第11章 一元一次不等式（单元重点综合测试）【苏科】七下数学专题复习

第十一章一元一次不等式（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．下列说法中，错误的是（

）A．不等式x＜5的整数解有无数个 B．不等式x＜5的正整数解有有限个C．不等式－2x＜8的解集是x＞－4 D．－40是不等式－2x＜8的一个解3．已知，下列式子一定成立的是（

）A． B．C． D．4．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（）A． B．C． D．5．若不等式组无解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．定义运算：对于实数，．例如，，．若，对于某个确定的，有且只有一个使等式成立，则的取值范围是（

）A．或 B． C． D．或二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．用不等式表示“x与1的和是负数”______．8．若，则____（填“”或“”）9．写出一个满足不等式组的整数解___________．10．已知关于x的不等式x＞的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为________．11．若是关于的一元一次不等式，则的值为______．12．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_______________．13．已知方程组的解满足，则a的取值范围是________．14．一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为____________．15．若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是__________，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是__________．16．我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是__________．三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集．18．三角形的三边长是三个连续的整数，且三角形的周长小于，求满足条件的三角形的三边的长．19．下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解不等式：．去分母，得．任务一：“去分母”这一步的变形依据是_____（填“”或“”）．．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上．20．已知x，y满足3x－4y＝5．(1)用含x的代数式表示y，结果为_；(2)若y满足－1＜y≤2，求x的取值范围．21．已知关于的方程．(1)若该方程的解满足，求的取值范围；(2)若该方程的解是不等式的的负整数解，求的值．22．学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买本论语和本诗经共需元，购买本论语和本诗经共需元．(1)求每本论语和每本诗经各多少元？(2)学校决定购买论语和诗经共本，总费用不超过元，那么该学校最多可以购买多少本论语？23．已知关于、的方程组若的值为非负数，的值为正数．(1)求的取值范围；(2)在的取值范围内，当为何负整数时，不等式的解集为．24．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．．(1)比较与的大小，并说明理由．(2)若，求x的取值范围．(3)若不等式组的解集为，求m的取值范围．25．某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备，市场调查发现每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等(1)求足球的单价．(2)该训练营需要购买30套队服和个足球，甲、乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自优惠方案不同：商家优惠方案甲每购买10套队服，送1个足球乙购买队服超过20套，则购买足球打8折①按照以上方案到甲、乙商家购买装备各需费用多少？（用含有y的代数式分别表示）．②请比较到哪个商家购买比较合算？26．为了拓宽学生视野，某校计划组织名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动一旅游公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知辆A型车和辆B型车可以载乘客人，辆A型车和辆B型车可以载乘客人．(1)求一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客；(2)学校计划共租A、B两种型号的客车辆，其中A型车数量的一半不少于B型车的数量，共有多少种租车方案；(3)若一辆A型车的租金为元，一辆B型车的租金为元．在（2）的条件最少租车费用是多少．27．小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示．观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3．因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或．参照小明的思路，解决下列问题：(1)的解集是______；(2)求绝对值不等式的解集．(3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围．

第十一章一元一次不等式（单元重点综合测试）答案全解全析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：．【详解】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；②含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；③是一元一次不等式，符合题意；④不是不等式，不符合题意；⑤是一元一次不等式，符合题意；∴一元一次不等式一共有2个，故选：A．2．下列说法中，错误的是（

