2025-2026学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷

-2026学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，7 B．5，5，3 C．4，5，10 D．2，7，42．（2分）传统建筑中的窗格样式丰富，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．小红设计了下列窗格图案，其中可以看成轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列运算中正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a2）5＝a7 C．（3a4）2＝9a8 D．a4÷a4＝04．（2分）下列各式从左到右的变形一定正确的是（）A．x2+15x=C．x2−y5．（2分）如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作△ABC）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点D，E，F，G（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G6．（2分）如图是“过直线AB外一点C作AB的平行线CD”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明CD∥AB，证明过程中判定△CMN≌△EFG的依据是（）A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等7．（2分）八年级师生去距学校24km的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了4min学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的1.2倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为xkm/h，那么下面所列方程中正确的是（）A．24x=241.2xC．24x=248．（2分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，P，Q分别是边AC，BC上的两个动点，连接BP，PQ．若当BP与PQ的和最小时，PQ的长为1，则AC的长为（）A．3 B．4 C．6 D．8二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若代数式1x−4有意义，则实数x的取值范围是10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣5，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是．11．（2分）计算：（﹣2a2b）（﹣4abc）＝．12．（2分）如图，点C，D在线段AB上，∠EAD＝∠FCB，AE＝CF．只需添加一个条件即可证明△EAD≌△FCB，这个条件可以是（写出一个即可）．13．（2分）已知1个水分子的质量约是3×10﹣26kg．如果1滴水的质量约是6×10﹣5kg，那么这滴水中大约有个水分子（结果用科学记数法表示）．14．（2分）如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形ABCDE表示帐篷，线段BF，BG表示绳索，点F在AB的延长线上，且点F，G都在DC的延长线上．若∠ABC＝130°，∠BCD＝90°，FG＝FB，则∠BGF＝°．15．（2分）如图，某街心公园有一块长为2am，宽为bm的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为2am，宽为am的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为bm的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为13m，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为194m2，那么绿地的面积为m2．16．（2分）如图，CD是△ABC的角平分线，点E在CD的延长线上，DC＝AC，EC＝BC，EF⊥BC，垂足为F．有下列四个结论：①△DAC与△DBC的面积相等；②∠ADC＝∠BEC；③2∠AEC+3∠BCE＝180°；④FC=1其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题10分，第22-24题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（8分）分解因式：（1）5x2﹣10xy+5y2；（2）a2（b+1）﹣9（b+1）．18．（11分）（1）计算：（x+2y）（3x﹣y）；（2）先化简，再求值：(2aa+1−1)÷19．（7分）解方程：3x+220．（8分）如图，AB＝AC，DB⊥AB，EC⊥AC，垂足分别为B，C，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：AD＝AE；（2）若∠BAD＝20°，∠DAE＝110°，求∠CED的度数．21．（10分）已知在△ABC中，AB＜AC＜BC．（1）如图1，在△ABC的边BC上求作一点D，使DA+DC＝BC．①将下面的分析过程补充完整．分析：点D在线段BC上，则DB+＝BC，而要使DA+DC＝BC，即需要＝，因此需要点D在线段的垂直平分线上，所以作出这条线段的垂直平分线，它与边BC的交点即为所求作的点D．