第9章 整式乘法与因式分解（10类压轴题-易错题）【苏科】七下数学专题复习

第9章整式乘法与因式分解（10类压轴题&易错题）【考点一已知多项式乘积不含某项求字母的值】例题：（2023上·山东济宁·七年级统考期中）已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为．【变式训练】1．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）如果的乘积中不含项，则m=．2．（2023上·湖北·八年级校考周测）已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4．求：(1)系数与的值；(2)二项式与的积．【考点二单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】例题：（2023上·上海青浦·七年级统考期末）如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．

(1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积；(2)当，时，求阴影部分的面积．【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．(1)求计划种植草坪的面积；(2)已知，，若种植草坪的价格为30元/，求种植草坪应投入的资金是多少元？2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）如图，一个长方形运动场被分隔成，，，，，共个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．

(1)列式表示每个区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示）(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示）(3)如果，，求整个长方形运动场的面积．【考点三通过对完全平方公式变形求值】例题：（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）已知，求下列各式的值．(1)(2)【变式训练】1．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）阅读理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，参考上述过程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．2．（2024上·甘肃定西·八年级统考期末）阅读材料：若满足，求的值．解：设，，则，所以请仿照上例解决下面的问题：(1)问题发现：若x满足，求：的值．(2)若，求：的值．【考点四求完全平方式中的字母系数】例题：（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如果是一个完全平方式，那么k的值是．【变式训练】1．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第一中学校考期中）已知是完全平方式，为常数，则的值为(

)A．或 B．或 C．或 D．2．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）若是x的完全平方式，则3．（2023上·全国·八年级期末）若多项式的结果是一个多项式的平方，则单项式．【考点五整式乘法中新定义型运算问题】例题：（2023上·江西南昌·八年级校考期中）阅读下列材料：规定一种新运算：．例如：，按照这种运算的规定，请解答下列问题：(1)当，求的值；(2)若，求的值．【变式训练】1．（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）阅读下列材料，回答问题：材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；．材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中．(1)计算：______；______．(2)已知，，求的值．(3)已知，，，求的值．2．（2023上·北京海淀·八年级北京交通大学附属中学校考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方．解：我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”．(1)解决问题：请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______；(2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______；(3)探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______；拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值．【考点六平方差公式与几何图形】例题：（2023上·吉林·八年级统考期末）探究活动：（1）如图1是边长分别为a、b的正方形，可以求出阴影部分的面积是．（写成两数平方差的形式）（2）如图2，若将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是．（写成多项式乘积的形式）（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式：．知识应用：①计算：；②计算【变式训练】1．（2022上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）实践与探索：如图1，在边长为的大正方形里挖去一个边长为的小正方形，再把图1中的剩余部分（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个）A． B． C．(2)请应用这个等式完成下列各题：①已知，则______．②计算：．2．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证的一个等式是．(2)若，，求的值．(3)计算的值是．【考点七完全平方公式与几何图形】例题：现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）；图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(2)若，，则；；(3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【变式训练】1．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．解：因为，所以，即．又因为，所以．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，，则；(2)若，，求的值；(3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为．2．如图①，正方形是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是；(2)若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值；(3)若将正方形的边、分别与图①中的、重叠，如图②所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．【考点八十字相乘法因式分解】例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：

第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：①的系数为；②的系数为；③的系数为；④的系数为．显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．问题：(1)分解因式：；①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善横线上的数字；

②分解因式：________．【变式训练】1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，基本式子为：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘积相加等于，得到，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．(1)；(2)；(3)．【考点九分组分解法因式分解】例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式．解：添加两项．原式请你结合自己的思考和理解完成下列各题：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【变式训练】1．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．2．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）

（2）【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲发现该多项式前两项有公因式，后两项有公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式，第一项和第三项含有公因式，把，提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲发现先将看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；（1）分解因式：；（2）分解因式：；【拓展提升】：（3）分解因式：．【考点十因式分解的应用】例题：（2023秋·广东深圳·九年级校考开学考试）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华【变式训练】1．（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）已知正方形的边长为b，正方形的边长为．如图1，点H与点A重合，点E在边上，点G在边上，记阴影部分的面积为；如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形的右下角又放了一个和正方形一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在和上，记阴影部分面积为和．若，，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．请解决下列问题：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由，3．（2023秋·山西临汾·八年级统考阶段练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题：

(1)写出图2中所表示的数学等式：___________．(2)利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知，，求的值．(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为．

第9章整式乘法与因式分解（10类压轴题&易错题）【考点一已知多项式乘积不含某项求字母的值】例题：（2023上·山东济宁·七年级统考期中）已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为．【答案】【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零”是解题的关键．【详解】解：多项式不含项和项，，解得：，原多项式为，当时，原式；故答案：．【变式训练】1．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）如果的乘积中不含项，则m=．【答案】【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法，先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意二次项的系数等于0列式求解即可．【详解】∵乘积中不含项，∴，解得，故答案为：．2．（2023上·湖北·八年级校考周测）已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4．求：(1)系数与的值；(2)二项式与的积．【答案】(1)系数的值为，系数的值为；(2)【分析】本题考查了多项式乘多项式．（1）先计算，得，再根据关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，得到关于与的方程，解方程即可得到答案；（2）把与的值代入，计算即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：，关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，，解得：，系数的值为，系数的值为；（2）解：由（1）得：系数的值为，系数的值为，二项式与的积为：．【考点二单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】例题：（2023上·上海青浦·七年级统考期末）如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．

