初中数学七年级上册《应用一元一次方程-追赶小明》教学设计

初中数学七年级上册《应用一元一次方程——追赶小明》教学设计一、指导思想与理论依据【核心素养聚焦】本节课的设计秉承“以学生发展为本”的课程改革理念，深度落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于“模型观念”、“应用意识”和“运算能力”的核心素养要求。教学不再局限于知识的单向传授，而是将数学建模视为学生理解世界、解决问题的工具。通过创设贴近学生生活的“追赶小明”这一真实情境，引导学生经历“问题情境——建立模型——求解验证——解释应用”的全过程，使学生在实际背景中理解数量关系，感悟方程是刻画现实世界中等量关系的重要数学模型。教学过程中，强调学生的自主探究与合作交流，鼓励学生从多角度分析问题，发展几何直观和逻辑推理能力，实现从“学会”到“会学”的转变，最终达成数学育人的根本目标。二、教学背景分析（一）教材分析【重要】本节课是北京师范大学出版社义务教育教科书《数学》七年级上册第五章“一元一次方程”第六节的内容。本章是学生首次系统学习方程的起始章节，是算术思维向代数思维跨越的关键一步。此前，学生已经学习了等式的基本性质、解一元一次方程的基本步骤，并初步尝试了利用方程解决简单的实际问题（如形积变化问题）。本节内容“追赶小明”是方程应用中的典型模型——行程问题。它不仅是对前续知识的综合运用和深化，更是后续学习二元一次方程组、不等式、函数等知识解决更复杂运动问题的基础。教材以生动的连环画形式呈现问题，旨在引导学生从图表中获取信息，分析数量关系，体会“线段图”这一分析工具的重要性，为建立方程模型提供直观支撑。（二）学情分析【基础】七年级学生正处于思维发展的关键期，他们具备了一定的生活经验和阅读理解能力，对“速度、时间、路程”这三个量有初步的感性认识。在知识储备上，学生已经能够熟练解一元一次方程，并能解决一些简单的实际问题。然而，他们在思维上仍较多地依赖具体形象，从具体情境中抽象出等量关系并转化为方程模型，是学生面临的重大挑战。具体表现为：①面对多个运动对象和复杂的时间、地点条件时，难以理清运动过程；②对“线段图”作为分析工具的重要性认识不足，习惯于直接套用公式；③在设未知数和找等量关系时，存在盲目性和随意性，缺乏策略性思考。（三）教学方式与手段本节课采用“问题驱动——自主探究——合作交流——归纳提升”的教学模式。以“能否追上小明”这一核心问题驱动学生思考，借助多媒体课件动态演示运动过程，帮助学生建立清晰的表象。同时，鼓励学生动手画线段图，将抽象的文字语言转化为直观的图形语言。通过小组讨论，展示不同解法，让学生在思维碰撞中优化解题策略，感悟数形结合思想。三、教学目标设计（一）知识与技能1.能借助“线段图”分析复杂行程问题中的数量关系，找出等量关系。2.能根据等量关系，正确列出一元一次方程，并解决简单的相遇与追及问题。3.掌握行程问题中基本量之间的关系：路程=速度×时间。（二）过程与方法1.通过自主探究和小组合作，经历“画图——分析——建模——求解”的过程，体会数形结合思想在解决数学问题中的作用。2.在比较不同解法的过程中，提升思维的灵活性和批判性，发展模型观念和应用意识。（三）情感、态度与价值观1.在探索“追赶”问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣和求知欲。2.通过解决实际问题，建立自信心，培养严谨求实的科学态度和勇于探索的理性精神。（四）教学重点与难点【教学重点】通过画线段图，准确分析追及问题中的数量关系，找出等量关系并列方程求解。【教学难点】理解追及问题中“速度差”与“路程差”的关系，以及在不同情境下（如同地不同时、同时不同地）如何寻找等量关系。四、教学过程设计（一）创设情境，引入新知1.情境呈现：教师利用多媒体播放一段校园短片：早晨，小明匆匆离家去学校。他走了5分钟后，爸爸发现他的作业忘在家里了，于是立刻起身去追他。已知小明步行的速度是80米/分，爸爸骑车的速度是180米/分。请问：爸爸能追上小明吗？如果追得上，需要多长时间？2.问题驱动：教师抛出核心问题：“爸爸能追上小明吗？”这一悬念立刻激发了学生的好奇心和探究欲。