圆心的弦叫做直径。▲【易错警示】直径是特殊的弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。（四）弧、半圆、等圆与等弧1、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示。2、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。3、弧的分类：（1）优弧：大于半圆的弧，通常用三个字母表示（如弧ABC）。（2）劣弧：小于半圆的弧，通常用两个字母表示（如弧AB）。4、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。等圆的半径相等。5、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。▲【难点辨析】长度相等的弧不一定是等弧。只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才能称之为等弧，因为它们所对的圆心角和半径都相同7。（五）圆心角与圆周角1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。▲【易错点】圆周角的判定必须满足两个条件：顶点在圆上，两边与圆相交。顶点在圆内或圆外，或一边不与圆相交的角都不是圆周角1。三、圆的对称性【基础】（六）圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆有无数条对称轴。垂径定理及其推论正是基于这一性质推导出来的410。（七）圆的旋转不变性圆是中心对称图形，对称中心是圆心。并且圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转任意角度后，都能与自身重合。弧、弦、圆心角的关系定理正是基于这一性质4。四、核心定理一：垂径定理及其推论★★★★★【重中之重】【高频考点】【压轴题基础】（八）垂径定理的文字表述与符号表示1、定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧45。2、符号表示：如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E。则有以下三个结论：（1）AE=EB（平分弦）（2）弧AD=弧BD（平分弦所对的一条优弧）（3）弧AC=弧BC（平分弦所对的另一条劣弧）（九）【难点】垂径定理的推论1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧24。▲【特别注意】被平分的弦不能是直径。如果一条直径平分另一条直径，那么这两条直径不一定垂直，它们可以互相垂直（如正方形的对角线），也可以是任意夹角。（十）垂径定理的几何模型与“直角三角形”构造【解题关键】在运用垂径定理解决计算问题时，核心方法是构造“由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形”。1、设⊙O的半径为r，圆心O到弦AB的距离为d（弦心距），弦AB的长度为a。根据勾股定理，有：。2、常用公式：，或。3、【解题步骤】（1）过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的一个端点（半径）。（2）在构造出的直角三角形中，已知半径、半弦、弦心距中的任意两个量，即可求出第三个量。（十一）【常考题型】垂径定理的应用场景1、求弦长或半径：通常已知弦心距和半径求弦长，或已知弦长和弦心距求半径。2、解决拱桥问题：例如，圆弧形桥拱，已知跨度（弦长）和拱高（弓形的高），求半径。这里拱高等于半径减去弦心距（或半径加上弦心距，取决于弧的位置）。3、与最短路径结合：圆中两点间的最短路径问题有时会结合垂径定理。【示例】（基础题）在⊙O中，半径为5，弦AB=8，求圆心O到弦AB的距离。解：过O作OC⊥AB于C，连接OA。则AC=AB=4。在Rt△OAC中，OA=5，AC=4，根据勾股定理，OC=。所以弦心距为3。五、核心定理二：弧、弦、圆心角的关系定理★★★【重要】【常考点】（十二）定理内容1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等49。2、★【推论】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等19。简单记为“知一推二”。▲【特别提示】应用该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”。若没有这一前提，结论不一定成立。（十三）【解题思路】如何运用该定理证明线段相等或角相等在几何证明题中，如果要证明两条弦相等，往往可以转化为证明它们所对的圆心角相等，或者证明它们所对的弧相等。反之亦然。这种转化思想是解决圆中证明题的常用技巧。六、核心定理三：圆周角定理及其推论★★★★★【重中之重】【高频考点】【压轴题核心】（十四）圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半4910。（十五）圆周角定理的推论1、推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等49。2、推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径124。▲【重要性】推论2是圆中最重要的性质之一。当题目中出现直径时，要立刻联想到可以构造直径所对的圆周角，从而得到直角三角形。反之，若已知一个三角形是直角三角形，且斜边在圆上，则可证斜边是圆的直径。3、推论3：圆内接四边形的对角互补29。（1）拓展：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。（十六）【难点辨析】圆周角定理的易错点1、定理成立的条件：必须是“同弧或等弧”，不能是“同弦”。一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），这两条弧所对的圆周角互补。2、圆周角与圆心角的位置关系：一条弧所对的圆心角只有一个，但所对的圆周角有无数个，它们都相等2。3、圆周角度数的计算：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。