三年级数学上册：“笔尖上的跃迁-两、三位数乘一位数连续进位笔算”深度探究教案

  三年级数学上册：“笔尖上的跃迁——两、三位数乘一位数连续进位笔算”深度探究教案

一、顶层设计与理念阐述

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是“运算能力”、“推理意识”和“应用意识”。本课时内容是整数乘法笔算体系中的关键节点与能力跃迁点。它并非“不连续进位乘法”的简单线性延伸，而是涉及认知结构重组和程序性知识自动化的复杂心智技能形成过程。学生在此前已经掌握了表内乘法、整十整百数乘一位数的口算、以及两、三位数乘一位数的不连续进位笔算。本节课的“连续进位”打破了此前“分解动作”的节奏，要求学生在高度集中的状态下，连续执行“乘加（含进位）”的复合运算，并对进位的“记忆与提取”、“累加与处理”流程形成流畅的心理表征。

因此，本设计的核心定位是：从“机械算法操练”升维至“算理深度贯通与算法程序建模”。我们将跨越数学学科边界，融入计算思维（如流程分解、循环结构）、认知心理学（工作记忆负荷管理）的视角，构建一个“问题驱动-具身体验-抽象建模-迁移应用”的深度探究循环。教学将致力于引导学生亲历从“遭遇认知冲突”到“自主建构策略”再到“优化固化程序”的完整过程，最终实现笔算技能从“会算”到“明理”、再到“善用”的跃迁。

二、学情深度剖析

三年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。对于本节课的学习，他们具备以下基础与可能面临的挑战：

已有基础与正向迁移点：

1.知识储备：熟练掌握了表内乘法，能进行两位数加一位数的进位加法，理解“满十进一”的进位制原则。已经初步掌握两、三位数乘一位数（不连续进位）的笔算竖式格式和基本步骤。

2.技能雏形：具备初步的竖式计算程序性记忆，知道从个位算起，依次相乘，进位“写小记”。

3.心理准备：对挑战有一定兴趣，在成功解决不连续进位问题后，对更复杂的计算有尝试和征服的欲望。

潜在认知障碍与难点分析：

1.工作记忆超载：连续进位要求学生在计算当前数位时，不仅要记住来自低数位的进位，还要进行本位乘法和加法的复合运算，并产生新的进位。这极易导致工作记忆容量不足，出现“记了旧的，忘了新的”或“加了进位，忘了乘积”的混乱。

2.算理理解模糊：学生可能将“连续进位”仅仅视为步骤的重复叠加，而未能深刻理解每一步“乘加”复合运算所对应的“几个几相加再加进上来的几个”的乘法本质意义，导致算理与算法脱节。

3.错误模式固化：典型的错误包括：进位遗漏（尤其是连续进位中间的某一次）、进位加错位置（如将进位与下一次乘积累加）、进位数字书写不清导致自我干扰、以及因畏难情绪导致的放弃或随意书写。

