第11章 一元一次不等式（13类题型突破）【苏科】七下数学专题复习

第十一章一元一次不等式（13类题型突破）题型一根据题意列不等式例题：（23·24八年级上·浙江温州·期末）“的两倍与3的和大于2”用不等式表示为______．变式训练1．（23·24八年级上·浙江湖州·期末）“的3倍与2的和小于8”可列不等式为______．2．（23·24八年级上·湖南株洲·期末）根据“x的两倍与3的和大于9”可列不等式为____________．3．（22·23七年级下·全国·课时练习）用不等式表示：（1）不等于0：__________；（2）与2的差小于：__________；（3）与的2倍的和是正数：__________．题型二不等式的解集例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个变式训练1．（2023下·全国·八年级假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（

）A．4 B．2 C．0 D．2．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、题型三不等式的基本性质例题：（23·24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若，则下列说法不一定正确的是（

）A． B． C． D．变式训练1．（23·24八年级上·山东济南·期末）如果，那么下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．2．（23·24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则下列各式中一定成立的是（）A． B． C． D．3．（23·24七年级上·吉林长春·期末）下列不等式的变形正确的是（

）A．若，则 B．若，且，则C．若，则 D．若，则题型四一元一次不等式的辨别例题：（22·23七年级下·山东济宁·阶段练习）下列式子：；；；，是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式训练1．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（

）个．A．3 B．4 C．5 D．62．（22·23八年级下·陕西西安·阶段练习）下列式子：①；②；③；④中，是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（22·23八年级上·陕西西安·期末）在，，，，，，是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型五求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集例题：（22·23七年级下·重庆江津·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：变式训练1．（22·23七年级下·四川泸州·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．

2．（23·24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．3．（23·24八年级上·浙江嘉兴·期末）解不等式，并把解在数轴上表示出来．4．（23·24七年级下·全国·假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)； (2)．题型六求一元一次不等式的整数解例题：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）不等式的正整数解是_______．变式训练1．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式的正整数解是_____．2．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）不等式的所有正整数解的和为_________．题型七用一元一次不等式的解决实际问题例题：（2023下·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植A，B两种品种的牡丹，A、B两种牡丹每棵的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，求最少要购买A种牡丹多少棵？变式训练1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商店购进甲、乙两种品牌的文具，若购进甲种文具20件，乙种文具30件，共需要400元；若购进甲种文具10件，乙种文具5件，共需要100元．(1)求该商店购进甲、乙两种品牌的文具每件各需要多少元？(2)若该商店准备购进甲、乙两种品牌的文具共100件，且总预算费用不超过800元，那么该商店最多可购进乙种品牌的文具多少件？2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．(1)该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？(2)机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？题型八一元一次不等式组的定义例题：（2023下·七年级课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．变式训练1．（2022下·七年级单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（）A． B． C． D．2．（2023上·浙江·八年级专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型九求一元一次不等式组的解集例题：（23·24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）解不等式组，并在数轴上表示这个不等式组的解集．变式训练1．（23·24八年级下·黑龙江大庆·开学考试）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．2．（22·23七年级下·重庆江津·阶段练习）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．3．（2024八年级下·全国·专题练习）解下面的不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：(1)； (2)．题型十求一元一次不等式组的整数解例题：（2024上·湖南永州·八年级统考期末）解不等式组，并求其整数解．变式训练1．（2023上·湖南娄底·八年级统考期末）解不等式组，并把所有的整数解写出来．2．（2023下·甘肃天水·七年级校考期末）解不等式组：．（注：必须通过画数轴求解集）并写出该不等式组的最小整数解．题型十一解一元一次不等式组中错解复原问题例题：（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：由①得：...............................................第1步...................................................第2步..............................................................第3步....................................................................第4步任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．变式训练1．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）下面是小东同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．解：由不等式①，得．…………...第一步解得．……...第二步由不等式②，得．…….第三步移项，得．

