1.1 正数和负数（导学案）

学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2/21.1正数和负数导学案一、学习目标：1.了解负数的产生过程，体会引入正数和负数的必要性，感受数学与现实生活的联系.2.能够用正数、负数表示具有相反意义的量.3.理解正数、负数、0的在实际问题中表示的意义.重点：会用正数、负数表示具有相反意义的量.难点：理解正数、负数、0的在实际问题中表示的意义.二、学习过程：（一）新知引入数的产生和发展离不开生活和生产的需要.人们对于数的认识就是伴随着记数、测量、运算等方面的需求不断拓展的.在古埃及，由分物、测量，产生分数12，在古埃及，由分物、测量，产生分数12，1在古印度，由表示“没有”“空位”，产生数0结绳计数在我国古代，由记数、排序，产生数在古印度，由表示“没有”“空位”，产生数0结绳计数在我国古代，由记数、排序，产生数1，2，3，…在小学，我们从日常生活中的实例出发，学习了整数、小数、分数及其运算.在日常生活、生产和科研中，还会遇到另外一些数的表示问题，例如：（1）北京冬季某一天的最高气温为零上3摄氏度，最低气温为零下3摄氏度.如何用数区分“零上3摄氏度”和“零下3摄氏度”？（2）某公司今年7月份盈利50万元，8月份亏损10万元.该公司在记账时如何用数分别表示“盈利50万元”和“亏损10万元”？（3）某年，我国棉花产量比上年增长7.8%，玉米产量比上年减少0.7%.统计这两种农作物产量的变化情况时，如何用数分别表示“增长7.8%”和“减少0.7%”？思考：这些问题都涉及意义相反的两个量，以前我们学过的数还够用吗？（二）新知讲解从右图中的天气预报中可以看出，零上3摄氏度用3℃表示，零下3摄氏度则用－3℃表示.类似地，你能表示出其他的量吗？在数学中，像3，50，7.8%这样大于0的数叫作，像－3，－10，－0.7%这样在正数前面加上符号“－”的数叫作．其中符号“－”是，读作“”.思考：0是正数吗？0是负数吗？0既不是正数，也不是负数．答：把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量.随着人们对正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.例如，在表示某地的高度时，通常以海平面为基准，用0m表示海平面的海拔，用正数表示高于海平面的海拔，用负数表示低于海平面的海拔．我国水准零点位于山东省青岛市.“中华人民共和国水准零点”标志世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔为8848.86m；我国陆地海拔最低处位于新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔为－154.31m.0是正数与负数的分界.0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度.0已不只是表示“没有”.思考：下图中的正数和负数的意义分别是什么？地理中的分层设色地形图手机中的部分收支款账单答：思考：你能再举一些用正数、负数表示具有相反意义的量的例子吗？答：（三）知识溯源我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉时期的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，如关于家畜买卖的第八题，使用“正与负”来表示“卖出与买入”，将卖出家畜获得的钱数记为正，买入家畜付出的钱数记为负.魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹分别表示正数和负数，红色为正，黑色为负.刘徽（约225年—约295年），汉族，山东滨州邹平市人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产.刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观.他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人.刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生.他虽然地位低下，但人格高尚.他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富.《九章算术》是我国最古老的算经书之一.此书的成书年代，各家的说法不一.一般认为，此书成于秦、西汉时期.现传本《九章算术》是经魏朝刘徽和唐朝李淳风注释过的注本.此书比较系统地记载了我国古代数学各方面的研究成果.关于负数的引用，书中以卖（收入钱）为正，买（付出钱）为负；余钱为正，不足钱（亏钱）为负.在关于粮谷计算的问题中，则以益实（增加粮谷）为正，损实（减少粮谷）为负.在《九章算术》中还记载了正数、负数的运算法则，实际是加法、减法的运算法则，也就是书中在方程解法中用到的“正负术”.（四）典型例题题型一、正数和负数：例1将下列各数填在相应的位置：23，－59，－7，0，－0.001，3.14159，＋15%，－2025，＋4.28，－2(1)正数：___________________________；(2)负数：___________________________；(3)既不是正数也不是负数：______.【小结】判断正数与负数，只需要看数前面的符号即可，有“－”号的是负数，有“＋”号或省略“＋”号的是正数，0既不是正数也不是负数.【针对练习】教材P3练习：1.指出下面各数中的正数、负数：43，−1，2.5，+14，0，−3.14，120，−解：正数：；负数：.题型二、用正负数表示具有相反意义的量：例2某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装.一箱橘子的标准质量为2.5kg.如果用正数表示超过标准质量的克数，那么（1）比标准质量多65g和比标准质量少30g各怎么表示？（2）50g，－27g各表示什么意思？【小结】具有相反意义的量的特征：(1)必须成对出现；(2)必须是同类量，表示时要写明单位(百分比除外)；(3)既要意义相反，又要有数量，但数量可以不同．【针对练习】教材P3练习：2.如果80m表示向右走80m，那么-60表示向左走m.3.某天，月球表面白天的最高温度为零上126℃，如果把它记作126℃，那么夜间的最低温度零下150℃记作℃.4.在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作个.题型三、正数和负数的意义：例3（1）一个月内，李明体重增加1.2kg，张华体重减少0.5kg，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.（2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少2%，B品牌增长4%，C品牌增长1%，D品牌减少3%，写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率.思考：增长－2%，是什么意思?什么情况下增长率是0?答：【针对练习】教材P5练习：1.如果水库的水位升高3m时，水位变化记作+3，那么水位下降3m时，水位变化记作m，水位不升不降时，水位变化记m.2.一袋面粉的标准质量是10kg，如果比标准质量多0.1kg记作+0.1kg，那么－0.1kg，0kg，+0.5kg分别表示什么？3.若规定商品涨价为正，则甲商品涨价10%可以记作+10%，乙商品降价5%可以记作.题型四、产品合格问题：例4某饮料公司生产的一种瓶装饮料的外包装上印有“（600±20）mL”字样．（1）请问“±20mL”是什么含义？（2）质监局对该产品随机抽查了5瓶，容量分别是603mL，611mL，589mL，573mL，627mL，则抽查产品的容量是否都合格？（3）如果以标准容量为标准，超过标准容量记“+”，低于标准容量记“－”，那么该种瓶装饮料容量的浮动范围又可以怎样表示？【小结】在产品合格问题中，可用正数和负数表示每个产品在质量指标上与标准值的偏差程度.【针对练习】某品牌酸奶外包装上标明“净含量：300±5mL”，现随机抽取四种口味的这种酸奶，它们的净含量如下表所示，其中，净含量不合格的是口味的酸奶．（五）当堂巩固1．下列各数中，是负数的为()A.－5 B．2 C．0 D．62．中国是最早用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若某次知识竞赛中，得20分记作＋20分，则－8分表示（）A．得8分 B．扣8分C．得12分 D．扣12分3．下列说法错误的是（）A．0既不是正数，也不是负数B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示D．若盈利1000元记作+1000元，则－200元表示亏损200元4．我国古代数学著作《九章算术》中首次正式引入负数，如果支出300元记作－300元，那么收入70元记作元．5．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．实行的“新中考”中“引体向上”项目