4.缺乏自我监控策略：学生往往沉浸于逐步计算中，缺乏对计算过程整体节奏的把握和对阶段性结果的合理性进行估算验证的习惯。

三、学习目标与核心素养细化

基于以上分析，设定以下分层、可测的学习目标：

（一）知识与技能目标

1.能准确阐述两、三位数乘一位数时，遇到连续进位的算理（即每一位的计算都是“一位数乘该数位上的数，再加上前一位进上来的数”）。

2.能规范、流畅地笔算两、三位数乘一位数的连续进位乘法，掌握“乘、加、记”三位一体的连贯操作程序。

3.能运用估算对笔算结果的合理性进行初步判断和检验。

（二）过程与方法目标

1.经历从具体情境抽象出数学问题，并通过小棒图、计数器等直观模型分解连续进位过程的活动，发展几何直观和数形结合思想。

2.在对比不连续进位与连续进位竖式的异同中，学会分析复杂问题的结构，提炼共性步骤，构建具有普适性的笔算乘法心智模型。

3.通过设计“错误病例诊断”、“计算接力赛”等活动，发展计算过程中的自我监控与反思调整能力。

（三）核心素养发展目标

1.运算能力：实现从单一、分步运算向复合、连续运算的能力跃迁，提升运算的准确性、流畅性和灵活性。

2.推理意识：通过探索连续进位的必然性（如为何某些因数组合必然导致连续进位），发展基于算理的逻辑推理能力。

3.应用意识：在解决真实或模拟的真实问题（如物资批量估算、编码规律计算）中，体会连续进位乘法的应用价值，增强数学学习的意义感。

四、教学重难点透视

教学重点：理解连续进位乘法的算理，掌握其规范的笔算方法和书写格式。

（重点确立依据）：算理是算法的根基，理解“每一步都是乘加复合”的本质，是避免机械记忆、实现灵活应用和有效纠错的前提。规范书写是减少外部认知负荷、确保内部计算过程清晰的关键。

教学难点：在笔算过程中，准确、有序地处理多次连续进位，尤其是在中间数位出现进位叠加时保持思维清晰。

（难点突破策略）：采用“化动为静，分段显化”的策略。利用多媒体动画或分步色块覆盖，将连续的动态过程分解为可暂停、可回看的静态步骤。同时，引入“思维留痕”法，鼓励学生在竖式旁用极简符号或短横线标记关键进位，作为思维的“脚手架”，待熟练后逐渐撤除。

五、教学资源与环境创设

1.数字化工具：交互式白板课件，内含可拖拽的小棒模型、动态演示连续进位过程的竖式动画、错误案例即时收集与展示功能。

2.实体学具：每生一套计数器、学习任务单（含探究单、分层练习单、自我反思栏）。

3.环境营造：教室布置可设置“计算思维墙”，张贴乘法笔算的通用流程图；组建4人异质小组，便于合作探究与互评。

六、教学过程实施：四阶深度探究循环

第一阶：情境锚定，孕伏冲突——（预计用时：12分钟）

活动一：现实问题导入，唤醒已有认知

教师创设学校“图书漂流站”采购图书箱的情境：“每个图书箱可放置48本书，现需为3个这样的图书箱准备图书，一共需要多少本书？”

1.学生口述算式：48×3。

2.挑战一：请用你已经学过的方法尝试计算。学生可能尝试口算（40×3=120，8×3=24，120+24=144），或列不连续进位的竖式计算。教师选取典型竖式板演。

3.关键提问：“这个竖式计算过程中，进位发生了几次？每次处理进位时，感觉怎么样？”引导学生回顾“一次进位”的相对轻松感。

活动二：提升数据，制造认知冲突

教师变换情境：“如果每个箱子能放76本书，准备4个这样的箱子呢？”

1.学生列式：76×4。

2.挑战二：请你用竖式独立计算。此时，部分学生会遇到十位计算时“7×4=28，加上个位进上来的2等于30”的情况，即需要“连续进位”。

3.暴露困惑：教师巡视，有意识地收集呈现几种典型状态：正确完成的、忘记加第一次进位的、进位处理混乱的、感到困惑停笔的。

4.核心问题提出：“计算76×4时，你遇到了什么新情况？感觉和刚才算48×3最大的不同是什么？”引导学生自发说出“进位了两次”、“加了一次进位后，自己又产生了新的进位”等直观感受。由此自然引出课题焦点——“连续进位”。

设计意图：从真实情境出发，通过数据设计的梯度变化（从一次进位到连续进位），让学生亲历认知平衡被打破的冲突时刻，从而激发强烈的探究内驱力。问题直指新旧知识的连接点与生长点。

第二阶：模型支撑，算理贯通——（预计用时：18分钟）

活动一：多元表征链接，可视化连续过程

1.回到本源，借助学具：教师提问：“76×4表示什么意思？（4个76相加）我们能用什么来帮助理解这个过程？”引导学生想到小棒（7捆零6根，共4份）或计数器。

2.小组合作，模型操作：以计数器为例。小组内合作，在计数器上拨出76（十位7颗珠，个位6颗珠）。思考：如何表示“×4”？

1.3.第一步（个位）：4个6是24。操作：在个位上逐次加6颗珠，满10颗向十位进1，清空个位。个位最终剩4颗，向十位进了2。

2.4.第二步（十位）：原有7颗，加上个位进来的2颗，共9颗。现在要计算4个7（即原本十位代表的7个十），但要注意，此刻计数器上的9颗代表的是90吗？不，它只是“物理计数”，我们需要进行“数学运算”：4个70是280，即28个十。操作：这需要学生在十位上如何操作？这里形成思维关键点。引导学生理解，我们需要在十位上“乘4”：先算7×4=28，表示28个十，再加上已经存在的来自个位的2个十（即进位2），总共是30个十。

