2025-2026学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷

-2026学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若代数式1x+1在实数范围内有意义，则实数xA．x＞﹣1 B．x＝﹣1 C．x≠0 D．x≠﹣12．（3分）当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（）A． B． C． D．3．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x4．（3分）下列分式中是最简分式的是（）A．3xx2 B．C．x−yx+y D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．2a3•a2＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a3÷a3＝0 D．（ab2）2＝a2b46．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝110°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则x的值为（）A．135 B．140 C．145 D．1507．（3分）在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．HL8．（3分）南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（）A．200x+20−200xC．200x−20−2009．（3分）若A=23(1+A．0 B．﹣1 C．−13102410．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝2BC，点P为边CD上的一个动点，线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AP'，连接PP'，BP'，当线段BP'的长度最小时，∠PP'B的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．90°二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点A（2，3）关于x轴的对称点的坐标是．12．（3分）小数0.000065用科学记数法表示为．13．（3分）计算20×2﹣2＝．14．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠AOB的度数是°．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝4，E为BC的中点，点P为线段AC上一动点．则EP+BP的最小值为．16．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，D是AB延长线上一点，M为边BC上一点，连接CD，作CN⊥DM交DM的延长线于点N，连接AN并延长交BC于点K，若∠CDM=30°，BD=34MK，CM＝16，则CK三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：2a（a2+1）﹣2a5÷a2．18．（8分）因式分解：x3﹣xy2．19．（8分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、BC、CD、AD，AB∥CD．若，则AB＝CD．从①OA＝OC，②∠BAD＝∠BCD，③AD＝BC．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．20．（8分）先化简，再求值：(1−1a−2)÷21．（8分）如图是由小正方形组成的4×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（本题共2问，每问不超过5条线）．（1）在图1中，画△ABC的高AD和中线BE；（2）在图2中，在线段AC上画一点M，使得∠CBM＝45°，再在线段BC上找一点N，使得MN∥AB．22．（10分）随着新能源汽车的日益增多，某公司计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足使用新能源汽车员工的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表．单枪充电桩双枪充电桩单价：x元/个单价：1.5x元/个花费：40000元花费：30000元（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多5个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价各多少元？（2）在（1）的条件下，根据员工需求，公司决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购公司预备支出不超过50000元，求公司最少需要购买单枪新能源充电桩的数量；（3）为提高使用效率，公司需要全部购买双枪充电桩，现有甲、乙、丙三个厂家，2025年这三家双枪充电桩销售价格相同，2026年以来，为抢占市场，他们均对双枪充电桩进行两次降价销售，具体活动如下：甲：第一次降价p%，第二次降价q%；乙：第一次降价q%，第二次降价p%；丙：连续两次降价均为p+q2其中p、q是不相等的正数．