(1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积；(2)当，时，求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．（1）阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积正方形的面积扇形的面积；（2）当，时，代入（1）中代数式计算即可．【详解】（1）解：阴影部分的面积为：；（2）当，时，原式．【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．(1)求计划种植草坪的面积；(2)已知，，若种植草坪的价格为30元/，求种植草坪应投入的资金是多少元？【答案】(1)计划种植草坪的面积为(2)种植草坪应投入的资金是243000元【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键．（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；（2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：，，栽花面积：，草坪面积：．（2），，草坪价格为30元/，应投入的资金元．2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）如图，一个长方形运动场被分隔成，，，，，共个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．

(1)列式表示每个区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示）(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示）(3)如果，，求整个长方形运动场的面积．【答案】(1)右上方区长方形场地的周长为：，左下角区长方形场地的周长为：(2)整个长方形运动场的周长为：(3)整个长方形运动场的面积为【分析】本题主要考查整式的混合运算与图形周长、面积的计算，掌握整式的混合运算，代入求值是解题的关键．（1）区是边长为的正方形，区是边长为的正方形，图形结合即可求解；（2）根据长方形的周长的计算方法，整式的加减运算进行化简即可求解；（3）根据长方形的面积的计算方法列式，代入，计算即可．【详解】（1）解：区是边长为的正方形，区是边长为的正方形，∴区长方形场地的长为：，宽为：，∴右上方区长方形场地的周长为：，左下角区长方形场地的周长为：．（2）解：由（1）可知，区长方形场地的长为：，宽为，∴整个长方形运动场的长为：，宽为：，∴整个长方形运动场的周长为：．（3）解：整个长方形运动场的长为：，宽为：，∴整个长方形运动场的面积为：，当，时，原式，∴整个长方形运动场的面积为．【考点三通过对完全平方公式变形求值】例题：（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）已知，求下列各式的值．(1)(2)【答案】(1)25(2)17【分析】（1）直接求出的平方；（2）用（1）式减去求解；【详解】（1）解：；（2）；【点睛】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式，以及公式的转换．【变式训练】1．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）阅读理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，参考上述过程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)①5；②1(2)1【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式的形式，掌握整体思想是解题关键．（1）①根据即可求解；②根据即可求解；（2）根据求出即可求解．【详解】（1）解：①∵，∴，即，∵，∴故答案为：5②（2）解：∵，，∴∵2．（2024上·甘肃定西·八年级统考期末）阅读材料：若满足，求的值．解：设，，则，所以请仿照上例解决下面的问题：(1)问题发现：若x满足，求：的值．(2)若，求：的值．【答案】(1)21(2)【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．（1）设，则，再利用完全平方公式变形求值即可得；（2）设，则，再利用完全平方公式变形求值即可得．【详解】（1）解：设，则，所以．（2）解：设，则，所以．【考点四求完全平方式中的字母系数】例题：（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如果是一个完全平方式，那么k的值是．【答案】【分析】本题考查完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【变式训练】1．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第一中学校考期中）已知是完全平方式，为常数，则的值为(

