初中数学八年级上册：因式分解的进阶策略-十字相乘法与分组分解法教学设计

初中数学八年级上册：因式分解的进阶策略——十字相乘法与分组分解法教学设计

  一、设计理念与依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于发展学生的数学核心素养，特别是数学抽象、逻辑推理和数学运算能力。因式分解作为整式恒等变形的核心工具，是从算术思维向代数思维跃迁的关键节点，其价值远不止于解方程，更在于培养结构化思考与问题化归的能力。传统的教学往往将“十字相乘法”与“分组分解法”作为孤立的技巧进行传授，导致学生陷入“记忆公式、模仿步骤”的浅层学习，难以触及方法的本质与内在联系。

  本设计秉持“大概念”与“结构化”教学理念，致力于打破方法的壁垒。我们将“十字相乘法”与“分组分解法”视为实现“将多项式转化为整式乘积”这一共同目标的有机整体与协同策略。教学以真实、复杂、富有挑战性的问题情境为驱动，引导学生在自主探索、合作辨析中，经历“观察结构—分析特征—选择策略—实施分解—验证反思”的完整数学活动过程。通过深度追问“为什么可以这样分解？”“方法的原理是什么？”“何时选择此种方法？”，促使学生从“会操作”上升到“懂原理”，从“懂原理”升华到“善选择”，最终建构起关于因式分解方法的系统性、条件化的认知网络，实现从“知识掌握”到“思维发展”的跨越，为后续学习分式运算、一元二次方程、二次函数等核心内容奠定坚实且灵活的代数基础。

  二、学情分析

  本课的教学对象是八年级上学期的学生。在知识储备上，他们已经熟练掌握了整式的乘除运算，特别是多项式乘多项式的法则，并初步学习了因式分解的基本概念，以及提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。这构成了学习新方法的逻辑起点。然而，在认知层面，多数学生仍处于由具体运算向抽象推理过渡的阶段，他们对代数式的“结构”观察力尚弱，对方法的选择缺乏清晰的判断依据，常常面对一个多项式时感到无从下手或盲目尝试。

  在思维特点上，此阶段学生具备了一定的归纳和类比能力，但批判性思维与反思性思维有待加强。他们可能满足于得到一个正确的分解结果，却很少深入思考“为什么这种分组方式是有效的，而另一种是无效的？”“十字相乘的‘凑’的本质是什么？”。在情感态度方面，因式分解的多样性和灵活性既可能激发学生的探究兴趣，也可能因一时的不成功而产生挫败感。因此，教学设计必须精心搭建“脚手架”，设计有梯度的任务序列，提供充分的探索时间和合作交流空间，让学生在“跳一跳，够得着”的成功体验中，逐步建立自信，并享受逻辑推理与结构发现带来的智力愉悦。

  三、教学目标

  基于以上分析，设定以下三维教学目标：

  1.知识与技能：

  （1）理解十字相乘法的原理，并能熟练运用十字相乘法分解形如a

x

2

+

b

x

+

c

ax^2+bx+c

ax2+bx+c（其中a

a

a、b

b

b、c

c

c为常数，且a

≠

0

a\neq0

a=0）的二次三项式，特别是当二次项系数不为1时的情形。

  （2）理解分组分解法的原则与策略，掌握“分组后能提公因式”和“分组后能运用公式”两种基本模式，并能根据多项式的项数和结构特征，灵活选择分组方式。

  （3）能够综合运用提取公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法，对较为复杂的多项式进行因式分解，形成因式分解的基本技能体系。