3.5.操作模拟：一种方法是将十位现有的9颗珠视为“基数”，然后进行“添上3个9颗珠”的复杂操作。更优的方法是引导学生跳出逐一相加的思维，直接用“7×4+2=30”来理解。教师用课件动画演示：将十位上的7颗珠高亮，乘以4，虚拟出28颗珠，再与旁边标注的进位2颗珠合并，得到30颗珠，满10进1，向百位进3，十位归0。

6.动态竖式与模型同步：交互白板上，将计数器的动态变化与竖式计算76×4的每一步严格对应。特别是用不同颜色标注：

1.7.蓝色：本位相乘的积（如个位4×6=24；十位4×7=28）。

2.8.红色：从前一位进上来的数（如个位向十位进2）。

3.9.紫色：本位“乘加”后的结果（如十位28+2=30）。

4.10.最终，将“30”这个结果，按照数位分解为“本位的0”和“向高位的进3”。

11.语言提炼，归纳算理：学生看着同步演示，用自己的话说出每一步的计算。教师引导归纳：“笔算多位数乘一位数，哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。计算下一位时，千万不要忘记加上前一位进上来的数；加完之后如果又满十，要继续向前进位。”此处的“千万不要忘记”由学生体会后强调，比教师直接告诫更具警示效果。

活动二：对比辨析，抽象共性步骤

出示两个竖式：48×3（不连续进位）和76×4（连续进位）。

1.小组讨论：这两个竖式计算方法上，有什么相同点和不同点？

2.汇报归纳：

1.3.相同点：都是从个位算起；用一位数依次乘多位数的每一位；哪一位乘得的积满几十就向前一位进几；计算下一位时要加进位。

2.4.不同点：48×3只在十位计算时加了一次进位，且加完后未满十，无需再进位。76×4在十位计算时，加完进位后结果（30）又满了十，需要再次向百位进位，形成了“进位链”。

5.思维建模：师生共同总结笔算乘法的“心智算法”：

a.定位启动：从个位起。

b.循环计算：对每一位执行——①乘（一位数×该位数）；②加（加上前一位的进位数）；③判（判断结果是否满十）；④写记（写下个位数字，记下进位数）。

c.高位终结：最高位乘完后，如果还有进位，直接写在积的相应位置上。

教师板书此流程，并类比计算机程序中的“循环结构”，提升思维层次。

设计意图：此阶段是突破难点的核心。通过计数器从“逐一累加”到“按位相乘”的认知跨越，将内在的连续复合运算外化为可视、可操作的步骤。动态链接模型与竖式，实现了算理的形象化。对比分析则帮助学生剥离现象看本质，将连续进位纳入统一的笔算乘法认知框架，完成从具体到抽象的思维建构。

第三阶：分层演练，程序内化——（预计用时：18分钟）

活动一：基础程序巩固——“脚手架”下的规范书写

计算：127×5。

1.独立尝试与“思维留痕”：学生独立计算，但鼓励在竖式旁用极简方式辅助思维。例如：

127

×5

------

5(个位：5×7=35，写5进3)[旁注：+3]

35(十位：5×2=10，加进位3得13，写3进1)[旁注：+1]

163(百位：5×1=5，加进位1得6)

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635

或直接在竖式对应位置上方用铅笔轻轻写下小的进位数字。

2.投影互评，聚焦细节：展示学生作品，重点关注：进位数字的书写位置（是否清晰且不干扰主算式）、连续进位过程中各步骤的完整性、最终积的数位是否正确。强调“好习惯”：进位数字可先写小点，计算下一位时先加它。

