2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷

-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）下列交通标志是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成三角形的是（）A．135 B．336 C．123 D．3463．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，﹣1）4．（2分）下列运算正确的是（）A．a2+a＝a3 B．a2•a＝a2 C．（a2）3＝a5 D．（a2b）2＝a4b25．（2分）有些人可能有花粉过敏的现象，其实花粉粒的大小会影响我们的防护方法．花粉粒的大小因植物而异，一般在10到200微米之间．比如，春季常见的柏树花粉，它的粒径大约在20到30微米，而某些热带植物的花粉粒径则小于10微米．医用口罩可以有效阻挡直径大于3微米的花粉粒，在花粉高发季节，外出时佩戴口罩可以减少花粉吸入．若某种植物的花粉粒径为18微米，将18微米用科学记数法表示应为（注：1微米＝10﹣6米）（）A．18×106米 B．18×10﹣6米 C．1.8×10﹣5米 D．1.8×10﹣6米6．（2分）下列运算正确的是（）A．3a−2=aC．（a2+1）0＝0 D．(−7．（2分）根据以下作图痕迹，能得到△ABC的角平分线AD的是（）A． B． C． D．8．（2分）图1是一扇古建筑的窗棂，它的窗花格子由许多紧密连接的正三角形构成，图2是它的一部分．有以下三个结论：①△ACD和△AED全等；②△ABC和△AFG的面积相等；③△AEF是一个直角三角形，它的面积是△ABC面积的1.5倍．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本题共7小题，每小题2分，共16分）9．（2分）分解因式：2a2﹣4ab+2b2＝．10．（2分）下面是“过直线AB外一点C作直线AB的平行线”的尺规作图方法．（1）如图，过点C作一条直线，与直线AB相交于点E；（2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD＝∠CEB；（3）反向延长CD，得到直线CD，则直线CD∥AB．上述方法通过判定△FCM≌△GEH得到∠FCD＝∠CEB，其中判定△FCM≌△GEH的依据是．11．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6．AD是△ABC的中线，过点D作DE∥AB，交AC于点E．若△ABC的面积是24，则线段DE的长是．12．（2分）若关于x的方程k2x﹣k＝1﹣2x的解为负数，则k的取值范围是．13．（2分）某班计划开展“好书换读”活动，同学们将自己的好书带到班级中，其他同学可以借阅，自愿参加．计划首批征集60本书，首批实际参与人数是原计划人数的2倍，平均每位同学比原计划少带了3本．若设原计划首批参与人数为x人，则所列的方程是．14．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝α，点D是△ABC的外角∠EAC的平分线和边BC的垂直平分线的交点，则∠DCB＝（用含有α的式子表示）．15．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，若P是直线BC上的动点，则PA+12PB三、解答题（共68分，第17题6分，第18题7分，第19-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（6分）计算：（1）a（a+b）+b（b﹣a）；（2）(2x+y)(2x−y)−4x17．（7分）计算：（1）（m+n）2﹣（m﹣n）（m+3n）；（2）m−1(m−n)18．（5分）如图，在△ACE和△BDF中，点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝∠1，CE∥DF，AB＝CD．求证：CE＝DF．19．（5分）如图，已知直线EF和△ABC，点A，B在直线EF上．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①过点C作直线EF的垂线，垂足为点G；②作点C关于直线EF的对称点C1；（2）若点C到直线EF的距离为1，∠CBF＝30°，求线段BC的长；（3）在（2）的条件下，若AB＝2BC，求△ABC1的面积．20．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，BE⊥BC，AE∥BD，CE交BD于点F．（1）求∠BAE的大小；（2）判断△BEF的形状，并证明．21．（5分）先化简代数式，再在给定的5个数中选取一个合适的数代入求值：(x+2x222．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，P为边BC上的一点（点P不与点B，C重合），连接AP，△APC的两个内角的差恰好为90°．（1）求∠BAP的度数；（2）若AP＝n，求BC的长（用含有n的式子表示）．23．（5分）在校园科技节密码设计活动中，某班设计了一种基于因式分解的文件加密方式，操作步骤为：①选取能分解成三个因式的多项式，并因式分解；②对每个字母赋值，使得三个因式的值均为小于100的自然数，记所得的自然数为对应因式的因式码；③将三个因式码按从小到大的顺序排列（仅有一位的因式码前面补0变为两位），形成六位数字密码．例如选取多项式16a4﹣b4，分解因式得到（4a2+b2）（2a+b）（2a﹣b）；取a＝4，b＝5时，4a2+b2＝89，2a+b＝13，2a﹣b＝3，三个因式码分别为89，13，3；将这三个因式码按从小到大的顺序排列并补位后，得到六位数字密码031389．（1）依据该加密方式，对文件Ⅰ加密时，选取多项式x4﹣y4，取x＝9，y＝4，求形成的六位数字密码；（2）依据该加密方式，对文件Ⅱ加密时，选取多项式4x3﹣xy2，形成的六位数字密码的前四位为0410．