……….....第四步解得．………第五步所以，原不等式组解集是．…………...第六步(1)小东的解答过程中，第______；步开始出现错误，他错误的原因是_____________；(2)第三步的依据是_____________________；任务二：(3)直接写出这个不等式组的解集：______．题型十二列一元一次不等式组例题：（2023下·福建三明·八年级统考期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（）A． B．C． D．变式训练1．（2022上·浙江宁波·八年级统考期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（）A． B．C． D．2．（2023·全国·七年级假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为()A． B．C． D．题型十三用一元一次不等组的解决实际问题例题：（2024上·浙江宁波·八年级校联考期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．(1)求A模型和B模型的单价．(2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．变式训练1．（2024上·浙江·八年级统考期末）学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元．(1)求通道闸机和门禁机的单价．(2)已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？2．（22·23七年级下·内蒙古通辽·期末）在疫情期间，重庆某医药公司往武汉运送医药物资，若用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨；用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨根据以上信息，解答下列问题：(1)通过列方程组求出：辆型车辆和辆型车辆都装满物资一次分别运多少吨？(2)该医药公司准备将一批医药物资一次性运输至武汉，于是从租车公司租用了和两种型号车辆共辆，其中型车辆每辆要付费元，型车辆每辆要付费元，若付费总金额不超过元，且物资不少于吨，请问怎么安排车辆总费用最少？3．（23·24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）某网上商城“双11”促销政策如下：购物标价优惠不满500打八折满500打六折小周已经挑选了标价400元的商品，需要付钱320元，若小周再挑选价格为100元的商品为自己凑单到500元，最后只要付钱300元．(1)妈妈也挑选了价格为a元为整数）的商品，小周发现，自己挑选的400元商品和妈妈的商品一起购买支付，付的价格不足500元，求a的最大值．(2)小周发现有时候凑单能使价格更便宜，若小周还是自己为自己挑选的400元商品付钱，她想通过凑单获得实惠，但希望最后付钱不超过320元，那么她可以再挑选的凑单商品的价格取值范围是多少？

第十一章一元一次不等式（13类题型突破）答案全解全析题型一根据题意列不等式例题：（23·24八年级上·浙江温州·期末）“的两倍与3的和大于2”用不等式表示为______．【答案】【分析】本题考查了列不等式．的两倍为，大于即“”，据此列不等式．【详解】解：由题意得，．故答案为：．变式训练1．（23·24八年级上·浙江湖州·期末）“的3倍与2的和小于8”可列不等式为______．【答案】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确列出不等关系是解题关键．【详解】解：由题意可得：．故答案为：．2．（23·24八年级上·湖南株洲·期末）根据“x的两倍与3的和大于9”可列不等式为____________．【答案】【分析】本题考查了列一元一次不等式，先求乘积，再就和，最后列不等式即可．【详解】“x的两倍与3的和大于9”可列不等式为，故答案为：．3．（22·23七年级下·全国·课时练习）用不等式表示：（1）不等于0：__________；（2）与2的差小于：__________；（3）与的2倍的和是正数：__________．【答案】【解析】略题型二不等式的解集例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；B、∵，故错误，不符合题意；C、正确，符合题意；D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．变式训练1．（2023下·全国·八年级假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（

）A．4 B．2 C．0 D．【答案】A【解析】略2．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；C选项，的解集是，解不等式得，故正确；D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误．故选：D．【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．题型三不等式的基本性质例题：（23·24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若，则下列说法不一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可．【详解】解：∵，A、，故本选项一定成立，不符合题意；B、，故本选项一定成立，不符合题意；C、，当时，不成立，故本选项不一定成立，符合题意；D、，故本选项一定成立，不符合题意；故选：C．变式训练1．（23·24八年级上·山东济南·期末）如果，那么下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质对各选项进行判断作答即可．【详解】解：∵，∴，，，无法判断的大小关系，∴A、B、C错误，故不符合要求；D正确，故符合要求；故选：D．2．（23·24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则下列各式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可．【详解】解：∵，∴，故A不符合题意；∵，，故B符合题意；当时，，故C不符合题意；∵，∴，故D不符合题意，故选：B．3．（23·24七年级上·吉林长春·期末）下列不等式的变形正确的是（

