第12章 证明（单元重点综合测试）【苏科】七下数学专题复习

第12章证明（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列语句中是命题的是（

）A．作的平分线 B．美丽的大自然 C．同位角相等 D．你吃饭了吗2．如图，在中，D是延长线上一点，，则等于（

）A． B． C． D．3．下列命题中，逆命题是真命题的是（

）A．若，那么 B．若，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等4．如图，直角三角形的直角顶点A在直线上，若，，则的度数是（

）

A． B． C． D．5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（

）A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°6．下列命题中真命题的个数是（）①内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④在同一平面内，若，，则；⑤在同一平面内，若，，则；⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．把命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为：．8．命题“同位角相等”的逆命题是；逆命题是命题（填“真”或“假”）.9．已知，在中，，这个三角形按角来分是三角形．10．如图，点，，点在同一条直线上，，，，则度．

11．命题“若，则”是假命题，请写出一个满足条件的的值，．12．如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则等于．13．如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为．14．如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时．

15．当三角形中的一个内角α是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”，如果一个半角三角形的“半角”为，那么这个“半角三角形”的最大内角是．16．如图，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为．

三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假(1)如果是实数，则；(2)相等的两个角是对顶角；(3)今天有雨吗？18．命题：直角三角形的两锐角互余．

(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．19．已知命题“若n是自然数，则代数式的值是3的倍数”．(1)写出命题的条件和结论；(2)判断这个命题是真命题还是假命题，并说明理由．20．如图所示，在中，已知是角平分线，，．(1)求的度数；(2)若点，求的度数．21．如图，点分别是三角形的边边上的点，有下列三个条件：

①；②；③．(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题；(2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明．22．已知：如图，为的角平分线，过延长线上的任意一点H作的垂线，分别交于三点．(1)如果，，则___________；(2)求证：．23．已知的两边与的两边分别垂直，即，垂足分别为点M和N，试探究：

(1)如图1，与的关系是______；(2)如图2，写出与的关系，并说明理由；(3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．24．已知中，平分，点P在射线上．(1)如图①，若，，求的度数；(2)如图②，若，，求的度数；(3)如图③，若，直线与的一条边垂直，则的度数．25．已知的两边与的两边平行，即，．

(1)如图①，若，则；(2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由；(3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由；(4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题．26．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)关于“准直角三角形”，下列说法：①在中，若，，，则是准直角三角形；②若是“准直角三角形”，，，则；③“准直角三角形”一定是针角三角形．其中，正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）(2)如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”．(3)如图②，、为直线上两点，点在直线外，且．若是上一点，且是“准直角三角形”，请直接写出的度数．27．在学习完七年级上册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．(1)观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和等于．问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确．聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程．证明：如图1所示，，，是的三个内角，过点A作．∵（已知），①（理由：②）（平角定义），（理由：③）三角形内角和等于．(2)拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用．对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知，，是的三个内角，延长到，过点作．请你按照小亮同学的解答思路证明．(3)迁移应用：已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间．①如图3，点在点A的左侧，若，则．（填角的度数）②如图4，点在点A的右侧，且，，若，则．（用含的代数式表示）

第12章证明（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列语句中是命题的是（

）A．作的平分线 B．美丽的大自然 C．同位角相等 D．你吃饭了吗【答案】C【分析】本题主要考查了命题的定义，命题就是判断一件事情的语句，据此逐一判断即可．【详解】解：根据命题的定义可知，四个选项中只有C选项中的语句是命题，故选：C．2．如图，在中，D是延长线上一点，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵，∴，故选：B．3．下列命题中，逆命题是真命题的是（

）A．若，那么 B．若，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等【答案】D【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【详解】解：A、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意；B、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意；C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；D、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；故选：D．4．如图，直角三角形的直角顶点A在直线上，若，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查平行线的性质及余角的意义：如果两个角的和为，则这两个角互余．先求得，再由平行线的性质求得答案即可．【详解】根据题意，可知．∵，∴，故选B．5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（

