专题1.1 反比例函数的概念（举一反三）（解析版）

专题1.1反比例函数的概念（举一反三讲义） 【新教材苏科版】题型归纳题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【题型1反比例函数的识别】 1【题型2根据反比例函数的定义求参数】 3【题型3求反比例函数中自变量的取值范围】 4【题型4反比例函数的解析式】 5【题型5列反比例函数关系式-几何图形类】 7【题型6列反比例函数关系式-物理公式类】 9【题型7列反比例函数关系式-生活经济类】 11【题型8列反比例函数关系式-图表信息类】 12考点1反比例函数的考点1反比例函数的概念定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．自变量取值范围：x≠0，因变量取值范围：y≠0．反比例函数的形式：①xy=k；②y=kx；k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且k≠0．【题型1反比例函数的识别】【例1】（25-26八年级下·山东济南·期中）下列式子中，y是x的反比例函数的是（）A．y=x3 B．y=x2 C．【答案】C【分析】本题根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式为y=kx k≠0，也可变形为【详解】解：A．y=xB．y=xC．xy=-2变形可得y=-2D．y=1x+3【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）反比例函数y=12x的k值是__________【答案】1【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．根据反比例函数的定义作出判断即可．【详解】解：反比例函数y=12x的k值是故答案为：12【变式1-2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）将反比例函数y=-34x写成y=kx的形式，则【答案】-34【分析】本题考查了反比例函数的定义，由y=-34x=【详解】解：∵反比例函数y=-3∴k=-3故答案为：-3【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·月考）下列函数：①y=3x-1；②y=2x-1；③y=-8x2；④y=12x；⑤y=x2-1；⑥xy=-1；⑦【答案】②④⑥【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如y=kx（k为常数，k≠0），或可转化为y=kx-1（k≠0）、【详解】解：①y=3x-1是一次函数，不是反比例函数，②y=2x-1可变形为③y=-8x2中自变量x④y=12x可变形为⑤y=x⑥xy=-1可变形为y=-1⑦y=2x是正比例函数，不是反比例函数，综上所述，反比例函数有②④⑥．故答案为：②④⑥．【题型2根据反比例函数的定义求参数】【例2】（25-26九年级下·广东潮州·月考）若y=3xm-2是反比例函数，则m【答案】3【分析】反比例函数的一般形式为y=kx(k≠0,k为常数)，可得分母中x的次数为1，据此列方程计算即可得到【详解】解：根据反比例函数的定义，可得m-2=1，解得m=3．【变式2-1】（2026·河南南阳·一模）写出一个使函数y=1x-6存在的x的值：【答案】3（答案不唯一）【详解】解：∵函数y=1∴x-6≠0，解得x≠6，故x的值可为3．【变式2-2】（25-26八年级下·河南周口·月考）若函数y=(m+3)x(m2-8)【答案】7或-【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得到x的指数和系数需要满足的条件，列方程求解即可.【详解】解：∵函数y=m+3x根据反比例函数的定义，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，可变形为因此可得m2解一元二次方程m2-8=-1，移项得m2=7，开方得验证m+3，7+3≠0，-7+3≠0故m的值为7或-7【变式2-3】（25-26九年级上·山东威海·月考）若函数y=m+3m-A．2 B．-2 C．±3 D【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式为y=kx-1，其中根据反比例函数的定义列式方程计算即可．【详解】解：∵函数y=m+∴m2-3=-1且解得：m=-2故选B．【题型3求反比例函数中自变量的取值范围】【例3】（24-25九年级上·云南·月考）在反比例函数y=xx+2中，自变量x的取值范围为（A．x>-2 B．x<-2 C．x≠-2 D．全体实数【答案】C【分析】本题考查了求反比例函数中自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即分母不等于0即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，x+2≠0∴x≠-2，故选：C．【变式3-1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）反比例函数y=-4x中，自变量x的取值范围是【答案】x≠0【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，自变量x的取值范围是x≠0．【详解】解：∵函数y=-4∴x≠0，即自变量x的取值范围是x≠0．故答案为：x≠0．【变式3-2】反比例函数y=2024x-2023中自变量x的取值范围是【答案】x≠2023【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：x-2023≠0，解得：x≠2023，故答案为：x≠2023．