  2.过程与方法：

  （1）经历从具体多项式乘法逆运算的角度探究十字相乘法原理的过程，体会“由因导果”与“执果索因”的互逆思维，发展逆向思维能力。

  （2）通过对比分析不同分组方式的优劣与成败，经历“尝试—反思—优化”的探究循环，提升对多项式整体与局部结构的观察、分析与决策能力。

  （3）在解决复杂因式分解问题的过程中，体验“先观察整体结构，再选择分解策略，后实施具体操作，最后检验优化”的系统化问题解决流程，学会制定解题计划。

  3.情感态度与价值观：

  （1）在探究新方法的过程中，感受数学知识之间的内在联系（如乘法与分解的互逆、数形结合思想），体会数学的统一性与和谐美。

  （2）通过克服分解策略选择中的困难，培养不畏挑战、严谨求实、反思优化的科学态度和精神。

  （3）在小组合作学习中，学会倾听、表达与协作，增强数学交流的能力与信心。

  四、教学重点与难点

  教学重点：

  1.十字相乘法分解二次项系数不为1的二次三项式的原理与操作步骤。

  2.分组分解法的分组原则与策略选择。

  教学难点：

  1.十字相乘法中“十字交叉验证”的算理理解，尤其是系数的拆分与组合逻辑。

  2.面对项数较多（四项或以上）、结构不明显的多项式时，如何创造性地进行分组，即分组分解法策略的灵活运用与综合决策。

  3.多种分解方法的综合运用与有序操作，避免重复或遗漏。

  五、教学资源与环境准备

  1.教师准备：精心设计的《导学案》（包含探究性问题、分层例题与变式训练、思维导图构建区）、多媒体课件（动态演示十字相乘原理、展示多项式结构变化）、实物投影仪或希沃白板等交互设备。

  2.学生准备：复习多项式乘法法则和已学的因式分解方法，准备课堂练习本。

  3.环境准备：教室桌椅按四人或六人小组布局，便于合作讨论。黑板/白板划分区域，用于展示核心原理、学生生成的不同解法及思维脉络图。

  六、教学实施过程

  （一）情境唤醒，问题驱动（预计用时：10分钟）

  活动1：挑战引入，制造认知冲突

  教师在大屏幕呈现两个多项式：

  多项式A：6

x

2

+

7

x

−

3

6x^2+7x-3

6x2+7x−3

  多项式B：a

x

+

a

y

+

b

x

+

b

y

ax+ay+bx+by

ax+ay+bx+by

  提问学生：“请尝试对这两个多项式进行因式分解。”

  学生已有的知识储备（提公因式法、公式法）在面对这两个多项式时会立刻失效。对于A，它不符合公式法的形式，也没有公因式可提；对于B，虽然有公因式，但并非整体公因式。这一挑战将迅速引发学生的认知冲突，激发强烈的求知欲。

  教师适时引导：“看来，我们已有的工具不足以解决所有问题。数学就是在不断面对新问题、创造新工具中发展的。今天，我们就将学习两种新的、强大的‘工具’，来攻克这些堡垒。它们就是——十字相乘法和分组分解法。”

  活动2：追溯本源，建立方法联系

  教师追问：“我们学习因式分解，本质上是学习什么？”（整式乘法的逆运算）。随后出示一个已分解的二次三项式乘法：(

2

x

+

3

)

(

3

x

−

1

)

=

6

x

2

+

7

x

−

3

(2x+3)(3x-1)=6x^2+7x-3

(2x+3)(3x−1)=6x2+7x−3。

  引导学生观察等式左右两边的结构关系：“右边正是我们刚才无法分解的多项式A。如果我们知道左边两个一次因式相乘得到它，分解就完成了。但问题是我们不知道左边。我们能否从右边的系数6

,

7

,

−

3

6,7,-3

6,7,−3，逆向‘还原’出左边的两个系数组合呢？”由此，自然引出了十字相乘法的核心思想——通过系数的拆分与交叉组合，重构出两个一次因式。对于多项式B，则引导学生观察项的特点：“这个多项式有四项，能否通过‘分组’，将其转化为我们熟悉的两项式或三项式来处理？”从而引出分组分解法的基本思路。

  设计意图：从学生现有能力的“痛点”出发，创设真实的问题情境，使新方法的学习成为解决迫切问题的内在需要，而非外部灌输。通过追溯乘法本源，将新方法牢固建立在学生已有的认知结构（整式乘法）之上，体现了知识的发生过程。

  （二）探究新知，建构原理（预计用时：35分钟）

  第一部分：十字相乘法的深度探究

  环节1：从特殊到一般，归纳原理

  教师引导学生聚焦一般形式的二次三项式：a

x

2

+

b

x

+

c

ax^2+bx+c

ax2+bx+c。假设它可以分解为(

p

x

+

q

)