）A．不等式x＜5的整数解有无数个 B．不等式x＜5的正整数解有有限个C．不等式－2x＜8的解集是x＞－4 D．－40是不等式－2x＜8的一个解【答案】D【解析】略3．已知，下列式子一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判定即可．【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意；B、∵，∴，故此选项不符合题意；C、∵，∴，∴，故此选项符合题意；D、∵，∴当时，，当时，，当时，，故此选项不符合题意；故选：C．4．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键．由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，可得．【详解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，∴共有瓶牛奶，∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，∴故选：A．5．若不等式组无解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得；由，得，原不等式组无解，，解得．故选D．【易错点分析】学生在解决有解无解题目时，弄不清是否取等号导致出错，最好的做法是将取等的值代入化简后的方程组，看是否成立．6．定义运算：对于实数，．例如，，．若，对于某个确定的，有且只有一个使等式成立，则的取值范围是（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】本题考查新定义运算，分情况讨论，列出不等式组，根据不等式组的解的情况进行判断取值范围即可．【详解】由题意可知,分三种情况：①若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,;②若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,；③若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,，综上可知，的取值范围是或；故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．用不等式表示“x与1的和是负数”______．【答案】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是掌握用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小)于)、不超过（不低于)、是正数(负数)、至少、最多”等等，正确选择不等号．先表示出“与1的和”，然后确定不等号，列出不等式即可．【详解】解：由题意得：，故答案为：．8．若，则____（填“”或“”）【答案】【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质先得到，则．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．9．写出一个满足不等式组的整数解___________．【答案】（答案不唯一，写出、0、1中的一个即可）【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再结合题干条件，即可解题．【详解】解：由得：，由得：，则不等式组的解集为，所以不等式组的整数解为、0、1，故答案为：（答案不唯一，写出、0、1，中的一个即可）．10．已知关于x的不等式x＞的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为________．【答案】1【解析】略11．若是关于的一元一次不等式，则的值为______．【答案】【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次列式求解即可得到答案．【详解】解：是关于的一元一次不等式，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题的关键．12．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_______________．【答案】【分析】本题考查求不等式的解集，先根据不等式的解集，求出的值，再将的值代入后面的不等式，进行求解即可．【详解】解：∵x的不等式的解集为，∴，∴解，得：，∴，∴，∴化为：，∴．故答案为：．13．已知方程组的解满足，则a的取值范围是________．【答案】【分析】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式．两式相加求得，再由得出的取值范围即可．【详解】解：，①②得，，解得；，解得．故答案为：．14．一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为____________．【答案】【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．根据运算流程结合需要经过2次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：第一次运算结果为，第二次运算结果为，因为经过2次运算才能输出结果，所以，解得．故答案为：．15．若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是__________，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是__________．【答案】【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数值，先将不等式组化简求出取值范围，然后根据解的情况可求得结果，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【详解】解：不等式组整理得：，解得：，若不等式有解，则，即，若不等式刚好有两个整数解，得到两个整数解为：，此时，解得，故答案为：；．16．我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是__________．【答案】4【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图示列式求解．解题的关键是运用“满五进一”的进制思想．设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出不等式，然后求解即可得出答案．【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x（x为正整数），根据题意得：解得：因x为正整数，故x取最小值4．即在第2根绳子上的打结数至少是4．故答案为：4．三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集．【答案】数轴见解析，．【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，即可求解．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，把不等式①、②的解集用数轴表示为：不等式组的解集为．18．三角形的三边长是三个连续的整数，且三角形的周长小于，求满足条件的三角形的三边的长．【答案】满足条件的三角形的三边的长分别为，，或，，或，，或，，【分析】本题考查三角形三边关系（三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）．利用三角形的三边长是三个连续的自然数，可设三角形三边的长分别为，，，根据三角形三边的关系得到，解得，根据三角形的周长小于得到，解得，从而得到为，，，，然后分别计算出三角形三边的长．解题的关键是根据三角形的三边关系得出：三角形的第三边小于两边之和且大于两边之差．也考查了不等式组的应用．