）A．若，则 B．若，且，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行分析即可．【详解】解：A、若，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；B、若，且，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；C、若，当时，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；D、若，由题分析得，不等式两边同时除以正数，则，原变形正确，故此选项符合题意．故选：D．题型四一元一次不等式的辨别例题：（22·23七年级下·山东济宁·阶段练习）下列式子：；；；，是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐个判断即可．【详解】解：，不含未知数，不是一元一次不等式；，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式；，含有两个未知数，不是一元一次不等式；，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；∴一元一次不等式有：(2)，只有1个，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，不等式的左右两边只含有同一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．变式训练1．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（

）个．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可．【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意；②，属于一元一次不等式，符合题意；③，属于一元一次不等式，符合题意；④，属于一元二次不等式，不合题意；⑤属于方程，不合题意；⑥，属于一元一次不等式，符合题意．综上所述，一元一次不等式有3个．故本题选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键．2．（22·23八年级下·陕西西安·阶段练习）下列式子：①；②；③；④中，是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐个判断即可．【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式；②，是一元一次不等式；③，含有两个未知数，不是一元一次不等式；④，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；∴一元一次不等式有1个，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，不等式的左右两边只含有同一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．3．（22·23八年级上·陕西西安·期末）在，，，，，，是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．【详解】解：是一元一次不等式的有：，共有2个．故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．题型五求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集例题：（22·23七年级下·重庆江津·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：【答案】，数轴见解析【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示解集，先按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可．【详解】解：去分母得：去括号得：移项得：合并得：系数化为1：，表示在数轴上如下：变式训练1．（22·23七年级下·四川泸州·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】，数轴见解析【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集是解题的关键．先去分母、去括号，然后移项合并，最后系数化为1可求不等式的解集，最后在数轴上表示解集即可．【详解】解：，，，，，解得，，在数轴上表示解集如下；