部分学生可能会凭直觉认为“爸爸骑车快，一定能追上”，但也有学生会考虑“小明已经走了一段时间，是否追得上”。3.初步建模：引导学生思考：“判断能否追上，关键要看什么？”引导学生明确，需要比较从爸爸开始追时，到小明到达学校这段路程内，爸爸能否在小明到校前追上。但学校距离未知，因此问题转化为：从爸爸出发开始，在相同的时间内，爸爸比小明多走的路程能否弥补小明先走的那段距离。从而将生活问题抽象为数学问题。（二）自主探究，构建模型1.活动一：画图分析，理清关系【重要】教师提出要求：“请同学们拿出草稿纸，尝试用画图的方法把刚才的情境表示出来。可以画线段图，并标出已知数据。”学生独立尝试画图，教师巡视指导，选取有代表性的学生作品（如只标数字、有粗略线段、标准规范的线段图）准备展示。2.展示交流，规范画法教师通过实物投影展示不同学生的作品，并引导学生评价：（1）哪幅图能让大家一眼就看明白整个运动过程？为什么？（2）线段图应该包含哪些关键要素？（起点、方向、时间点、速度、路程）在师生互动中，共同总结出规范的线段图画法：用一条直线表示路程，用点表示不同时刻的位置，并标注好所有已知量。师生共同完善线段图：A点（家）——————————C点（追上点）——————————B点（学校？）标注：小明先走5分钟（80米/分），从A到D；爸爸从A点开始追（180米/分）。【难点分解】教师引导学生在图上指出“小明先走的路程”、“爸爸追及的路程”、“小明后走的路程”分别对应图中的哪一段。3.活动二：寻找等量，列出方程（1）小组讨论：结合线段图，小组内讨论“在爸爸追上小明的那一刻，他们之间有什么相等的量？”（2）观点碰撞：学生可能会得出多种结论：①爸爸从家到追上点的距离=小明从家到追上点的距离。②爸爸追及的时间=小明从爸爸出发到被追上的时间。教师进一步追问：“路程相等，但时间相同吗？”引导学生分析：爸爸从家出发追到C点，所用的时间，恰好是小明从家走到C点的时间吗？不是，因为小明已经先走了5分钟。所以，小明从家到C点所用的总时间，比爸爸所用的时间多5分钟。（3）确立等量关系：【核心等量关系】爸爸行驶的路程=小明先走的路程+小明后走的路程。或者从时间角度：小明从家到被追上的时间爸爸从家到被追上的时间=5分钟。（4）列方程求解：解法一（设时间）：设爸爸追上小明用了x分钟。则爸爸行驶的路程为180x米。小明被爸爸追上时，小明一共走的时间为(x+5)分钟，所走路程为80(x+5)米。根据路程相等：180x=80(x+5)解方程：180x=80x+400100x=400x=4答：爸爸追上小明用了4分钟。解法二（设路程）：设爸爸追上小明时行驶了y米。则爸爸所用的时间为y/180分钟。小明从家到追上点所用的总时间为y/80分钟。根据时间关系：y/80y/180=5解方程：(180y80y)/(80×180)=5100y=5×14400y=720然后求时间：720÷180=4（分钟）答：爸爸追上小明用了4分钟。【高频考点】教师引导学生比较两种解法，明确第一种解法设时间更直接、方程更简洁，是解决此类问题的首选方法。同时，肯定第二种解法的思维价值，体现解决问题的多样性。（三）变式拓展，深化理解【热点】教师改变问题条件，引导学生探究不同类型的追及问题。1.变式一：同时不同地情境：小明和爸爸约好一起从家出发去公园。小明先出发，他以80米/分的速度步行。5分钟后，爸爸发现忘带相机，于是立即从家骑车以180米/分的速度去追小明。同时，妈妈也从家开车以200米/分的速度去追小明。请问：妈妈追上小明需要几分钟？谁先追上小明？探究：引导学生画图，分析此时等量关系是否变化。（仍然是路程相等，但时间差变成了妈妈出发时，小明已经走了5分钟。）列方程：设妈妈追上小明用了t分钟。200t=80(t+5)，解得t≈3.33分钟。比较爸爸和妈妈的用时，得出结论。2.变式二：不同地同时情境：小明的学校和家相距1000米。一天，小明以80米/分的速度从家出发去学校。5分钟后，爸爸才意识到小明忘带作业，于是立即从家骑车以180米/分的速度去追小明。请问：爸爸能在小明到达学校之前追上他吗？【难点】这是一个判断性问题。先求出追及时间：设爸爸追上需要x分钟，180x=80(x+5)，解得x=4。