现公司选择到哪个厂家购买双枪充电桩更划算？请说明理由．23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝45°，将线段AC绕点A逆时针旋转α，得到线段AD．（1）如图1，∠ACB＞90°，当α＝135°时，过点D作DE∥BC交BA的延长线于点E，请直接写出线段AE与BC的数量关系；（2）连接BD，M为线段BD上一点．①如图2，∠ACB＞90°，当α＝180°﹣2∠CAB，∠MAB＝45°时，求AMBC②如图3，∠ACB＜45°，当α＝90°，∠MAB＝135°，AM＝1，△ABM的面积等于32时，求BC24．（12分）已知A为x轴负半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，B为y轴正半轴上一点．（1）如图1，连接AB、BC，若∠ABO＝30°，AE平分∠BAC交y轴于点D，交BC于点E，已知点B的坐标为（0，3），请直接写出点D的坐标（，）；（2）如图2，M为第一象限内一点，BM＝BA且∠ABM＝60°，连接MC并延长交y轴于点N，试探究线段CN、BN和MN之间的数量关系并证明；（3）如图3，若∠ABO＝60°，A的坐标为（a，0），在直线AB上取两点D、E，使得DA＝AB＝BE，连接CB、CE、CD，以CD为底边在CD的下方构造等腰△CDF，且∠DCF＝30°，连接EF交x轴于点K，已知EF＝m（m＞0），求K点坐标（用含a、m的式子表示）．

2025-2026学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷选择题、填空题答案速查题号12345678910答案DDBCDCDDDC11.（2，﹣3）12.6.5×10﹣513.1414.2515.616.选择题、填空题解法提示9．解：原式＝（1−131）（1+131）（1+132＝（1−132）（1+132）（1+1＝（1−134）（1+134）（1＝（1−138）（1+13…＝1−1=−1故选：D．10．解：如图，线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AP′，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，连接P′E，设P′E交AB于点G，∴AD＝AE，AP＝AP′，∠DAE＝60°＝∠PAP′，∴△PAP′是等边三角形，∴∠DAE﹣∠PAE＝∠PAP′﹣∠PAE，∠AP′P＝60°，∴∠DAP＝∠EAP′，在△DAP和△EAP′中，AD=AE∠DAP=∠EAP′∴△DAP≌△EAP′（SAS），∴∠D＝∠E，在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，∴∠EAG＝∠DAG﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠BGP′＝∠EGA＝90°﹣∠EAG＝90°﹣30°＝60°，∴点P′在直线EP′上运动，∴当BP′⊥EP′时，BP′有最小值，∴∠BP′G＝90°，∴∠GBP′＝90°﹣∠BGP′＝30°，设EG＝x，GP′＝y，∴EP′＝EG+GP′＝x+y，∴AG＝2EG＝2x，BG＝2GP′＝2y，∴AB＝AG+BG＝2x+2y＝2（x+y）＝2EP′，∵AB＝2BC＝2AD＝2AE，∴AE＝EP′，∴△EAP′是等腰直角三角形，∴∠EP′A＝45°∴∠PP′B＝∠AP′E+∠EP′B﹣∠AP′P＝45°+90°﹣60°＝75°．故选：C．15．解：如图，作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于点P，由对称性质可知PB＝PB′，∴EP+BP的最小值即为B′E的值，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝4，∴AC＝2AB＝8，∴BC=82−∵E为BC的中点，∴BE＝23，∵S△ABC=1∴BD=AB⋅BCAC=∴BD＝BE，BB′＝43=BC在△BCD和△BB′E中，BC=BB′∠CBD=∠B′BE∴△BCD≌△BB′E（SAS），∴B′E＝CD，∵CD=B∴B′E＝CD＝6，∴EP+BP的最小值为6．故答案为：6．16．解：取CD中点E，连接BE、NE，∵∠CDM＝30°，∠DNC＝90°，∴NE＝NC=12CD，∠又∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AC＝BC．∴∠ACB＝∠NCE．∴∠ACB﹣∠NCK＝∠NCE﹣∠NCK．∴∠ACN＝∠BCE．又∵AC＝BC，NC＝EC，∴△ACN≌△BCE（SAS）．∴∠ANC＝∠BEC．∴∠CNK＝∠DEB．又∵∠BDE＝∠ABC﹣∠BCE＝60°﹣∠BCE，∠KCN＝∠ACB﹣∠ACN＝60°﹣∠ACN，∴∠BDE＝∠KCN．又∵DE＝CN，∠DEB＝∠CNK，∴△DEB≌△CNK（ASA）．∴DB＝CK．设DB＝CK＝x，∴MK＝CM﹣CK＝16﹣x．∵BD=34∴x=34（16﹣∴x=48∴CK=48故答案为：487解答题参考答案17．解：2a（a2+1）﹣2a5÷a2＝2a3+2a﹣2a3＝2a．18．解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y）．