②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹；（2）用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹：在边BC上取一点E，使CE＝CA；作∠ACB的平分线交AB于点F，连接EF；（3）在（2）的条件下，图2中线段与线段AF相等，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则△BEF的周长为（用含a，b，c的式子表示）．22．（8分）有这样一组按规律依次排列的正整数：a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，⋯其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第n个“特征数”为an（n为正整数）．（1）将a6表示为两个连续正奇数的平方差：a6＝﹣；（2）求证：对于任意的正整数n，an一定能被8整除；（3）已知t是第n个“特征数”，判断（2t+1）（2t﹣1）﹣t（4t﹣5）+9是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含n的式子表示）；如果不是，说明理由．23．（8分）如图1，公园里有一条河，河岸线可看成两条平行的直线l1，l2，河的宽度为30m，景点A和景点B分别位于河的两岸（正方形网格中小正方形的边长为10m，直线l1，l2都在网格线上，点A，B都在网格线的交点上）．现要在河上造一座桥MN连通河的两岸，其中点M，N分别在直线l1，l2上．（1）小明先将桥MN的桥形设计为一条线段，线段MN与直线l1垂直，且使得从景点A经桥MN走到景点B的路径最短．他将点A沿与直线l1垂直的方向平移河的宽度得到点A′，从而将问题转化为在直线l2上确定点N的位置，使A′N+NB最小．请在图1中画出小明设计的桥MN（保留画图痕迹）；（2）小明又将桥MN设计成Ⅰ型（如图2）和Ⅱ型（如图3）两种桥形，这两种桥形都是由五条10m长的线段组成的折线，其中以点M，N为端点的两条线段分别与直线l1，l2垂直，且相邻两条线段互相垂直．请在图4，图5中分别画出当采用Ⅰ型和Ⅱ型桥形时的桥MN，使得从景点A经桥MN走到景点B的路径最短（保留画图痕迹）；比较图4，图5可知，采用型桥形，最短路径的长度更短（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）；（3）小明以直线l2为x轴，经过景点A且与直线l2垂直的直线为y轴（分别取向右、向上为正方向），取1个单位长度代表1m长，建立平面直角坐标系．景点A的坐标为（0，50），另一景点C的坐标为（t，﹣10）．若无论采用（2）单的I型或Ⅱ型桥形，从景点A经桥MN走到景点C的最短路径的长度相等，则t的值为．24．（8分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，射线AD与边BC交于点D，∠BAD＝α（0°＜α＜22.5°）．点E与点B关于直线AD对称，线段BE与射线AD交于点H，点F在线段AH上，且∠BEF＝45°，连接BF．（1）依题意补全图形，并求∠ABF的度数（用含α的式子表示）；（2）连接AE，M是AE的中点，连接CM，FM，探究线段CM与FM的数量关系和位置关系，并证明你的结论．四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）25．（4分）在解关于x，y的方程组x+y3+x−y2=63(x+y)−2(x−y)=28时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设x+y＝a，x﹣y＝b，将原方程组转化为关于a，b的方程组a3+b2=63a−2b=28，求出a，b的值后，再代回（1）化简：(a−2b+c)2下面是小天解决此问题的思路，请补充完整．解：设a﹣b＝x，b﹣c＝y，则a﹣c＝x+y，a﹣2b+c＝（用含x，y的式子表示）．将原式转化为关于x，y的式子进行化简，再将a﹣b＝x，b﹣c＝y代回，得到原式化简的结果为．（2）比较（22025+32025）×（22026+32026）与（22025+32026）×（22026+32025）的大小，并说明理由．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l，线段AB和点C，给出如下定义：记点C关于直线l的对称点为C′，若线段AB上存在点M，N，使得C′M＝C′N，且∠MC′N＝α，则称点C是线段AB的“l﹣α可及点”．（1）如图，直线l为y轴，点A（﹣1，﹣1），B（6，﹣1）．在点C1（﹣1，﹣2），C2（﹣3，2），C3（﹣5，3）中，线段AB的“l﹣90°可及点”是；（2）已知点D（﹣6，﹣1），E（﹣2，﹣5），直线l经过点（﹣1，0）且垂直于x轴，点F（0，m），G（4，m+4）．若线段DE上存在线段FG的“l﹣90°可及点”，直接写出m的取值范围；（3）已知△STR是等边三角形，其三个顶点的坐标分别为S（﹣4，0），T（﹣2，0），R(−3，3)，直线l经过点（t，0）且垂直于x轴，点P(n，−3)，Q(n+8，−3)．当﹣1≤t≤0时，对于t的每一个值，△STR的三条边上的所有点都是线段

2025-2026学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷选择题、填空题答案速查题号12345678答案BDCBADAC9.x≠410.（﹣5，1）11.8a3b2c12.AD＝CB（答案不唯一）13.2×102114.2015.7216.②③④选择题、填空题解法提示8．解：作点B关于直线AC的对称点B′，过B′作B′Q⊥BC于Q，则此时BP与PQ的和最小，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C=1∵∠CQP＝90°，∴∠CPQ＝60°，∴∠B′PH＝∠CPQ＝60°，∵BP＝PB′，∴∠BPH＝∠B′PH＝60°，∴∠BPQ＝180°﹣∠BPH﹣∠CPQ＝60°，∴PB＝PC＝2PQ＝2，∴BC＝2CQ=PC2∴BH=12BC∴CH=B∵AB＝BC，BH⊥AC，∴AC＝2CH＝6，故选：C．16．