1.1 反比例函数的概念（教学设计）

2/21.1反比例函数的概念教学设计1.教学内容本课选自苏科版九年级上册第一章《反比例函数》1.1反比例函数的概念。核心知识点：1.反比例关系的判定——两变量乘积恒为常数k(k≠0)，可表示为xy=k；2.反比例函数的定义、三种常用表达式：y=kx（一般式）、xy=k（乘积式）、2.内容解析本节以“矩形周长一定”“匀速行驶”等熟悉场景切入，引出“两个变量乘积为定值”的数量关系，借助类比正比例函数“商为定值”完成概念迁移，形成“反比例关系—反比例函数”两级概念链。核心在于：①从具体问题抽象出xy=k；②理解y=kx满足“每一个x(x≠0)都唯一确定y”，因而构成函数；③掌握三种等价形式并进行互化；④能回到情境，完成模型建构。通过“真伪判断—表达式转化—案例建模1.教学目标•理解反比例关系的含义，能判断两个变量是否具有反比例关系。•掌握反比例函数的概念，能判断给定函数是否为反比例函数。•能根据实际问题列出形如y=k2.目标解析•通过“情境描述—数表探究—乘积计算”让学生发现xy恒定的特征；达成标准：能用“乘积是否为定值”判断关系。

•借助函数定义与指数知识，掌握y=kx是函数且•通过“公路建设、水池注水”等案例，指导学生从已知定量关系推出y=kx；达成标准：能独立完成情境建模并说明3.重点难点•教学重点：反比例函数定义及三种等价形式的理解与互化。•教学难点：从实际情境抽象出“乘积恒定”并建立y=kx模型；正确限定自变量九年级学生已具备一次函数、正比例函数及简单方程、代数式变形基础，对“函数”概念有初步体验。优势：能利用列表、画图探究变量关系；易于发现“一个变大另一个变小”的直观特征。瓶颈：1.难以将口头的“成反比例变化”准确转化为xy=k；2.容易忽视x≠0的取值限制；3.创设情景，引入新课知识回顾：教师提问：什么叫函数？我们学过哪一类函数？是怎样描述的？学生回答：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量．对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值．学习过一次函数，一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数．情景引入用铁丝围一个面积为24

cm2的矩形，矩形相邻的两边长分别为a

cm和b

cm，a与b解:这个矩形的相邻两边长的乘积是定值．如图，当一边变大时，邻边变小；当一边变小时，邻边变大．无论边长怎样改变，一定有ab＝24．【设计意图】以生活化的“围矩形”情境，引导学生观察“一变大、一变小”的现象，通过旧知迁移（一次函数）激活经验；明确学习目标，激发学习兴趣并凸显探究方向。探究点1：反比例关系的识别1.尝试思考在生活中，两个变量的乘积为定值的情境普遍存在，你能举几个例子吗？用80元购买大豆，购买的质量y(kg)与大豆的价格x(元/kg)的乘积是定值．解：xy＝80总价一定时，单价越高，购买的质量越少；单价越低，购买的质量越多．2.新知归纳一般地，如果两个变量x和y满足xy＝k(k为常数，k≠0)，那么就说这两个变量具有反比例关系．【设计意图】通过丰富实例让学生亲历“发现—归纳”过程，体会“积为常数”的本质特点，为函数概念奠基。探究点2：反比例函数的概念1.尝试交流判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量．(1)计划修建一条长为500km的高速公路，完成该项目的天数y(天)与平均工作效率x(km/天)之间的关系；解：(1)(2)向容积为2500m3的水池内注水，注满水池所需时间t(h)与注水平均速度v(m3解：(2)是反比例关系，vt＝2500．(3)两个实数m与n的乘积为－200，m与n之间的关系．解：(3)是反比例关系，mn＝－200．2.讨论交流xy＝500，vt＝2500，mn共同特征：①上述问题中两个变量之间都有反比例关系；②都可以写成y＝kx(k为非零常数)的形式，其中y随x的变化而变化，每一个x(x≠0)的值都有唯一的y的值与它对应．因此，y可以看作是x3.知识归纳：一般地，形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数（inverseproportionalfunction），其中x是自变量，y是x的函数反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．【设计意图】突出“关系”与“函数”区别，引导学生完成数学抽象，突破概念形成的关键难点。探究点3：定义的应用与等价形式1典例分析例1下列等式中的y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成y＝k/x的形式，并指出k的值．（1）xy＝4；（2）x＝－5y；（3）y＝2x-1；（4）y＝－2x解：(1)是反比例函数，y＝4x，k＝4(2)是反比例函数，y＝－5x，k＝－5(3)是反比例函数，y＝2x，k＝2(4)不是反比例函数．【新知归纳】反比例函数表达式有三种等价形式：（1）一般式：y＝kx（k为常数，k≠0）（2）乘积式：xy＝k（k为常数，k≠0）.（3）负整数指数幂的形式：y＝kx-1（k为常数，k≠02.讨论交流讨论：反比例函数与正比例函数有哪些区别和联系？3.例题精讲例2用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数．（1）体积为100

cm3的圆锥，高h（cm）随底面面积S（

cm（2）体积为100

cm3的圆锥，高h（cm）随底面半径r（cm解:（1）13Sh=100⇒h=300S，满足hS=300，h是S的反比例函数；

（2）13πr2h=100⇒h=300πr2，分母中r2次数为【设计意图】通过同源不同形的两问，引导学生关注“自变量指数是否为1”这一关键条件，形成正确判断标准。1．下列等式中的y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成y＝k/x的形式，并指出k的值．（1）yx＝23；（2）xy＝－解：(1)不是反比例函数；(2)是反比例函数，y＝－23x，k＝－22．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数．(1)三角形的一边长为5，该三角形的面积y随这边上的高x的变化而变化；(2)某村有耕地200

hm2，该村人均耕地面积y(

hm2)随人口数x(人(3)一个物体重120N，该物体对地面的压强p(Pa)随它与地面的接触面积S(

m2)解：(1)y＝52x(2)y＝200x，是反比例函数，k＝200(3)p＝120S，是反比例函数，k＝120能力提升1．将一定体积的面团做成粗细均匀的拉面，拉面的总长度y(cm)可以看作是拉面横截面面积x(cm²)的反比例函数，部分对应数值如下表所示．根据上述数据，求y(cm)关于x(cm2)解：由表格可知，12000×0.01＝6000×0.02＝4000×0.03＝3000×0.04＝120所以，y关于x的函数表达式为y＝120x2．请大家举两个可以用反比例函数来描述的实际例子．解：(1)当圆柱的体积是常数V时，其底面积S与高h之间的关系；(2)杨树乡共有耕地面积S(单位：hm²)，该乡人均耕地面积y(单位：hm²)与全乡总人口x(人)的关系．3．已知函数y＝(m－2)xm(1)若y是x的正比例函数，求m的值；(2)若y是x的反比例函数，求m的值．解：(1)∵函数y＝(m－2)xm∴m2－3＝1，m－2≠0，解得m(2)∵函数