1.3 用反比例函数解决问题（讲义）（原卷版）

第一章反比例函数1.3用反比例函数解决问题知识点一反比例函数的实际应用1.当实际问题中，两个变量的乘积为定值（即满足xy=k，k为非零常数）时，这两个变量成反比例关系，可建立反比例函数模型y=kx（2.常见实际场景：杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂（乘积为定值，动力与动力臂成反比例）；压强与受力面积：压力不变时，压强p与受力面积S成反比例（pS=压力，压力为定值）；体积与气压：温度不变时，气球（或容器）内气压p与气体体积V成反比例；工作量与工作效率：工作总量不变时，完成工作的时间t与工作效率v成反比例；成本与产量：材料成本固定时，单个产品的加工成本与加工数量成反比例，进而总成本可表示为“固定成本+反比例函数”形式。3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：①审题：明确题目中的两个变量，判断它们是否成反比例关系；②设元：设出两个变量，并写出变量的实际意义及取值范围；②建立模型：根据等量关系，列出反比例函数解析式（若有固定成本，需表示为y=a+kx，a为固定成本，③求待定系数k：结合题目给出的一组对应值（或图象上的点），代入解析式求出k的值，确定完整的函数解析式；④求解问题：根据题目要求，代入自变量（或函数值），利用反比例函数的性质计算出对应的函数值（或自变量的值）；⑤验根：检验所求结果是否符合实际意义（如长度、时间、数量等不能为负数），舍去不合题意的解。即学即练1．（2026·四川南充·二模）已知某蓄电池的电压为定值，电流IA与电阻RΩ是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为9Ω时，电流为4A，则当电阻为3A．6A B．9A C．12A2.（25-26九年级上·广西百色·期中）学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表：等待时间x1251020满意度y1005020105已知学生等待时间不超过30分钟．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)学生等待时间为8分钟，求学生的满意度；(3)当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？3．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：gcm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ>0）．求当液体的密度ρ=10g题型01电压问题/（1）公式：U=IR，电压U定值，电流I与电阻R成反比，I=U（2）解法：定值电压代入求解析式，根据电阻求电流、限制取值；（3）易错：单位混用；忽略电阻、电流正数范围.典｜例｜精｜析1．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（

）A．3A B．4A C．5A变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式I=UR，其中I与R满足反比例函数关系，当I=2A时，(1)求电流I与电阻R之间的函数关系式；(2)当I=2.5A时，求电阻R2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．(1)求I关于R的函数解析式．(2)当R=1100Ω时，求I3．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过3A题型02压强问题/（1）公式：F=pS，压力F定值，压强p与受力面积S成反比，p=F（2）解法：固定压力列反比例式，求解压强、面积变化问题；（3）易错：面积换算错误；分不清压力与压强变量关系.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在古代河工治水时，需用木桩固定堤岸，压力不变的情况下，木桩承受的压强p（帕）是其受力面积S（平方米）的反比例函数．据《河工法式》记载，当受力面积为0.4平方米时，压强为625帕，其数关系与古算中的“反比例”规律一致．(1)按古算之法，求p与S之间的函数关系式；(2)若木桩受力面积为0.2平方米，求此时木桩承受的压强．变｜式｜巩｜固1．（2026·河北沧州·一模）跨学科