【详解】解：设三角形三边的长分别为，，，∴，解得：，∵三角形的周长小于，∴，解得：，∴，又∵为整数，∴为，，，，当时，三角形的三边的长分别为，，；当时，三角形的三边的长分别为，，；当时，三角形的三边的长分别为，，；当时，三角形的三边的长分别为，，，∴满足条件的三角形的三边的长分别为，，或，，或，，或，，．19．下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解不等式：．去分母，得．任务一：“去分母”这一步的变形依据是_____（填“”或“”）．．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上．【答案】任务一：；任务二：，数轴表示见解析．【分析】任务一：根据不等式的基本性质即可求解；任务二：根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为，即可求解，再将解集表示在数轴上即可；本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题的关键．【详解】解：任务一：“去分母”这一步的变形依据是不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，故答案为：；任务二：去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为，得，不等式的解集在数轴上表示如图所示：20．已知x，y满足3x－4y＝5．(1)用含x的代数式表示y，结果为_；(2)若y满足－1＜y≤2，求x的取值范围．【答案】(1)y＝(2)≤【详解】（1）y＝（2）∵≤2≤2，∴－4＜3x－5≤8，∴1＜3x≤13，∴≤21．已知关于的方程．(1)若该方程的解满足，求的取值范围；(2)若该方程的解是不等式的的负整数解，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根据不等式的负整数解为，代入方程，即可求解．【详解】（1）解：，解得，由题意得：，．（2），，，，，所以不等式的负整数解为，把代入得：，解得：．22．学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买本论语和本诗经共需元，购买本论语和本诗经共需元．(1)求每本论语和每本诗经各多少元？(2)学校决定购买论语和诗经共本，总费用不超过元，那么该学校最多可以购买多少本论语？【答案】(1)购买每本论语需要元，购买每本诗经需要元．(2)该学校最多可以购买本论语．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设购买每本论语需要元，购买每本诗经需要元，根据“购买本论语和本诗经共需元，购买本论语和本诗经共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该学校购买本论语，则购买本诗经，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）解：设购买每本论语需要元，购买每本诗经需要元，依题意，得：，解得：．答：购买每本论语需要元，购买每本诗经需要元．（2）设该学校购买本论语，则购买本诗经，依题意，得：，解得：．答：该学校最多可以购买本论语．23．已知关于、的方程组若的值为非负数，的值为正数．(1)求的取值范围；(2)在的取值范围内，当为何负整数时，不等式的解集为．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．（1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可；（2）不等式变为，根据不等式的解集为求出，即可求出m的范围是，再求出负整数m即可．【详解】解：（1）解方程组得：，的值为非负数，的值为正数，，解得：，即的取值范围是：；（2），，不等式的解为，，，，，为负整数，．24．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．．(1)比较与的大小，并说明理由．(2)若，求x的取值范围．(3)若不等式组的解集为，求m的取值范围．【答案】(1)，理由见解析(2)(3)【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小；（2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围；（3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围．【详解】（1）解：，理由如下：，，，；（2）解：，不等式可转化为：，；（3）解：，不等式可转化为：，，不等式组组的解集为，，．【点睛】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键．25．某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备，市场调查发现每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等(1)求足球的单价．(2)该训练营需要购买30套队服和个足球，甲、乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自优惠方案不同：商家优惠方案甲每购买10套队服，送1个足球乙购买队服超过20套，则购买足球打8折①按照以上方案到甲、乙商家购买装备各需费用多少？（用含有y的代数式分别表示）．②请比较到哪个商家购买比较合算？【答案】(1)足球的单价为90元；(2)①到甲商家购买装备所需费用：元，到乙商家购买装备所需费用：元；②当训练营需要购买30套队服和15个足球时，在甲乙两个商家所需费用一样多，当训练营需要购买30套队服和超过15个足球时，在乙商家购买较合算，当训练营需要购买30套队服和购买足球超过10个而不足15个时，在甲商家购买较合算．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式的应用，以及最优购物问题，找出题目中的等量关系是解题的关键．（1）设足球的单价为x元，则队服的单价为元，根据题意“三套队服与五个足球的费用相等”，可得到等量关系，列方程求解即可；（2）①购买装备所需费用=买队服的费用+买足球的费用，用含有y的代数式表示即可；②由①中的结论，先求出当甲商家的消费=乙商家的消费时，再分情况比较哪个商家购买较合算．【详解】（1）解：设足球的单价为x元，则队服的单价为元，根据题意得，，解得，答：足球的单价为90元；（2）①由（1）得足球的单价为90元，则队服的单价为元，到甲商家购买装备所需费用：，到乙商家购买装备所需费用：；②当甲商家的消费=乙商家的消费时，即，解得，∴当训练营需要购买30套队服和15个足球时，在甲乙两个商家所需费用一样多，当甲商家的消费＞乙商家的消费时，即，解得，∴当训练营需要购买30套队服和超过15个足球时，在乙商家购买较合算，当甲商家的消费＜乙商家的消费时，即，解得，又∵，∴当训练营需要购买30套队服和购买足球超过10个而不足15个时，在甲商家购买较合算．26．为了拓宽学生视野，某校计划组织名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动一旅游公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知辆A型车和辆B型车可以载乘客人，辆A型车和辆B型车可以载乘客人．(1)求一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客；(2)学校计划共租A、B两种型号的客车辆，其中A型车数量的一半不少于B型车的数量，共有多少种租车方案；(3)若一辆A型车的租金为元，一辆B型车的租金为元．在（2）的条件最少租车费用是多少．【答案】(1)一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载名乘客；(2)种；(3)元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用；（1）找准等量关系，正确列