此时，爸爸行驶的路程为180×4=720米。而家到学校的距离是1000米。720<1000，所以爸爸能在小明到达学校之前追上他。教师追问：若学校离家只有600米呢？学生计算发现，此时需要追上的距离超过了600米，追不上。从而引导学生理解，追及问题不仅要考虑“时间”，还要考虑“路程范围”，即要在有限的路程内完成追及。3.变式三：相遇问题（逆向思维）情境：一天放学后，小明以80米/分的速度步行回家。同时，爸爸从家出发骑车以180米/分的速度去接他。若学校和家相距1300米，请问他们多长时间后相遇？探究：引导学生画出线段图，此时两人的运动方向是“相对而行”。找出等量关系：小明走的路程+爸爸走的路程=总路程。列方程：设他们t分钟后相遇，80t+180t=1300，解得t=5。通过对比追及与相遇，强化学生对运动过程中等量关系的辨析能力。（四）巩固练习，内化方法【基础】学生独立完成教材中的随堂练习和习题，教师巡视，个别指导。练习1：小兵和小明每天早晨坚持跑步，小兵每秒跑4米，小明每秒跑6米。如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？练习2：小兵和小明每天早晨坚持跑步，小兵每秒跑4米，小明每秒跑6米。如果小明站在百米跑道的起点处，小兵站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小兵？要求：先画线段图，再列方程解答。完成后，同桌互相批改，交流画图心得。（五）课堂小结，反思提升1.知识层面：本节课我们学习了用什么知识解决了什么问题？（应用一元一次方程解决行程问题中的追及和相遇问题）。2.方法层面：我们是用什么工具来帮助我们分析问题的？（线段图）。画线段图时要注意什么？（标注方向、时间、速度、路程等关键信息）。3.思想层面：我们体会到了哪些数学思想？（数形结合思想、模型思想）。4.困惑与思考：在解决追及问题时，最关键的一步是什么？（找出等量关系）。你还有哪些疑问？（六）布置作业，拓展延伸1.基础作业：完成课后习题第1、2、3题。2.实践作业：请同学们观察生活中的运动现象（如田径比赛中的套圈、车辆行驶等），编一道追及问题或相遇问题，并尝试用线段图分析和解答。下节课分享你的“数学日记”。3.拓展作业（选做）：思考“环形跑道上的追及问题”。甲、乙二人在400米环形跑道上练习长跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒。两人同时、同地、同向出发，经过多长时间两人第一次相遇？此时甲比乙多跑了多少米？如果两人同时、同地、反向出发，经过多长时间两人第一次相遇？五、板书设计§5.6应用一元一次方程——追赶小明一、行程问题基本公式：路程=速度×时间s=vt二、追及问题（同向而行）：1.同地不同时：线段图：（家）A———D（小明先走）———C（追上点）等量关系：快者路程=慢者先走路程+慢者后走路程或：慢者总时间快者时间=时间差2.同时不同地：线段图：等量关系：快者路程=慢者路程+初始距离三、相遇问题（相向而行）：线段图：等量关系：甲路程+乙路程=总路程四、例题解析：设爸爸追上小明用了x分钟。180x=80(x+5)解方程：……x=4答：……六、教学反思本节课的设计，力求在课程改革理念的指引下，将核心素养的培养贯穿始终。1.情境创设的有效性：以学生熟悉的“追赶”生活情境切入，迅速拉近了数学与学生的距离，激发了探究欲望。从“能否追上”的直觉判断，到“需要多长时间”的精确计算，引导学生完成了从定性到定量的思维跨越。2.工具意识（数形结合）的培养：将“画线段图”作为本节课的核心技能进行强化训练。从学生初次尝试的混乱，到师生共同规范画法，再到多次运用线段图分析变式问题，学生逐步体会到了“图”是分析复杂数量关系的“拐杖”，是通向方程的桥梁。这一过程有效地发展了学生的几何直观。3.模型思想的渗透：通过“原型探究——变式辨析——巩固应用”的教学链条，学生不仅掌握了追及问题的标准解法，更在“同地不同时”、“同时不同地”、“相遇问题”的对比中，深刻理解了方程模型的核心在于找到那个恒定不变的等量关系，而非死记硬背公式。这有助于学生形成灵活的模型观念，避免思维定势。4