根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（m2）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为8×10-4m2时，测得地面所受压强为6×A．4×10-3m2 B．4×10-42．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强P（单位：Pa）与容器底面积S（单位：cm(1)把一定质量的水放入底面积为40cm2容器时，压强是1500Pa，求压强P关于底面积(2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积S的调节取值范围是25≤S≤50，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强P的取值范围；(3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块B浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的45，此时水对容器底部的压强比原来增加了200Pa．求原来容器的底面积S题型03杠杆问题/（1）公式：F1（2）解法：代入已知力和力臂求定值，求解未知力、力臂；（3）易错：力臂长度判定出错；左右力矩等式列反.典｜例｜精｜析1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图1，取一根长120cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点30cm处挂一个重10N的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2A．F随L的增大而减小B．当L=30cm时，C．若弹簧测力计的示数F不超过10N，则L的取值范围是D．若原物体重量增加5N，木杆保持水平时，F与L的关系式为2．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图1．在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表：托盘B与点O的距离x1015202530托盘B中的砝码质量y3020151210(1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来；(2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式；(3)当砝码质量为24g时，求托盘B与点O(4)当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量．变｜式｜巩｜固1．（2026·江苏泰州·二模）某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂l1m与对应动力动力臂l0.10.20.40.8动力F201052.5观察表中数据发现，F1与l1的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂l1=0.25m2．（25-26九年级上·广东东莞·期末）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即G⋅d=y⋅x．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长100cm的均匀木杆，在木杆的中点O并系上细绳将木杆吊起．在距离点O的左侧25cm处垂直悬挂一个物体，物体重量10N（即G=10N）．在点O的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点O的距离是xcm，弹簧秤的示数是y3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）综合与实践如图，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即FA×L1=FB×L2如图)，受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为____N；(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B为x/N，L2①y关于x的函数解析式是___________；②完成表格：x/…1020304050…y/…8a828…则a=___________③在直角坐标系中画出该函数的图象；(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为(10,0)，点B的坐标为(30,0)，在（2）中所求函数的图象上存在点C(m,n)(n>0)，使得S△ABC≤40，请根据图象直接写出n的取值范围为题型04液体密度与溶液浓度问题/（1）公式：m=ρV，质量定值，密度与体积反比；溶质不变，浓度与溶液体积反比；（2）解法：抓住溶质、总质量不变设函数，计算稀释、浓缩问题；（3）易错：混淆溶质、溶液质量；浓度计算比例出错.典｜例｜精｜析1．（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度C（单位：%）与溶液体积V（单位：mL）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为50mL时，浓度为30%(1)求出C与V之间的函数关系式；(2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于20%，那么稀释后溶液体积V应不高于多少？变｜式｜巩｜固1.（25-26九年级上·浙江台州·期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：cm），且液体密度ρ（单位：gcm3）是浸没深度h（单位：cm）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度酒精水蜂蜜浸没深度h17.51410ρm1n(1)m=__________，n=__________；(2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5 cm，最大浸没深度为20 cm，求该密度计能测量的液体密度2.（25-26九年级上·山东滨州·期末）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度ymg/L随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）；(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？题型05行程问题/（1）公式：s=vt，路程定值，速度v与时间t反比，v=s（2）解法：固定路程列式，求变速用时、限定时间求最低速度；（3）易错：时间、速度单位不统一；忽略实际正数取值.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度vms与载重后总质量Mkg是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量M=5(1)求v与M之间的函数关系式．(2)当其载重后总质量M=25kg时，求它的最快移动速度v变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）机器狗凭借灵活机动和AI视觉识别，已从实验室走向工业巡检、安防巡逻和应急救援等多元场景，突破人力与设备的应用空白．若“机器狗”最快移动速度Vms是载重后总质量mkg的反比例函数，即V=km．已知一款“机器狗”(1)求V关于m的函数解析式；(2)若机器狗载重后总质量为100kg2．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：v（千米/小时）60758090t（小时）5.004.003.7510(1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；(2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由．3．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理）某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为v=10米/秒时，电池每小时耗电量为E=2度．(1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式；(2)为确保小车在科技展上连续行驶至少t0=4小时，科技小组需将速度调整为v0，此时每小时耗电量降至E0．已知调整后的耗电量E0满足分式方程：15E0-15题型06工程问题/（1）公式：工作总量=工作效率×工作时间，工程总量为定值，工作效率v与工作时间t成反比例，v=Wt（（2）解法：先确定题目固定工程总量，设反比例函数解析式，代入已知效率、时间求出定值，进而求解指定时间的工作效率、指定效率的完工时间，或解决增派人员、提速完工类问题；（3）易错：①混淆工作总量、工作效率、工作时间三者关系，错设函数；②多人合作工程中，误将单人效率直接当作总效率；③忽略实际取值：时间、效率、人数均为正数；④解题结果漏写单位，未根据实际情况取舍取值（如人数取整数）.典｜例｜精｜析1．（25-26八年级下·河南周口·月考）某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成300个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工5个零件，结果提前2天完成任务．设原计划每天加工x个零件．(1)求原计划每天加工零件的个数；(2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？变｜式｜巩｜固1．（2026·陕西榆林·二模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间y（天）与平均每天的工作量x（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天．2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为t(单位：小时)．(1)求v关于t的函数解析式；(2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？题型07排水问题/（1）公式：总水量=排水速度×排水时间，总量固定，速度与时间反比；（2）解法：先算总水量，建立反比例解析式，求排水时长、排水速率；（3）易错：总水量计算失误；未结合实际限制最短排水时间.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量qm3与排水总时间t(h)之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为(1)求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？变｜式｜巩｜固1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积S=0.4平方米时，出水流量v=60立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为v=________．2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如今太阳能进入了千家万户，一个太阳能热水器，每次排完水后再进行蓄水，且在蓄满水后能连续排水的时间y（分钟）与每分钟的排水量x（升）之间满足反比例函数关系，当每分钟的排水量x为12升时，排水时间y为20分钟．(1)求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围）(2)若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？题型08其他问题/（1）常见模型：工作总量固定，工作效率与时间反比；总价固定，单价与数量反比；（2）解法：找准不变常量，设反比例函数，代入求值作答；（3）易错