3.估算验算，培养数感：计算前，先估算：127≈130，130×5=650，所以积大约在650左右。计算结果635，在合理范围内。

活动二：变式与辨析——“错误病例”会诊

教师出示预设或收集的典型“病例”：

1.病例A（漏加进位）：计算234×4，十位：3×4=12，直接写了2进1，忘记加个位进上来的1。

2.病例B（进位加错位）：计算189×5，百位：1×5=5，把十位进上来的4当成了40，加到了百位上得9。

3.病例C（连续进位中断）：计算658×7，十位：5×7=35，加个位进5得40，写了0，但忘记向百位进4。

4.小组会诊：每组分析1-2个病例，诊断“病因”（是算理不清还是程序失误），并开出“处方”（如何改正及预防）。

5.全班交流：提炼防错口诀，如“眼观本位，心记前进，乘完即加，满十再进”。

活动三：挑战与拓展——“编码”中的连续进位

设计一个跨学科情境：学校图书馆给图书编制数字代码，规则是图书类别号×9得到校验码。已知某类图书的类别号是三位数“365”。

1.任务：请计算该校验码。(365×9)

2.探究：这是一个连续进位次数多、且涉及最高位乘后仍有进位的例子（3×9=27，加十位进5得32，需向前进3，但前面已无数位，需扩展数位）。

3.思考：在计算这类题目时，你有什么新的发现或需要特别提醒自己注意的地方？（最高位的进位要直接作为积的最高位；连续进位次数多，更需要耐心和清晰步骤）

4.延伸：如果类别号是“999”呢？感受连续进位的极致情况。

设计意图：练习设计遵循“巩固—变式—挑战”的逻辑。基础练习强调程序规范和“思维脚手架”的运用；错误辨析将常见问题暴露并转化为学习资源，发展元认知监控能力；挑战性问题则将技能应用于新情境（编码），并触及能力边界，激发探究欲，同时自然渗透数字编码的跨学科知识。

第四阶：总结反思，迁移展望——（预计用时：12分钟）

活动一：绘制“思维地图”，结构化复盘

引导学生以小组为单位，为本节课的核心内容“连续进位笔算乘法”绘制一张简易的思维导图或概念图。中心主题是“连续进位乘法”，分支可以包括：核心算理、计算步骤（程序）、易错点、检验方法（估算）、应用举例、与旧知识（不连续进位）的联系与区别等。通过构图，将零散的知识点系统化、结构化。

活动二：撰写“学习日志”，元认知反思

在学习任务单的“自我反思栏”，用几句话回答：

1.我今天学到的最重要的一点是什么？

2.在计算连续进位乘法时，我最容易在哪个环节出错？我打算用什么策略来避免？

3.我还有哪些疑惑或想进一步探索的问题？（例如：如果是四位数乘一位数连续进位呢？如果乘数中间有0呢？）

活动三：布置分层作业，联通生活

基础作业（必做）：完成练习册相关题目，强调书写规范和估算验算。

拓展作业（选做A）：寻找生活中可能用到连续进位乘法解决的实际问题（如：全家每月节约水费25元，一年大约节约多少？），并尝试解答。

探究作业（选做B）：研究“12345679×9”的倍数计算规律，感受其中连续进位形成的奇妙数字现象，写一份简短的发现报告。

设计意图：总结阶段超越简单的知识回顾，通过思维导图促进知识的结构化存储。学习日志引导学生进行元认知反思，将学习经验内化为个人策略。分层作业尊重个体差异，并将数学与生活、数学趣味探索紧密相连，保持学习的延续性和开放性。

七、板书设计（示意图）

主板书区（左侧）

课题：笔尖上的跃迁——连续进位的笔算乘法

核心算理：哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。计算下一位时，一定要先加前一位的进位数。

心智算法（流程图式）：

开始→从个位算起→【循环：乘→加（进位）→判（满十？）→写（个位）/记（进位）】→最高位算完→有进位则直接写为高位→结束

典例剖析：

127（估算：130×5≈650）

×5

35（个位：5×7=35，写5进3）

130（十位：5×2=10，+3得13，写3进1）

635（百位：5×1=5，+1得6）

635（结果合理）

副板书区（右侧）

1.易错点提示：1.漏加进位。2.进位加错位。3.连续进位中断。

2.防错口诀：眼观本位，心记前进，乘完即加，满十再进。

3.学生探究成果展示区：（用于课堂即时展示学生作品、错误病例分析要点等）

八、教学评一体化设计

1.过程性评价：

1.2.观察：在小组操作、讨论活动中，观察学生的参与度、合作情况以及对算理的语言表述。

2.3.提问：通过阶梯式提