2．（23·24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析．【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式解集，先去分母，再移项，合并同类项，求出x的取值范围在数轴上表示出来即可．【详解】解：去分母，得，移项，合并同类项，得，分母化为1，得．在数轴上表示如下：．3．（23·24八年级上·浙江嘉兴·期末）解不等式，并把解在数轴上表示出来．【答案】，数轴上表示见详解【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式是解题关键．直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．【详解】解：去分母得：，则，解得：．解集在数轴上表示为：4．（23·24七年级下·全国·假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)；(2)．【答案】(1)．(2)．【详解】（1）去括号，得．移项、合并同类项，得．系数化为1，得．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．（2）去分母，得．移项、合并同类项，得．系数化为1，得．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．题型六求一元一次不等式的整数解例题：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）不等式的正整数解是_______．【答案】1，2【分析】根据不等式的基本性质及解不等式的步骤求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可．【详解】解：，，，，，又∵不等式的解为正整数，∴不等式的正整数解为：1，2故答案为：1，2【点睛】本题考查解一元一次不等式及不等式的特殊解，能正确求出不等式的解集是解决本题的关键．变式训练1．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式的正整数解是_______．【答案】1【分析】先解出不等式，然后求满足条件的正整数解即可．【详解】解：，，，，，不等式的正整数解是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式及其正整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．2．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）不等式的所有正整数解的和为______．【答案】3【分析】根据解不等式的步骤，先移项、合并同类项、系数化成1即可求解．【详解】解：移项，得，合并同类项，得，系数化成1得．则正整数解是1和2，有正整数解的和为．故答案为：3．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解不等式的依据是不等式的基本性质，需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．题型七用一元一次不等式的解决实际问题例题：（2023下·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植A，B两种品种的牡丹，A、B两种牡丹每棵的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，求最少要购买A种牡丹多少棵？【答案】最少要购买A种牡丹60棵【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设购买A种牡丹x棵，则购买B种牡丹棵，根据题意，列出不等式，即可求解．【详解】解：设购买A种牡丹x棵，则购买B种牡丹棵，由题意得，，解得：，最少要购买A种牡丹60棵．变式训练1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商店购进甲、乙两种品牌的文具，若购进甲种文具20件，乙种文具30件，共需要400元；若购进甲种文具10件，乙种文具5件，共需要100元．(1)求该商店购进甲、乙两种品牌的文具每件各需要多少元？(2)若该商店准备购进甲、乙两种品牌的文具共100件，且总预算费用不超过800元，那么该商店最多可购进乙种品牌的文具多少件？【答案】(1)该商店购进甲种品牌的文具每件需要5元，乙两种品牌的文具每件需要10元；(2)该商店最多可购进乙种品牌的文具60件．【分析】（1）根据题意列出二元一次方程，求解即可；（2）设该商店可购进乙种品牌的文具件，列出一元一次不等式，求出解即可；本题主要考查二元一次方程，一元一次不等式，准确列出式子是解题的关键．【详解】（1）解：设该商店购进甲种品牌的文具每件需要元，乙两种品牌的文具每件需要元，根据题意，得，解得，答：该商店购进甲种品牌的文具每件需要5元，乙两种品牌的文具每件需要10元．（2）设该商店可购进乙种品牌的文具件，则购买件甲种品牌的文具，根据题意，得：，解得，答：该商店最多可购进乙种品牌的文具60件．2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．(1)该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？(2)机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？【答案】(1)最多购买台A型号机器人；(2)有两种方案：A型号台、B型号台或A型号台、B型号台．【分析】本题考查一元一次不等式的应用，能根据题中不等关系列出不等式是解题的关键，（1）设该垃圾处理厂购买台型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的倍”列出不等式求解即可；（2）根据“总费用不超过万元”列出不等式，结合（1）中不等式的解和为整数，即可得出共有两种方案．【详解】（1）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则，∴，答：最多购买台型号机器人．（2）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则，∴，，又是整数，∴或，当A型号为台时、B型号为台；当A型号为台时、B型号为台，答：共有2种方案，A型号台、B型号台；A型号台、B型号台．题型八一元一次不等式组的定义例题：（2023下·七年级课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】略变式训练1．（2022下·七年级单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元一次不等式组的定义进行判断．【详解】解：A、第二个不等式不是整式不等式，故本选项不合题意；B、该不等式组中有2个未知数，故本选项不合题意；C、该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不合题意；D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．2．（2023上·浙江·八年级专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．【详解】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．题型九求一元一次不等式组的解集例题：（23·24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）解不等式组，并在数轴上表示这个不等式组的解集．【答案】，数轴见解析【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上画出两个解集，确定其公共部分即可．【详解】解：，由①得：，∴，解得：，由②得：，∴，∴；在数轴上表示两个不等式的解集如下：∴不等式组的解集为：．变式训练1．（23·24八年级下·黑龙江大庆·开学考试）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，把解集在数轴上表示出来见详解【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及将不等式组的解集在数轴上表示出来，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．首先分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示出来即可．【详解】解：，解不等式①，可得，解不等式②，可得，所以，该不等式组的解集为，将解集在数轴上表示出来，如下图所示：2．（22·23七年级下·重庆江津·阶段练习）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，解集在数轴上表示见解析【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式组的解集为，其解集在数轴上表示如下所示，

3．（2024八年级下·全国·专题练习）解下面的不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：(1)；(2)．【答案】(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．（1）根据解不等式组的基本步骤是解题的关键．（2）根据解不等式组的基本步骤是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴解①得，，解②得，，∴不等式组的解集为．