)A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．【详解】解：∵是完全平方式，∴，解得：或，故选：C．2．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）若是x的完全平方式，则【答案】9【分析】本题考查了完全平方式，先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式求解即可，熟记完全平方公式是解题的关键．【详解】解：∵，∴，故答案为：9．3．（2023上·全国·八年级期末）若多项式的结果是一个多项式的平方，则单项式．【答案】或【分析】本题考查完全平方公式；分当M为中间项时，当为中间项时，两种情况根据完全平方式的特点进行求解即可．【详解】解：当M为中间项时，则，∴；当为中间项时，则，∴；综上所述，或，故答案为：或．【考点五整式乘法中新定义型运算问题】例题：（2023上·江西南昌·八年级校考期中）阅读下列材料：规定一种新运算：．例如：，按照这种运算的规定，请解答下列问题：(1)当，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，非负性．（1）根据题中给出的例子列出方程，再计算即可；（2）根据题中给出的例子列出方程，再根据非负数的性质得出的值，然后再计算即可．掌握新运算的法则，正确的列出方程，是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴∴∴，∴（2）∵∴∴∴，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴．【变式训练】1．（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）阅读下列材料，回答问题：材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；．材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中．(1)计算：______；______．(2)已知，，求的值．(3)已知，，，求的值．【答案】(1)13，(2)18(3)【分析】（1）根据材料一直接计算，再根据材料二中公式变形即可；（2）将变形为，代入计算即可；（3）根据已知得到，再将所求式子利用新定义和公式变形，得到，再整体代入计算即可．【详解】（1）解：由题意可得：；；（2）∵，，∴；（3）∵，，，∴，，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值，新定义运算，解题的关键是读懂材料所提供的新运算法则，灵活运用给出的差的完全立方公式与和的完全立方公式进行变形．2．（2023上·北京海淀·八年级北京交通大学附属中学校考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方．解：我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”．(1)解决问题：请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______；(2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______；(3)探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______；拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值．【答案】(1)10，是(2)2(3)13，4【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可；（2）由题意知，，由（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），可得，，然后代值求解即可；（3），由S为“完美数”，可得，解得，；由，可得，然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，，，故答案为：10，是；（2）解：由题意知，，∵（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），∴，，∴，故答案为：2；（3）解：，∵S为“完美数”，∴，解得，，故答案为：13；∵，∴，∴当时，最小，最小值为4．【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值等知识．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式．【考点六平方差公式与几何图形】例题：（2023上·吉林·八年级统考期末）探究活动：（1）如图1是边长分别为a、b的正方形，可以求出阴影部分的面积是．（写成两数平方差的形式）（2）如图2，若将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是．（写成多项式乘积的形式）（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式：．知识应用：①计算：；②计算【答案】探究活动：（1）；（2）；（3）；知识应用：①；②【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景以及灵活应用，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．（1）大正方形的面积与小正方形的面积的差就是阴影部分的面积；（2）利用矩形的面积公式即可求解；（3）根据（1）（2）表示的阴影部分面积相等即可解答；知识应用：①利用平方差公式即可求解；②把化为，再利用公式即可求解．【详解】解：探究活动：（1）（2）（3）（等号左右顺序可互换）；知识应用：①；②；【变式训练】1．（2022上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）实践与探索：如图1，在边长为的大正方形里挖去一个边长为的小正方形，再把图1中的剩余部分（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个）A．B．C．(2)请应用这个等式完成下列各题：①已知，则______．②计算：．【答案】(1)A(2)①4②【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算．（1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论；（2）①利用平方差公式解答即可；②将1看成，利用平方差公式解答即可．【详解】（1）图1的面积为，图2的面积为：，由于拼接前后的面积相等，∴，∴上述操作能验证的等式是A，故答案为：A；（2）①∵，∴，∴，故答案为：4；②∵，∴2．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证的一个等式是．(2)若，，求的值．(3)计算的值是．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查平方差公式与图形面积．（1）利用两种方法求出图形面积即可；（2）利用（1）中结论进行求解即可；（3）利用（1）中结论，裂项相乘即可．解题的关键是得到．【详解】（1）解：由图1，阴影部分的面积为，由图2，长方形的面积为；∴；故答案为：．（2）∵，，且，∴．（3）原式．【考点七完全平方公式与几何图形】例题：现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）；图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(2)若，，则；；(3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【详解】（1）解：图1中，由图可知，，由题意得，，即，故答案为：．图2中，由图可知，，，由题图可知，，即，故答案为：．（2）解：，，，，∴．故答案为：16；12．（3）解：由题意得，，，，，，，∴．即图中阴影部分的面积为．【变式训练】1．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．解：因为，所以，即．又因为，所以．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，，则；(2)若，，求的值；(3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为．【详解】（1）解：，，即，又，，，故答案为：12；（2）解：∵，，；（3）解：设正方形的边长为m、的边长为n，，，，即，，，，，，解得：m=5,n=3，．故答案为：5．2．如图①，正方形是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是；(2)若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值；(3)若将正方形的边、分别与图①中的、重叠，如图②所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．【详解】（1）（2）设，，则，，由已知得：，∴，∴，

∴（3）设正方形的边长为x，则，，∵∴∵∴【考点八十字相乘法因式分解】例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：

第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：①的系数为；②的系数为；③的系数为；④的系数为．显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．问题：(1)分解因式：；①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善横线上的数字；

②分解因式：________．【答案】(1)①见解析；②(2)①见解析；②【分析】（1）（2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，仿照材料分解即可．【详解】（1）解：①

；②；（2）①

；②．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是读懂材料，理解十字相乘法的计算方法．【变式训练】1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解；（2）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解．【详解】（1）解：如图，∴（2）解：如图，∴．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步骤是解题的关键．2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，基本式子为：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘积相加等于，得到，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．【详解】（1）解：；（2）当时，原式．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．【答案】(1)(2)图见解析，，，，16【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．【详解】（1）解：，常数项，，，故答案为：；（2）解：，常数项，画“十字图”如下：

，，，16．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根据进行解答即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．【考点九分组分解法因式分解】例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式．解：添加两项．原式请你结合自己的思考和理解完成下列各题：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因；（2）根据例题用拆项补项法分解因；（3）根据例题用拆项补项法分解因；【详解】（1）解：；（2）（3）【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．【答案】(1)）；(2)；(3)．【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解．【详解】（1）解：=；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．2．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）

（2）【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲发现该多项式前两项有公因式，后两项有公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式，第一项和第三项含有公因式，把，提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲发现先将看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：【学以致用】：尝试