解：如图，过点E作EM⊥CA交CA的延长线于点M．假设△DAC与△DBC的面积相等，则BD＝AD，∵CD是△ABC的角平分线，∴△ACB必须是等腰三角形，显然与题目矛盾，故①错误；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，∵CD＝CA．CE＝CB，∴∠CAD＝∠CDA，∠CEB＝∠CBE，∵2∠CEB+∠DCB＝180°，2∠ADC+∠ACD＝180°，∴∠CEB＝∠ADC，故②正确；∵CA＝CD，∠ACE＝∠DCB，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴BD＝AE，∵∠BED＝∠DAC，∠EDB＝∠CDA，∴∠EBD＝∠ACD，∴2∠BED+∠EBD＝180°，∴∠BED＝∠BDE，∴BE＝BD＝AE，∴∠EBA＝∠EAB＝∠ACD，∵∠CDA＝∠CAD＝∠AED+∠EAD＝∠AED+∠ACD，∴2（∠AED+∠ACD）+∠ACD＝80°，∴2∠AED+3∠ACD＝180°，故③正确；∵CE平分∠ACB，EM⊥CM，EF⊥CB，∴EM＝EF，∴Rt△EMA≌Rt△EFB（HL），∴AM＝BF，∵∠M＝∠EFC＝90°，CE＝CE，∴△CEM≌△CEF（AAS），∴CF＝CM，∴CF+CM＝BC﹣BF+CA+AM＝AC+CB，∴2CF＝EC+CD，∴CF=12（EC+CD），故故答案为：②③④．解答题参考答案17．解：（1）5x2﹣10xy+5y2；＝5（x2﹣2xy+y2）＝5（x﹣y）2；（2）a2（b+1）﹣9（b+1）＝（b+1）（a2﹣9）＝（b+1）（a+3）（a﹣3）．18．解：（1）原式＝3x2﹣xy+6xy﹣2y2＝3x2+5xy﹣2y2；（2）原式=(=a−1=a+1当a＝﹣3时，原式==−2=219．解：两边都乘以x（x﹣1），得：3（x﹣1）+2x（x﹣1）＝2x2，解得：x＝3，经检验，x＝3是原分式方程的解．20．（1）证明：∵DB⊥AB，EC⊥AC，垂足分别为B，C，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAEAB=AC∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD＝AE．（2）解：∵∠B＝90°，∠BAD＝20°，∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝70°，由（1）得△ABD≌△ACE，AD＝AC，∴∠ADB＝∠AEC＝70°，∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，且∠DAE＝110°，∴2∠AED+110°＝180°，∴∠AED＝35°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝35°，∴∠CED的度数是35°．21．解：（1）①过程补充如下：点D在线段BC上，则DB+DC＝BC，而要使DA+DC＝BC，即需要DB＝DA，因此需要点D在线段AB的垂直平分线上，所以作出这条线段的垂直平分线，它与边BC的交点即为所求作的点D．故答案为：DC，DB，DA，AB；②如图点D即为所求；（2）尺规作图，如图，（3）∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝∠ECF，在△ACF和△ECF中，CA=CE∠ACF=∠ECF∴△ACF≌△ECF（SAS），∴AF＝EF，由作图可知CE＝CA＝b，∴BE＝a﹣b，∴△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BE+BF+AF＝BE+AB＝a﹣b+c，故答案为：EF，a﹣b+c．22．解：（1）观察已知a1=32−可知第n个“特征数”中，较小的正奇数为2n﹣1，较大的正奇数为2n+1（n为正整数），当n＝6时，较小的正奇数为2×6﹣1＝11，较大的正奇数为2×6+1＝13，因此；故答案为：132，112．（2）由（1）的规律可得a＝[（2n+3）+（2n+1）][（2n+3）﹣（2n+1）]＝（2n+3+2n+1）（2n+3﹣2n﹣1）＝（4n+4）×2＝8（n+1），因为n为正整数，所以8（n+1）能被8整除，即对于任意正整数n，an一定能被8整除；（3）（2t+1）（2t﹣1）﹣t（4t﹣5）+9＝4t2﹣1﹣4t2+5t+9＝5t+8；因为t是第n个“特征数”，5t+8＝5×8n+8＝40n+8＝8（5n+1），设两个连续正奇数为2k+1和2k+3（k为正整数），则它们的平方差为：（2k+3）2﹣（2k+1）2＝（2k+3+2k+1）（2k+3﹣2k﹣1）＝8（k+1），令8（k+1）＝8（5n+1），解得k＝5n，因此两个连续正奇数为2×5n+1＝10n+1和2×5n+3＝10n+3，所以5t+8是“特征数”，且是第5n+1个“特征数”．23．解：（1）如图所示，MN即为所求；（2）Ⅰ型的桥MN如图4，Ⅱ型桥如图5；由图明显可知图5的路径更短，故采用Ⅱ型桥形，最短路径的长度更短，故答案为：Ⅱ；（3）如图，结合（2）作图可知，要满足题意，则A'C＝A″C，∴点C在A'A″的垂直平分线上，∴C（10，﹣10），即t＝10；故答案为：10．24．解：（1）图形如图所示：（2）结论：CM＝FM，CM⊥FM．理由：如图，延长FM到J，使得MJ＝FM，连接AJ，CF，CJ，延长BF交AJ的延长线于点K．∵E，B关于AH对称，∴FE＝FB，∴∠BEF＝∠EBF＝45°，∴∠EFB＝90°，∴EF⊥BF，∵MA＝ME，MJ＝MF，∠AMJ＝∠EMF，∴△AMJ≌△EMF（SAS），∴AJ＝EF，∠MAJ＝∠MEF，∴AJ∥EF，∴AK⊥BK，∴∠K＝∠ACB＝90°，∵∠AOK＝∠BOC，∴∠JAC＝∠CBF，∵AJ＝EF＝BF，CA＝BC，∴△JAC≌△FBC（SAS），∴CJ＝CF，∠ACJ＝∠BCF，∴∠JCF＝∠ACB＝90°，∴△CJF是等腰直角三角形，∵JM＝JF，∴CM＝MJ＝MF，CM⊥MF．25．解：（1）设a﹣b＝x，b﹣c＝y，则a﹣c＝x+