）A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°【答案】A【分析】本题考查的是反证法的运用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判定．【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．故选：A．6．下列命题中真命题的个数是（）①内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④在同一平面内，若，，则；⑤在同一平面内，若，，则；⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的性质、垂线的性质、角的定义、点到直线的距离定义、相交线、平行线的判定定理等的知识点．根据平行线的性质、垂线的性质、角的定义、点到直线的距离定义、相交线、平行线的判定定理、逐项判断．【详解】解：两条直线平行，内错角相等，故①错误，是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确，是真命题；如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故③错误，是假命题；在同一平面内，若，，则，故④正确，是真命题；在同一平面内，若，，则，故⑤错误，是假命题；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故⑥错误，是假命题．综上，真命题是②④，共2个．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．把命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为：．【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等；【分析】本题考查命题的扩充改写，先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进行适当扩充．【详解】命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等；故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等．8．命题“同位角相等”的逆命题是；逆命题是命题（填“真”或“假”）.【答案】相等的角是同位角假【分析】本题考查了逆命题，判断一个命题的逆命题的真假，根据互逆命题的定义先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．【详解】解：“同位角相等”的逆命题是“相等的角是同位角”，这是一个假命题，故答案为：相等的角是同位角；假．9．已知，在中，，这个三角形按角来分是三角形．【答案】钝角【分析】本题考查了三角形的分类，三角形的内角和定理，解一元一次方程，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．设，根据三角形内角和定理列出方程并求解，得出为钝角，即可得出结果．【详解】设，，，，，，解得，，是钝角，是钝角三角形．故答案为：钝角．10．如图，点，，点在同一条直线上，，，，则度．

【答案】【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得．【详解】解：是的外角，，．故答案为：．11．命题“若，则”是假命题，请写出一个满足条件的的值，．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．令即可．【详解】解：当时，满足，但是，不满足，∴命题“若，则”是假命题，故答案为：12．如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则等于．【答案】/75度【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算、三角形外角的性质．根据题意可得，再由三角形外角的性质，即可求解，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：如图，根据题意得：∴，∴，∴．故答案为：13．如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为．【答案】/70度【分析】本题考查了三角形的内角和定理、垂直的定义，解题的关键是熟知三角形的内角和定理．先由得到，再结合求得，最后结合求得的度数．【详解】解：，，，，，，故答案为：14．如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时．

【答案】【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，延长交于点，根据三角形内角和定理求出，得出，再由三角形外角性质可得．【详解】解：延长交于点，如图，

∵∴∵∴∴∴故答案为：．15．当三角形中的一个内角α是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”，如果一个半角三角形的“半角”为，那么这个“半角三角形”的最大内角是．【答案】/126度【分析】本题考查三角形的内角和定理．根据半角三角形的定义，求出另一个角的度数，再根据内角和定理求出最大的角的度数即可．【详解】解：由题意，得，∴，∴最大角的度数为：；故答案为：．16．如图，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为．

【答案】/35度【分析】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线、外角定理，本题关键是掌握有关定理、定义，题目难度较大．，，则，则，在中，，故，即可等量代换求解．【详解】解：，，，的角平分线为，，，，而，，，，，，，，．故答案为：三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假(1)如果是实数，则；(2)相等的两个角是对顶角；(3)今天有雨吗？【答案】(1)是命题，且是真命题(2)是命题，是假命题(3)不是命题【分析】（1）根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之为假命题，要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．（2）根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之为假命题，要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．（3）根据命题的定义即可判断是否为命题．【详解】（1）解：是命题，且是真命题，理由如下：是实数，，，是命题，且是真命题．（2）解：是命题，是假命题，理由如下，如图：

已知两直线平行，．和不是对顶角，相等的两个角不一定是对顶角，是命题，是假命题．（3）解：是问题，不是命题，理由如下：命题的要求是有条件和有结果，是问题，不是命题．【点睛】本题考查命题的定义，正确记忆命题的定义是解题关键．18．命题：直角三角形的两锐角互余．