（2）解：，解①得，，解②得，，∴不等式组的解集为．

题型十求一元一次不等式组的整数解例题：（2024上·湖南永州·八年级统考期末）解不等式组，并求其整数解．【答案】，整数解为【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集是，∴不等式组的整数解为．变式训练1．（2023上·湖南娄底·八年级统考期末）解不等式组，并把所有的整数解写出来．【答案】原不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为、0、1【分析】此题主要考查不等式组的解法，根据不等式的性质，分别解出不等式，再求出其公共解集，再写出整数解即可．【详解】解：，解①得：，解②得：，把它们的解集在数轴上表示如下：∴原不等式组的解集为，∴不等式组的所有整数解为、0、1.2．（2023下·甘肃天水·七年级校考期末）解不等式组：．（注：必须通过画数轴求解集）并写出该不等式组的最小整数解．【答案】原不等式组的解集是：；该不等式组的最小整数解是：【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握确定解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到是解答本题的关键．根据解一元一次不等式组的方法，分别解不等式，得到，，在数轴上将，表示出来，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：，解①得：，解②得：，

原不等式组的解集是：．该不等式组的最小整数解是：．题型十一解一元一次不等式组中错解复原问题例题：（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：由①得：.............................................第1步.................................................第2步............................................................第3步...................................................................第4步任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．【详解】解：任务一：∵，∴；∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，，，；又，∴不等式组的解集为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．变式训练1．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）下面是小东同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．解：由不等式①，得．……………第一步解得．………第二步由不等式②，得．……..第三步移项，得．

…………..第四步解得．……….第五步所以，原不等式组解集是．…………第六步(1)小东的解答过程中，第______；步开始出现错误，他错误的原因是_____________；(2)第三步的依据是_____________________；任务二：(3)直接写出这个不等式组的解集：______．【答案】(1)五；不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向没改变(2)不等式两边同时乘以个正数，不等式不改变方向(3)【分析】（1）根据等式的性质逐步分析即可；（2）第三步变形的依据是不等式的基本性质2；（3）通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集．【详解】（1）小东的解答过程中，第五步开始出现了错误，产生错误的原因是不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向没改变；故答案为：五；不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向没改变；（2）第三步变形的依据是不等式两边同时乘以个正数，不等式不改变方向；故答案为：不等式两边同时乘以个正数，不等式不改变方向；（3）由不等式①，得，解得．由不等式②，得，移项，得，解得．，所以，原不等式组解集是．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；依据：不等式的基本性质．题型十二列一元一次不等式组例题：（2023下·福建三明·八年级统考期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：由“李永不到一周就已读完”可得：故：故选：A．【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．变式训练1．（2022上·浙江宁波·八年级统考期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，这箱苹果共个，每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键．2．（2023·全国·七年级假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为()A． B．C． D．【答案】A【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读页，根据张力读了一周(7天)还没读完可得不等式，根据李永不到一周就已读完可得不等式，再联立两个不等式即可．【详解】解：设张力平均每天读x页，由题意得：，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是找到关键性的描述语言，列出不等式组．在求解时不要忽略x为整数这一关键性条件．题型十三用一元一次不等组的解决实际问题例题：（2024上·浙江宁波·八年级校联考期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．(1)求A模型和B模型的单价．(2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．【答案】(1)56元，103元；(2)购买A模型15个，B模型5个，费用最少，该方案所需的费用为元．【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A模型m个，则购买B模型（20-m）个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【详解】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，依题意得：，解得：．答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元．（2）设购买A模型m个，则购买B模型个，依题意得：，解得：．又∵m为整数，∴m可以为，∴共有3种购买方案，方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．∵，∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．变式训练1．（2024上·浙江·八年级统考期末）学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元．(1)求通道闸机和门禁机的单价．(2)已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？【答案】(1)通道闸机的单价为2250元，门禁机的单价为750元(2)方案1：购买道闸机10台，购买门禁机30台；方案2：购买道闸机11台，购买门禁机29台；方案3：购买道闸机12台，