【变式3-3】函数y=3x-2中，自变量A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2【答案】A【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．【详解】根据题意得，x-2＞0，解得，x＞2.故选A.【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【题型4反比例函数的解析式】【例4】（25-26八年级下·河南周口·期中）函数y=6x，当x=2时，函数值y为（A．3 B．-3 C．12 D．1【答案】A【分析】本题考查已知函数解析式求函数值，将给定的自变量的值代入解析式计算即可．【详解】∵函数解析式为y=6x∴将x=2代入解析式得y=6因此函数值y为3，故选：A．【变式4-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）若点Aa,b在双曲线y=5x上，则代数式ab-5【答案】0【分析】本题考查反比例函数解析式，利用反比例函数的解析式求出ab的值，进一步可求出ab-5的值．【详解】解：∵A(a,b)在双曲线y=5∴ab=5，∴ab-5=5-5=0，故答案为：0．【变式4-2】（25-26七年级上·福建南平·期中）如表，如果x和y两个量成反比例关系，那么“？”处应填____．x252010y45?【答案】10【分析】本题考查了反比例关系的性质与应用，即两个量x和y成反比例关系时，它们的乘积是一个定值，x×y=k（k为常数）．由于x和y成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知数据x=25，y=4，求出该定值，再代入求出y的值即可解答．【详解】由反比例关系可知，xy=k（k为常数），取x=25，y=4，得k=25×4=100，验证x=20，y=5，20×5=100，符合，当x=10时，则10×y=100，解得y=10，故答案为：10．【变式4-3】已知y与x成反比例，且当x=2时，y=6，则当y=4时，x的值为__________．【答案】3【分析】首先根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把当x=2时，y=6代入求出k的值，进而可得当y=4时，x的值．【详解】解：∵y与x成反比例，∴y=k∵当x=2时，y=6，∴k=2×6=12，∴反比例函数解析式为y=12∴当y=4时，4=12∴x=3，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx(k为常数，k≠0)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3考点2列反比例函数考点2列反比例函数关系式1.理解题意：找出实际问题中的已知量和变量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.【题型5列反比例函数关系式-几何图形类】【例5】已知圆柱的体积是30cm3，它的高h（单位：cm）关于底面面积S（单位：cm2）的函数解析式为_____．【答案】h=30S【分析】直接利用圆柱体积公式进而得出答案．【详解】解：由题意可得：Sh=30，则h=30S故答案为：h=30S【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握圆柱体积求法是解题关键．【变式5-1】已知菱形的面积是12cm2，菱形的两条对角线长分别为x和y，则y与x之间的函数关系是________________．【答案】y=【分析】根据菱形面积＝12×【详解】解：由题意得：12xy＝12，可得：y=故答案为：y=24【点睛】本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．【变式5-2】用解析式表示下列函数．（1）三角形的面积是12cm2，它的一边a（单位：cm）是这边上的高h（单位：（2）圆锥的体积是50cm3，它的高h（单位：cm）是底面面积S（单位：【答案】（1）a=24h；（2【分析】（1）根据三角形的面积公式写出解析式即可；（2）根据圆锥的体积公式V=1【详解】（1）∵∴a=（2）∵50=∴h=【点睛】本题考查了反比例函数表达式，掌握相关公式以及函数知识是解题的关键．【变式5-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为100m），现打算沿墙围一个面积为120m2的矩形花圃．设花圃的长AB为xm，宽为ym，则y关于x【答案】y=120x【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积=长×宽，可得xy=120，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为100m求得x【详解】解：解：由题意得xy=120，即y=120∵围墙可利用的最大长度为100m∴0<x≤100，故答案为：y=120x，【题型6列反比例函数关系式-物理公式类】【例6】（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是800N和0.2m，则动力F1（单位：N）与动力臂L1（单位：【答案】F【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”即可得到函数表达式．【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是800N和0.2∴F1即F1故答案为：F1【变式6-1】验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表：近视眼镜的度数y（度）2002504005001000镜片焦距x（米）0.500.400.250.200.10根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为______．