(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余(2)该命题是真命题，详见解析【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明．【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余（2）解：该命题是真命题已知：如图，在中，求证：证明：．19．已知命题“若n是自然数，则代数式的值是3的倍数”．(1)写出命题的条件和结论；(2)判断这个命题是真命题还是假命题，并说明理由．【答案】(1)命题的条件是n是自然数，结论是代数式的值是3的倍数(2)是假命题；理由见解析【分析】（1）根据命题的组成可得结论；（2）先计算整式的乘法运算，再利用因式分解的含义把原式化为，从而可判断．【详解】（1）解：命题的条件是n是自然数，结论是代数式的值是3的倍数；（2）是假命题；理由：∵，又n为自然数，∴不为3的倍数．所以是假命题．【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，因式分解的应用，命题的概念，真假命题的判断，理解命题的条件与结论的含义是解本题的关键．20．如图所示，在中，已知是角平分线，，．(1)求的度数；(2)若点，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线求解即可；（2）根据三角形外角的定义确定，再由直角三角形确定，即可求解．【详解】（1）解：∵在中，，，∴，∵是的角平分线∴；（2）∵在中，，∴∴在中，∴∴．21．如图，点分别是三角形的边边上的点，有下列三个条件：

①；②；③．(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题；(2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明．【答案】(1)①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么．(2)三个命题都是真命题，证明见解析．【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题的定义，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据命题的定义：两条件一结论组成命题，可得答案；（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③．【详解】（1）解：一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么．（2）解：以上三个命题都是真命题，如果，，那么，证明：∵，∴，∵，∴，∴．22．已知：如图，为的角平分线，过延长线上的任意一点H作的垂线，分别交于三点．(1)如果，，则___________；(2)求证：．【答案】(1)；(2)证明见详解；【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线、高线性质：（1）根据，得到，根据角平分线得到，根据内角和求出，结合内外角关系即可得到答案；（2）根据三角形内角和用得到，根据角平分线得到，根据内角和求出，结合内外角关系即可得到答案；【详解】（1）解：∵，，∴，∵为的角平分线，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：；（2）证明：∵，∴，为的角平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴．23．已知的两边与的两边分别垂直，即，垂足分别为点M和N，试探究：

(1)如图1，与的关系是______；(2)如图2，写出与的关系，并说明理由；(3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．【答案】(1)(2)(3)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．【分析】（1）根据垂直的定义，四边形内角和等于求解即可；（2）根据垂直的定义，以及三角形内角和等于，求解即可；（3）综合（1）（2）的结论，写出真命题．【详解】（1）解：∵，∴∴故答案为：（2）解：∵，∴又∵∴故答案为：（3）解：真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．【点睛】本题考查了真假命题，垂直的高一，对顶角相等，四边形内角和的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．24．已知中，平分，点P在射线上．(1)如图①，若，，求的度数；(2)如图②，若，，求的度数；(3)如图③，若，直线与的一条边垂直，则的度数．【答案】(1)(2)(3)°，，【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和等于，是解题的关键．（1）根据角平分线的定义与平行线的性质，即可求解；（2）根据三角形内角和定理，可得，进而即可求解；（3）分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，即可求解．【详解】（1）解：∵平分，，∴，∵，∴；（2）解：∵平分，，∴∵中，，中，，，，∴即；（3）解：当，当，当，，故答案为：，，．25．已知的两边与的两边平行，即，．

(1)如图①，若，则；(2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由；(3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由；(4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析(4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补【分析】（1）根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（3）根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（4）根据结果得出即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，，∴，故答案为：；（2），理由：∵，，∴，，∴；（3），理由：∵，，∴，，∵，∴；（4）解：通过上面（1）、（2）、（3），可得到的真命题是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补．【点睛】本题考查命题与定理，掌握平行线的性质是解题的关键．26．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)关于“准直角三角形”，下列说法：①在中，若，，，则是准直角三角形；②若是“准直角三角形”，，，则；③“准直角三角形”一定是针角三角形．其中，正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）(2)如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”．(3)如图②，、为直线上两点，点在直线外，且．若是上一点，且是“准直角三角形”，请直接写出的度数．【答案】(1)②③(2)见解析(3)或或或【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角的和差计算：（1）根据“准直角三角形”的定义即可判断；（2）证明即可；（3）根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．【详解】（1）解：①，不是“准直角三角形”，①不正确；②，②正确；③三角形为“准直角三角形”，则它的两个内角与满足，，设它的第三个内角为，，一定是针角，“准直角三角形”一定是针角三角形，③正确，故答案为：②③．（2）证明：如图1，，，是的角平分线，，，是“准直角三角形”．（3）解：如图，