19．解：选择条件①或②都能得出结论AB＝CD，选择条件③不能得出结论AB＝CD，故答案为：①（答案不唯一，选择②亦可）．当选择条件①OA＝OC时，理由如下：∵AB∥CD，∴∠OBA＝∠ODC，∠OAB＝∠OCD，在△OAB和△OCD中，∠OBA=∠ODC∠OAB=∠OCD∴△OAB≌△OCD（AAS），∴AB＝CD；当选择条件②∠BAD＝∠BCD时，理由如下：∵AB∥CD，∴∠DBA＝∠BDC，在△DBA和△BDC中，∠DBA=∠BDC∠BAD=∠BCDBD=DB，∴△DBA≌△BDC（∴AB＝CD．20．解：原式=a−2−1a−2=a−3a−2•=a+2当a＝1时，原式=1+221．解：（1）如图1，AD，BE即为所求．（2）如图2，取格点P，使CP⊥BC且CP＝BC，连接BP交AC于点M，则点M即为所求．分别取格点F，G，H，K，使FG∥AC，HK∥BP，取FG与HK的交点Q，连接MQ并延长，交BC于点N，则点N即为所求．22．解：（1）根据题意可得，40000x∴x＝4000，经检验，x＝4000是原方程的解，且符合题意，1.5x＝1.5×4000＝6000（元/个），答：单枪新能源充电桩的价格为4000元/个，双枪新能源充电桩的价格为6000元/个；（2）单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，则现在单枪新能源充电桩的单价为4000×（1+10%）＝4400（元/个），双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，则现在双枪新能源充电桩的单价为6000×（1﹣10%）＝5400（元/个），设再次购进单枪新能源充电桩a个，总花费为[4400a+5400（10﹣a）]元，∴4400a+5400（10﹣a）≤50000，∴a≥4，∴a的最小值为4，答：公司最少需要购买单枪新能源充电桩4个；（3）设双枪充电桩的原价为a元（a＞0），令m＝p%，n＝q%，其中m＞0，n＞0，且m≠n，∴甲厂家最终售价：a（1﹣p%）（1﹣q%）＝a（1﹣m）（1﹣n），乙厂家最终售价：a（1﹣q%）（1﹣p%）＝a（1﹣n）（1﹣m），∴甲、乙两家厂家的最终售价完全相等．又∵丙厂家最终售价：a[1−p+q∴丙厂家与甲厂家的售价差值：a(1−m+n∵a＞0，m≠n，∴a(m−n)综上，选择甲厂家或乙厂家购买双枪充电桩更划算，两家性价比一致．23．解：（1）如图，在AB上取点K，使得CK＝CB，则∠CKB＝∠B＝45°，∴∠AKC＝135°，∵DE∥BC，∴∠DEA＝180°﹣∠B＝135°，由题意可得∠CAD＝135°，AD＝AC，∵∠DAB＝∠CAD+∠BAC＝∠DEA+∠ADE，且∠DEA＝∠CAD＝135°，∴∠BAC＝∠ADE，在△ADE和△CAK中，∠DEA=∠AKC∠ADE=∠CAK∴△ADE≌△CAK（AAS），∴AE＝CK＝CB，故答案为：AE＝CB；（2）①如图，延长BA，作射线AG，∵α＝180°﹣2∠CAB，∴2∠CAB+α＝180°，∵∠CAB+∠DAG+α＝180°，∴∠CAB＝∠DAG，∵∠MAB＝45°，∴∠MAG＝∠DAG+∠DAM＝135°，∵∠ABC＝45°，∴∠CAB+∠ACB＝135°，∵∠CAB＝∠DAG，∴∠DAM＝∠ACB，如图，延长AM到点K，使BC＝AK，在△KAB和△CBA中，AK=BC∠MAB=∠ABC=45°∴△KAB≌△CBA（SAS），∴BK＝CA＝AD，∠AKB＝∠ACB＝∠DAM，在△BMK和△DMA中，∠AKB=∠DAM∠BMK=∠AMD∴△BMK≌△DMA（AAS），∴AM＝MK=12AK∴AMBC②如图，分别过C、D作AM的垂线段，垂足分别为K、H，∵∠MAB＝135°，∴∠BAH＝45°，∵∠ABC＝45°，∠AHC＝90°，∴B、H、C三点共线，且AH＝BH，∴S△ABM=12⋅AM•BH=∴BH＝3＝AH，∴MH＝AM+AH＝4，则∠K＝∠CAD＝∠H＝90°，∴∠DAK＝∠ACH＝90°﹣∠CAH，∵DA＝AC，∴△AKD≌△CHA（AAS），∴DK＝AH＝BH＝3，AK＝CH，∵∠K＝∠BHM＝90°，∠DMK＝∠BMH，∴△DMK≌△BMH（AAS），∴KM＝MH＝4，∴AK＝AM+MK＝5，∴CH＝AK＝5，∴BC＝BH+CH＝8．24．解：（1）∵点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC交y轴于点D，∴∠BAD=12∠∴∠BAD＝∠ABO，∴BD＝AD，在Rt△ADO中，∵∠DAO＝30°，∴AD＝2OD，∴BD＝2OD，∴2OD+OD＝3，∴OD＝1，∴D（0，1），故答案为：0，1；（2）结论：CN+MN＝BN，理由如下：如图，作点N关于x轴的对称点H，连接BC，AN，AH，∵BM＝BA且∠ABM＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠BAM＝60°，BA＝MA，∵点C与点A关于y轴对称，B为y轴正半轴上一点，∴BA＝BC，∠ABO＝∠CBO，∴BM＝BC，设∠ABO＝∠CBO＝α，则∠CBM＝60°﹣2α，∴∠BCM＝∠BMC=12（180°﹣∠CBM）＝60°+∴∠BCN＝180°﹣∠BCM＝120°﹣α，∵∠BCO＝90°﹣α，∴∠NCO＝∠BCN﹣∠BCO＝（120°﹣α）﹣（90°﹣α）＝30°，∴∠CNO＝90°﹣30°＝60°，∵点C与点A关于y轴对称，∴∠ANO＝∠CNO＝60°，AN＝CN，∵点N与点H关于x轴对称，∴∠AHO＝∠AN