(

m

x

+

n

)

(px+q)(mx+n)

(px+q)(mx+n)，那么有：p

m

=

a

pm=a

pm=a，q

n

=

c

qn=c

qn=c，且p

n

+

q

m

=

b

pn+qm=b

pn+qm=b。

  利用多媒体工具，动态演示“十字交叉”的过程：将a

a

a分解为p

p

p和m

m

m的乘积，竖着写在左侧；将c

c

c分解为q

q

q和n

n

n的乘积，竖着写在右侧；交叉相乘得到p

n

pn

pn和q

m

qm

qm，它们的和恰好等于一次项系数b

b

b。这个动态的“凑”的过程，将抽象的代数关系可视化、操作化。

  学生通过《导学案》上的几个具体例子（如x

2

+

5

x

+

6

x^2+5x+6

x2+5x+6，2

x

2

−

5

x

−

3

2x^2-5x-3

2x2−5x−3）进行尝试，亲身体验拆分、尝试、验证、调整的过程。教师巡视指导，关注学生尝试中的困惑，如“如何拆分系数？”、“尝试多少次是合理的？”。

  环节2：策略化思考，提炼步骤

  在充分体验的基础上，教师组织学生小组讨论并总结十字相乘法的操作步骤与思考要点：

  第一步：观察分析。确认是二次三项式，且通常按降幂排列。

  第二步：分解系数。分解二次项系数a

=

a

1

×

a

2

a=a_1\timesa_2

a=a1​×a2​；分解常数项c

=

c

1

×

c

2

c=c_1\timesc_2

c=c1​×c2​。这里的关键是理解分解的多重可能性，需要系统有序地尝试。

  第三步：交叉验证。计算交叉乘积之和a

1

c

2

+

a

2

c

1

a_1c_2+a_2c_1

a1​c2​+a2​c1​，检查是否等于一次项系数b

b

b。

  第四步：定向书写。若验证成功，则按行写出因式：(

a

1

x

+

c

1

)

(

a

2

x

+

c

2

)

(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)

(a1​x+c1​)(a2​x+c2​)，注意符号。

  教师特别强调其中的策略思想：当a

a

a和c

c

c的因数组合较多时，如何高效尝试？可以引导学生先确定常数项c

c

c的符号分解，或优先考虑使交叉和接近b

b

b的组合，培养优化思维。

  环节3：变式与辨析，深化理解

  出示一组辨析题：

  ①3

x

2

+

11

x

+

10

3x^2+11x+10

3x2+11x+10

  ②3

x

2

−

11

x

+

10

3x^2-11x+10

3x2−11x+10

  ③3

x

2

+

x

−

10

3x^2+x-10

3x2+x−10

  ④3

x

2

−

x

−

10

3x^2-x-10

3x2−x−10

  要求学生独立完成，并重点讨论符号处理这一难点。通过对比，让学生深刻体会到常数项的符号分解决定了交叉和可能的结果，而一次项系数的符号则指导着我们选择哪一组符号组合。这是从机械操作迈向理解性操作的关键一步。

  第二部分：分组分解法的策略探究

  环节1：从简单案例中领悟“分组”的精髓

  回到引入时的多项式B：a

x

+

a

y

+

b

x

+

b

y

ax+ay+bx+by

ax+ay+bx+by。

  提问：“观察四项，它们在字母组成上有何特点？”引导学生发现前两项都有a

a

a，后两项都有b

b

b。那么，如果分成两组：(

a

x

+

a

y

)

+

(

b

x

+

b

y

)

(ax+ay)+(bx+by)

(ax+ay)+(bx+by)，每组内部就可以提取公因式，得到a

(

x

+

y

)

+

b

(

x

+

y

)

a(x+y)+b(x+y)

a(x+y)+b(x+y)。此时，神奇的事情发生了：整个式子出现了新的公因式(

x

+

y

)

(x+y)

