2.4 用一元二次方程解决问题（1）（教学课件）

第二章一元二次方程

2.4用一元二次方程解决问题（1）学

习

目

标12能根据矩形面积类实际问题，找出等量关系，列一元二次方程求解．掌握一元二次方程解实际应用题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验根的实际意义→作答．3会利用根的判别式判断实际问题是否存在符合条件的解．知识回顾1．列方程解应用题的一般步骤是什么？审→设→列→解→验→答Δ＞0，有两个相等实根；Δ＝0，有两个相等实根；Δ＜0，无实根．2．一元二次方程根的判别式

Δ＝b2－4ac有哪些情况，分别代表什么？问题情境

在劳动实践中，九年级

(1)

班想用长22m的篱笆围成面积是

30m2的矩形菜园，九年级

(2)

班想用同样长的篱笆围成面积是

32m2的矩形菜园，他们可以做到吗？分析：①22m的篱笆围成的矩形菜园周长是多少？

②若设一边长为

xm，则另一边如何表示？

③矩形面积如何计算？新知探究设篱笆围成的矩形的一边为

xm，则邻边为

(11－x)m．若要围成面积是

30m2的矩形菜园，则解这个方程，

得

x1＝5，x2＝6．当一边为5m时,邻边为11－5＝6(m);当一边为6m时,邻边为11－6＝5(m)．所以可以围成面积是30m²的矩形菜园．

x(11－x)＝30，即x2－11x＋30＝0．新知探究若要围成面积是

32m2的矩形菜园，则由

b2－4ac＝(－11)2－4×1×32＝－7＜0，可得此方程没有实数根．所以不能围成面积是

32

m²的矩形菜园．

x(11－x)＝32，化简，得

x2－11x＋32＝0．设篱笆围成的矩形的一边为

xm，则邻边为

(11－x)m．当题目问“能否做到（是否存在）”时，可以利用根的判别式

Δ＝b2－4ac分析方程是否有实数根：方程有正实数根→方案可行；Δ＜0(无实根)→方案不可行．新知探究用

22m长的篱笆围成矩形菜园的最大面积是多少？解：设篱笆围成的矩形的一边为

xm，则邻边为

(11－x)m．

例题讲解例1如图，要在一幅长

80cm，宽

50cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400cm2，金色纸边的宽应为多少厘米？①镶边后的挂图的长和宽如何表示？

②这个问题中的相等关系是什么？挂图的长＝风景画长＋2金色纸边的宽，宽＝风景画宽＋2金色纸边的宽挂图的长×挂图的宽＝5400cm²例题讲解解：设金色纸边的宽为xcm，则挂图的长为

(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm．根据题意，得(80＋2x)(50＋2x)＝5400，化简，得

x²＋65x－350＝0．解这个方程，得

x1＝5，x2＝－70(不合题意，舍去)．答：金色纸边的宽应为5cm．双重检验：既要满足原方程，又要符合实际意义．新知巩固1．一个长方形广场的面积是

600m2．如果它的长减少10m，那么就成为正方形广场．求该长方形广场的长和宽．解：设该长方形广场的宽是

xm，则长为(x＋10)m．根据题意，得

x(x＋10)＝600，解这个方程，得x1＝20，x2＝－30(不合题意，舍去)．长为20＋10＝30m．答：该长方形广场的宽是20m，长是30m．新知巩固2．有一块长方形纸板，长31cm，宽18cm，在四个角都剪去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，使盒子的底面积是300cm2．求盒子的高．解：设盒子的高为

xcm．根据题意，得

(31－2x)(18－2x)＝300，化简，得2x²－49x＋129＝0．解这个方程，得x1＝3，x2＝21.5＞18÷2(不合题意，舍去)．答：盒子的高为3cm．除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意：超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去．讨论交流用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？(3)列：根据题目中的等量关系，列出方程；(4)解：化成一元二次方程的一般形式并求解(先用根的判别式分析方程是否有实数根)；(2)设：设未知数（直接设或间接设），注意写好单位名称；(5)验：既要检验根是否满足原方程，又要检验根是否符合实际意义；(6)答：写出完整规范的答语（注意单位）．(1)审：审清题意，找出已（未）知量，明确等量关系；如：根是否为正、是否符合图形尺寸范围、解：(1)

设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70＋2－2x＝(72－2x)m．根据题意，得

x(72－2x)＝640．化简，得

x2－36x＋320＝0．解得

x1＝16，x2＝20．当x＝16时，72−2x＝72－32＝40m；当x＝20时，72−2x＝72－40＝32m．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．思维提升1．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽2m的门（建在EF处，另用其他材料）．

解：(2)

解：不能，理由如下：由题意，得

x(72－2x)＝650．化简，得

x2－36x＋325＝0．∵(－36)2－4×325＝－4＜0，∴

一元二次方程没有实数根．∴

羊圈的面积不能达到

650m2．思维提升1．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽2m的门（建在EF处，另用其他材料）．(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．思维提升2．将一根长为24

cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．解：(1)设其中一个正方形的边长为x

cm，则另一个正方形的边长为(6－x)cm.依题意，得

x2＋(6－x)2＝26，整理，得

x2－6x＋5＝0，解得

x1＝1，x2＝5，∴

1×4＝4(cm)，24－4＝20(cm)∴

这段铁丝剪成两段后的长度分别是4

cm、20

cm．(1)要使这两个正方形的面积之和等于26

cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？思维提升2．将一根长为24

cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．解：(2)两个正方形的面积之和不能等于17

cm2.理由：依题意，得x2＋(6－x)2＝17，化简，得2x2－12x＋19＝0.∵b2－4ac＝(－12)2－4×2×19＝－8，∴方程无实数解．∴两个正方形的面积之和不能等于17

cm2．(