【答案】y=【分析】由表中数据可得，xy=100，从而可得y关于x的函数表达式．【详解】由表中数据可得，xy=100，∴y关于x的函数表达式为y=100故答案为：y=【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键．【变式6-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）成反比例关系，当x=7.5时，y=2.4，则y关于x的关系式是（）A．y=x18 B．xy=118 C．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数表达式即可．【详解】解：由题意设：y=k把x=7.5，y=2.4，代入，得k=7.5×2.4=18；∴y=18故选：C．【变式6-3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，休闲广场上有两个小朋友在玩跷跷板．已知妙妙小朋友的体重为20kg，坐在距离跷跷板支点的1.5m处，明明小朋友的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym．根据杠杆平衡原理（动力×动力臂=阻力×阻力臂），若要使跷跷板保持水平，则y与A．y=30x B．y=C．y=30x D【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键要学会利用反比例函数解决实际问题．根据妙妙的体重与妙妙到跷跷板支点的距离之积等于明明的体重与明明到跷跷板支点的距离之积求解即可．【详解】解：由题意，得：xy=20×1.5，∴y=30故选：C．【题型7列反比例函数关系式-生活经济类】【例7】新学期开始时，有一批课本要从A城市运到B县城，如果两地路程为500米，车速为每小时x千米，从A城市到B县城所需时间为y小时，那么y与x的函数关系式是__________．【答案】y＝0.5x(x＞【分析】根据时间＝路程÷速度可以列出关系式，注意时间应大于0.【详解】由题意，得y与x的函数关系式y＝0.5x(x＞0)故答案为y＝0.5x(x＞0)【点睛】本题考查了列反比例函数关系式，根据题意明确时间＝路程÷速度是解答本题的关键.【变式7-1】一艘轮船装载2800吨货物，写出平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间的关系式为_________．【答案】v＝2800【分析】根据货物总吨数=卸货速度×卸货天数，代入即可得出关系式．【详解】解：由题意得：2800＝vt．∴v＝2800t故答案为：v＝2800t【点睛】本题考查反比例函数关系式，掌握货物总吨数=卸货速度×卸货天数是解题的关键．【变式7-2】（25-26九年级上·河南濮阳·月考）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（

）A．y=x5000 B．y=50003x C．【答案】C【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键．根据“总成本=每只成本×数量”的等量关系，列出y与x的关系式．【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为y元，数量为x只，∴5000=y×x，∴y=5000故选：C．【变式7-3】（2024·河北邯郸·模拟预测）有一段平直的公路AB，A与B间的距离是50m．现要在该路段安装一个测速仪，当车辆经过A和B处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差ts输入程序后，随即输出此车在AB段的平均速度vkmh，则v与A．v=50t B．v=180t C．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度=路程÷时间”列出关系式即可．找出题中的等量关系是解决问题得关键．【详解】解：∵1m∴v=50故选：B．【题型8列反比例函数关系式-图表信息类】【例8】（25-26九年级下·山西太原·月考）生物实验探究小鱼鳃部气体交换，在水体溶氧量恒定的情况下，实验测得小鱼鳃盖开合次数y（次/分钟）与水流动速度x（cm/s）成特定函数关系，下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（

）水流动速度x（cm/s）12.5162030鳃盖开合次数y（次/分钟）19215012080A．y=2400x B．y=2400x C．y=x【答案】B【分析】根据表格数据计算x与y的乘积，判断函数类型即可求解.【详解】解：∵12.5×192=2400，16×150=2400，20×120=2400，30×80=2400，∴y是x的反比例函数，∴xy=2400，解得y=2400【变式8-1】在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度ymm与面条的粗细smm2（横截面积）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y关于s面条的总长度y1002004008002000面条的粗细s12.806.403.201.600.64A．y=320s B．y=s320 C．【答案】D【分析】根据表格中的数据判断出y与s的乘积一定，得到函数关系类型，再将数据代入计算．【详解】解：由表可知，面条总长度和面条的粗细的乘积一定，∴设y与s的关系为：y=k∴k=100×12.8=1280，∴y=1280故选：D．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．【变式8-2】（2025·湖北·三模）如图，在数学实验课上，小明把相同体