(x+y)。教师在此处要用强调的语气和板书，突出这个“新生公因式”的出现，是分组成功的标志。

  引导学生归纳分组分解法的第一个基本模式：分组后能提取公因式。其核心策略是“局部提取，创造整体”。

  环节2：探索分组模式的多样性

  出示新多项式：x

2

−

y

2

+

2

x

+

1

x^2-y^2+2x+1

x2−y2+2x+1。

  学生可能会尝试不同的分组方式。例如，将x

2

+

2

x

+

1

x^2+2x+1

x2+2x+1分在一起，恰好是一个完全平方式；再与−

y

2

-y^2

−y2组合，形成平方差公式的结构。由此归纳出第二个基本模式：分组后能运用公式。

  进一步挑战：对于四项式a

2

−

b

2

+

2

b

c

−

c

2

a^2-b^2+2bc-c^2

a2−b2+2bc−c2，如何分组？引导学生观察，后三项−

b

2

+

2

b

c

−

c

2

=

−

(

b

2

−

2

b

c

+

c

2

)

=

−

(

b

−

c

)

2

-b^2+2bc-c^2=-(b^2-2bc+c^2)=-(b-c)^2

−b2+2bc−c2=−(b2−2bc+c2)=−(b−c)2，从而与第一项a

2

a^2

a2构成平方差公式。这个例子强调了分组不一定平均，有时需要“拆”或“凑”，更需要敏锐的公式识别能力。

  环节3：策略提炼与决策框架

  组织学生小组讨论：面对一个多项式，决定是否使用以及如何使用分组分解法的思考路径是什么？师生共同构建决策框架：

  1.看项数：通常四项或以上考虑分组。

  2.观结构：

    *寻找直接的公因式（贯穿所有项）。若有，直接提取公因式法优先。

    *寻找局部公因式或公式结构。尝试不同的分组组合（通常两两分组，有时三一分组）。

  3.试分组：尝试一种分组方式，看分组后各组内部能否进行因式分解（提公因式或套公式）。

  4.验整体：各组分解后，看整个式子是否出现新的公因式或新的公式结构。若有，则继续分解；若无，则尝试其他分组方式。

  教师强调：分组是手段，不是目的。分组的最终目标是使整个多项式能继续分解下去。

  设计意图：新知探究部分摒弃“教师讲解、学生模仿”的旧模式，采用“问题引导—探究体验—策略提炼—变式深化”的探究式教学。对十字相乘法，重在揭示其作为乘法逆运算的代数原理，并将操作步骤提升为策略性思考。对分组分解法，则通过典型案例分析，引导学生发现分组的内在逻辑（创造新的公共结构），并构建方法选择的决策框架，培养学生的元认知能力。

  （三）融会贯通，综合应用（预计用时：25分钟）

  活动1：方法辨析与选择

  呈现一组多项式，要求学生先独立思考选用哪种方法作为“第一刀”，并说明理由，然后再动笔分解。例如：

  1.12

x

2

y

−

3

x

y

2

12x^2y-3xy^2

12x2y−3xy2（提公因式法优先）

  2.x

4

−

16

x^4-16

x4−16（公式法优先）

  3.x

2

−

4

x

+

4

−

y

2

x^2-4x+4-y^2

x2−4x+4−y2（先分组？先整体看公式？引导学生发现可先前三项结合成完全平方，再与−

y

2

-y^2

−y2构成平方差）

  4.2

x

2

+

4

x

+

2

−

2

y

2

2x^2+4x+2-2y^2

2x2+4x+2−2y2（先提取公因式2，再对括号内进行分组分解）

  此活动旨在训练学生的“方法优先序”意识：一“提”（公因式）、二“套”（公式）、三“十字”、四“分组”。但顺序并非绝对，需要灵活应变。

  活动2：复杂问题的分解流程实战

  例题：分解因式(

x

2

+

3

x

)

2

−

(

2

x

+

6

)

2

(x^2+3x)^2-(2x+6)^2

(x2+3x)2−(2x+6)2。

  教师引导学生展开完整的分析性对话：

  师：“第一眼看到这个多项式，整体结构有什么特点？”（学生可能发现它是两个式子的平方差）。

  师：“非常好！那么我们的‘第一刀’用什么？”（平方差公式）。

  师：“应用平方差公式后，得到什么？”[

(

x

2

+

3

x

)