（十七）【解题思路】圆周角定理的常用辅助线当题目条件中有直径时，常作出直径所对的圆周角，构造直角三角形；当需要证明两个角相等时，常寻找它们所对的同一条弧或等弧；当需要证明线段是直径时，常证明该线段所对的圆周角是直角。七、圆内接多边形与三角形外心【基础】【常考点】（十八）圆的内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆25。（十九）三角形的外心【重点】1、定义：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。2、性质：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；它到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆的半径）210。3、不同三角形外心的位置：（1）锐角三角形的外心在三角形内部；（2）直角三角形的外心是斜边的中点；（3）钝角三角形的外心在三角形外部。【示例】（性质应用）直角三角形两条直角边长为6和8，则其外接圆半径为多少？解：根据勾股定理，斜边长为10。直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，半径等于斜边的一半，即5。八、考点、考向、解题步骤与易错点归纳（二十）【高频考点】考点梳理1、考点一：垂径定理的应用（计算题为主，结合勾股定理）。2、考点二：圆心角、弧、弦之间的相等关系（证明题为主，证明线段相等或角相等）。3、考点三：圆周角定理的应用（求角度，结合三角形内角和、外角定理）。4、考点四：直径所对的圆周角是直角的性质（证明垂直关系或计算线段长度）。5、考点五：圆内接四边形性质（求角度，常与邻补角、平行线结合）。6、考点六：三角形的外心及其性质（选择、填空，判断说法正误）。（二十一）【常见考向】命题趋势1、基础考向：直接考查概念辨析，如判断下列命题的真假。2、计算考向：给出圆的部分条件（半径、弦长、弦心距、角度），求未知线段长度或角度。3、证明考向：证明两条线段相等、两个角相等、垂直关系。4、综合压轴考向：圆与三角形、四边形、相似三角形、三角函数、二次函数相结合的综合题，通常作为中考试卷的倒数第二题或最后一题。（二十二）【标准解题步骤】解圆的基本性质题的一般流程1、审题：标注已知条件（半径、弦长、垂直、中点、角度等）在图上。2、找基本图形：在复杂图形中分解出圆的“基本图形”：（1）有弦及垂直关系→垂径定理基本图（等腰三角形、直角三角形）。（2）有圆心角或等弦→弧、弦、圆心角关系图。（3）有圆周角→找它所对的弧，再找该弧所对的圆心角或其他圆周角。（4）有直径→找（或构造）直径所对的圆周角。3、设未知数列方程：遇到求线段长度问题，通常设未知数，利用勾股定理或相似三角形的比例关系建立方程。4、回归结论：计算后验证是否符合题意（如线段长度为正数）。（二十三）【易错点与避坑指南】★★★★★1、概念混淆：误以为“长度相等的弧是等弧”。（必须是在同圆或等圆中）2、忽略前提：应用圆心角、弧、弦关系定理时，忘记“在同圆或等圆中”这一大前提。3、图形不全：一条弦对应两个圆周角（互补），解题时要考虑点是在优弧上还是劣弧上。4、辅助线错误：使用垂径定理时，必须过圆心作弦的垂线，而不是随意作垂线。5、计算失误：在构造的直角三角形中，混淆半径、半弦、弦心距的关系。牢记公式：。6、外心定位错误：误以为三角形的外心一定在三角形内部。九、典型例题与思路剖析（二十四）【例题1】垂径定理与勾股定理结合（基础）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若AB=10，CD=8，求OE的长。【解析】1、由AB是直径，AB=10，得半径OC=5。2、由垂径定理，CD⊥AB，得CE=DE=CD=4。3、在Rt△OEC中，OC=5，CE=4，根据勾股定理，得OE=。【点评】这是最基础的垂径定理应用，直接套用模型即可。（二十五）【例题2】圆周角定理与内角和综合（常考）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=100°，求∠ACB的度数。【解析】1、观察图形，∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角。2、它们所对的同一条弧是弧AB。3、根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。4、∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°。【变式】若点C在优弧AB上，∠ACB=50°；若点C在劣弧AB上，则∠ACB=180°50°=130°（根据圆内接四边形对角互补或同弦所对圆周角互补）。（二十六）【例题3】直径所对圆周角性质与勾股定理（中档）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD，若∠CAB=30°，AB=4，AD=，求∠ADC的度数及AE的长。【解析】1、由AB是直径，连接BC。则∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。2、在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=4，则BC=AB=2，AC=。3、∵弧AC=弧AC，∴∠ADC=∠ABC。在Rt△ABC中，sin∠ABC=，∴∠ABC=60°。故∠ADC=60°。4、求AE的长需连接BD，利用相似或勾股定理，此处略。【点评】本题关键在于看到直径就连接出直角三角形。十、学科思维拓展与跨学科视野（二十七）分类讨论思想在圆中的应用由于圆中点的位置不确定，常常需要分类讨论。例如：1、点与圆的位置关系：点在圆内、圆上、圆外，对应不同的结论。2、弦所对的圆周角：一条弦（非直径）所对的弧有优弧和劣弧，对应的圆周角有两个，它们互补。3、圆心与弦的位置：圆心可能在弦的同侧，也可能在弦的异侧，导致不同的图形。（二十八）转化思想圆中许多问题的解决都依赖于转化：1、将圆周角问题转化为圆心角问题。2、将弦长、弦心距问题转化为解直角三角形问题。3、将圆内接四边形问题转化为对角互补问题。（二十九）建模思想（跨学科视野）1、物理中的光学：在光的反射定律中，入射角等于反射角，其轨迹与圆的性质有关。例如，光线从圆上一点反射到另一点，路径最短问题，实际