+

(

2

x

+

6

)

]

[

(

x

2

+

3

x

)

−

(

2

x

+

6

)

]

[(x^2+3x)+(2x+6)][(x^2+3x)-(2x+6)]

[(x2+3x)+(2x+6)][(x2+3x)−(2x+6)]。

  师：“现在得到了两个因式的乘积。因式分解完成了吗？”（没有，每个括号内还可以继续分解）。

  师：“请分别观察两个括号内的多项式。第一个括号：x

2

+

5

x

+

6

x^2+5x+6

x2+5x+6，如何分解？”（十字相乘法）。

  师：“第二个括号：x

2

+

x

−

6

x^2+x-6

x2+x−6，如何分解？”（十字相乘法）。

  师：“最后，检查结果中是否有公因式可以提取或合并？”（没有，分解完成）。

  通过这个例题的师生协同分析，完整展示解决一个复杂因式分解问题的系统性思考流程：整体观察→选择策略→逐步分解→分解彻底→整理结果。随后，让学生独立完成几个类似复杂度的练习，如(

a

2

+

1

)

2

−

4

a

2

(a^2+1)^2-4a^2

(a2+1)2−4a2，强化该流程。

  活动3：合作挑战与创意发散

  以小组为单位，挑战更具综合性和灵活性的题目，例如分解x

3

+

3

x

2

−

4

x

−

12

x^3+3x^2-4x-12

x3+3x2−4x−12。这是一个三次四项式，无法直接套用已有公式。学生需要在小组内brainstorming不同的分组思路：（x

3

+

3

x

2

x^3+3x^2

x3+3x2）和（−

4

x

−

12

-4x-12

−4x−12）？还是（x

3

−

4

x

x^3-4x

x3−4x）和（3

x

2

−

12

3x^2-12

3x2−12）？通过尝试、辩论、验证，最终找到成功的分组方式。教师在此过程中扮演顾问角色，鼓励学生大胆尝试，并从失败的分组中分析原因。各组将本组的解法与思路分享到全班，比较不同解法的优劣与巧妙之处。

  设计意图：综合应用环节是培养学生高阶思维的关键。通过“辨析选择”训练决策力，通过“流程实战”训练系统思考力，通过“合作挑战”训练创造性与批判性思维。将孤立的技巧练习，转化为在真实、复杂问题情境中运用策略、管理认知的过程，实现知识向能力的转化。

  （四）反思总结，体系内化（预计用时：10分钟）

  活动1：个人知识图谱构建

  要求学生暂停笔头练习，在《导学案》的思维导图区或笔记本上，以“因式分解”为中心词，自主绘制本课所学内容的知识与方法结构图。需要包括：已学的所有方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法），每种方法的适用特征、关键步骤、注意事项，以及方法之间的关联（如分组分解法常常需要内部使用其他方法）。教师提供框架提示，但鼓励个性化呈现。

  活动2：课堂聚焦分享与提炼

  请几位学生展示并讲解自己构建的知识图谱。教师利用实物投影，选取有代表性的作品进行点评，并在此基础上，师生共同梳理、完善，在黑板上形成一幅班级共识的、结构清晰的“因式分解方法战略图”。这张图不仅罗列方法，更要体现选择方法的决策路径和综合问题的解决流程。

  活动3：核心思想升华

  教师进行总结性陈述，超越具体方法，指向数学思想：“同学们，今天我们学习了两项新技能，但更重要的是，我们经历了一场思维的训练。无论是十字相乘中的‘拆分与重组’，还是分组分解中的‘化整为零、创造联系’，其背后都闪烁着一种伟大的数学思想——转化与化归。我们总是设法把陌生、复杂的问题，转化为我们熟悉、简单的问题来解决。这就是数学的力量，也是你们未来解决任何领域问题时可以迁移的智慧。请记住，方法有尽，而思想无穷。”

  设计意图：反思总结不是简单复述知识点，而是促进学生进行元认知加工，将零散的知识点整合成有意义的网络，实现结构化存储。通过构建个人图谱和班级共识图，将内隐的思维过程外显化。最后的升华，将数学学习从“术”的层面提升到“道”的层面，落实情感态度价值观目标，并为学生的长远发展注入思想动力。

  （五）分层作业，延伸拓展

  A层（基础巩固）：

  1.用十字相乘法分解因式：①2

x

2

+

9

x

−

5

2x^2+9x-5

2x2+9x−5；②6

a

2

−

7

a

b

−

5

b

2

6a^2-7ab-5b^2

6a2−7ab−5b2。

  2.用分组分解法分解因式：①a

m

−

b

m

+

a

n

−

b

n

am-bm+an-bn

am−bm+an−bn；②x

2

−

2

x

y

+

y

2

−

9

x^2-2xy+y^2-9

x2−2xy+y2−9。

  B层（能力提升）：

  1.综合分解：①3

a

x

2

−

6

a

x

y

+

3

a

y

2

3ax^2-6axy+3ay^2

3ax2−6axy+3ay2；②(

x

2

−

4

x

)

2

+

8

(

x

2

−

4

x

)

+

16

(x^2-4x)^2+8(x^2-4x)+16

(x2−4x)2+8(x2−4x)+16。

  2.若多项式x

2

+

k

x

−

15

x^2+kx-15

x2+kx−15能分解为(

x

+

5

)

(

x

−

3

)

(x+5)(x-3)

(x+5)(x−3)，求常数k

k

k的值。并思考，十字相乘法在这里如何帮助你理解k

k

k与常数项因数的关系？

  C层（探究拓展）：

  1.（跨学科联系）在物理学中，已知匀变速直线运动的位移公式为s

=

v

0

t

+

1

2

a

t

2

s=v_0t+\frac{1}{2}at^2

s=v0​t+21​at2。若某物体运动满足s

=

2

t

2

+

8

t

s=2t^2+8t

s=2t2+8t，请尝试将右边因式分解，并思考分解后的形式可能具有什么物理意义？（提示：提取公因式后，与运动学公式对比）

  2.（数学探究）查阅资料或自主探究“双十字相乘法”（适用于某些二元二次多项式的因式分解），并尝试用它分解2

x

2

+

5

x

y

+

2

y

2

+

7

x

+

5

y

+

3

2x^2+5xy+2y^2+7x+5y+3

2x2+5xy+2y2+7x+5y+3。写一份简短的探究报告，说明其原理与步骤。

  设计意图：作业设计体现分层与选择性，满足不同层次学生的发展需求。A层夯实基础，B层注重综合与逆向思维，C层提供跨学科联系和探究性课题，激发学有余力学生的兴趣，培养其自主学习与探究能力。

  七、教学评价与反馈设计

  本课的评价贯穿于教学全过程，采用多元评价方式：

  1.过程性评价：通过课堂观察，记录学生在探究活动中的参与度、提出问题的质量、小组合作中的贡献、思维表达的清晰度等。通过《导学案》的完成情况，实时了解学生对原理的理解程度和解题思路。

  2.表现性评价：在“合作挑战”环节，对各小组的解题方案、合作过程、成果展示进行评价。评价标准不仅关注答案的正确性，更关注策略的合理性、方法的创新性和团队协作的有效性。

  3.成果性评价：通过分层作业的完成情况，评估学生知识技能的掌握水平。特别关注在复杂问题中，学生是否展现出有序的思考流程和灵活的方法选择能力。

  4.发展性评价：鼓励学生进行自我评价和同伴互评。在课堂总结时，可以设计“今天我最大的收获是……”、“我仍然感到困惑的是……”、“同伴的哪种思路对我最有启发？”等反思性问题，促进学生元认知发展。教师根据这些反馈，及时调整后续教学节奏与重点。

  八、板书设计（纲要）

  主板书区（左侧）：

  课题：因式分解的进阶策略

  一、十字相乘法

  原理：(

p

x

+

q

)

(

m

x

+

n

)

=

p

m

x

2

+

(

p

n

+

q

m

)

x

+

q

n

(px+q)(mx+n)=pmx^2+(pn+qm