若x，y分别表示文件Ⅱ被加密时的月份和日期，求x，y的值．24．（6分）某物流公司使用A，B两个机械臂完成一批货物的码垛工作，若A，B单独完成该项工作，则B所用时间是A所用时间的2倍．为提高效率，采取协同作业的方式：A，B共同工作1小时后，A经算法优化工作效率提高50%，再与B共同工作2小时恰好完成全部工作．（1）求A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间（列分式方程解决问题）；（2）若该公司先将A，B的工作效率均提高50%，再协同作业，能否在2小时内完成该项工作？并说明理由．25．（7分）在△ABC中，∠BAC＝120°，△ACD是等边三角形，点E在直线CD上，且BE＝BC．（1）如图1，点D在AC的上方．①来证：∠ACB＝∠DBE；②用等式表示线段AB，AC，CE的数量关系，并证明；（2）点D在AC的下方，在图2中补全图形，直接用等式表示线段AB，AC，CE的数量关系．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和垂直于x轴的直线l，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点P′的横坐标和纵坐标相等，则称点P是直线l的“等变换点”．（1）已知直线l过点A（2，0）且垂直于x轴．在P1（1，2），P2（1，3），P3（3，1）三个点中，直线l的“等变换点”是；（2）已知点B（4，1），C（4，﹣1），直线l1过点D（k，0）且与x轴垂直，直线l2过点E（k+0.5，0）且与x轴垂直．以线段BC为边向右侧作正方形，若该正方形上既存在直线l1的“等变换点”又存在直线l2的“等变换点”，则k的取值范围是；（3）已知直线l过点M（m，0）且垂直于x轴，过点F（2m，m+1）作FG垂直直线l于点G．若以线段FG为公共边的两个正方形组成的长方形及其内部存在直线l的“等变换点”，则m的取值范围是．

2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷选择题、填空题答案速查题号12345678答案BDADCDBC9.2（a﹣b）210.SSS11.312.k＜﹣113.60x=602x+314.90°选择题、填空题解法提示8．解：如图，连接AB，AC，AE，AF，AG，EG，设每个小正三角形的边长为1，则小正三角形的高为32①△ACD和△AED中，∵CD＝DE，∠CDA＝∠EDA＝120°，DA＝DA，∴△ACD≌△AED（SAS），故结论①正确，符合题意；②S△ABC=12BC•h=1∵AF＝4×32=23，△AFG的高S△AFG=12AF∴S△ABC＝S△AFG，故结论②正确，符合题意；③△AEF是一个直角三角形，直角边AF＝23，直角边EF＝1，∴S△AEF=12×23由②知△ABC面积32∴△AEF的面积是△ABC面积的2倍，故结论③错误，不符合题意，综上，正确结论的个数是2个，故选：C．14．解：如图，过点D作DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，∵AD是∠EAC的平分线，DF⊥BE，DG⊥AC，∴DF＝DG，∠FAD＝∠CAD，∵点D在边BC的垂直平分线上，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，在Rt△BFD和Rt△CGD中，DB=DCDF=DG∴Rt△BFD≌Rt△CGD（HL），∴∠FBD＝∠ACD，∵∠BAC＝α，∴∠EAC＝180°﹣α，∵∠EAC是△ABC的外角，∴∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，∴∠DCB=12∠EAC＝90°−故答案为：90°−1215．解：如图：延长AC，过点B作BD⊥AC于D点，∵∠ACB＝120°，∴∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∵BC＝4，∴在Rt△BCD中，CD=12∵P是直线BC上的动点，∴当P运动到C点处，P′D＝CD=12∵此时A，P′，D在一条线上，∴PA+1∴PA+12∵AC＝BC＝4，∴PA+12故答案为：6．解答题参考答案16．解：（1）原式＝a2+ab+b2﹣ab＝a2+b2；（2）原式==−=−y17．解：（1）（m+n）2﹣（m﹣n）（m+3n）＝m2+2mn+n2﹣（m2+3mn﹣mn﹣3n2）＝m2+2mn+n2﹣m2﹣3mn+mn+3n2＝4n2；（2）m−1=m−1=m−1+1−n=m−n=118．证明：∵点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D，在△ACE和△BDF中，∠ACE=∠DAC=BD△ACE≌△BDF（ASA）∴CE＝DF．19．解：（1）图形如图所示：（2）根据（1）中作图，可知CC1⊥EF于点G，CG＝1，在Rt△BGC中，∠CGB＝90°，∵∠CBG＝30°，CG＝1，∴BC＝2；（3）∵BC＝2．∴AB＝2BC＝4，根据作图，可知△ABC1≌△ABC，∴S△AB20．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵点D是AC的中点，∴∠ABD＝∠CBD=12∠∵AE∥BD，∴∠BAE＝∠ABD＝30°；（2）△BEF是等边三角形，证明如下：∵BE⊥BC，∴∠EBC＝90°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠CBD＝60°，∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝30°，在△EAB中，∠BAE＝∠EBF＝30°，∴EA＝EB，在△EAC和△EBC中，EA=EBBC=AC∴△EAC≌△EBC（SSS），∴∠ACE＝∠BCE=12∠∵∠BFE是△FBC的外角，∴∠BFE＝∠CBD+∠BCE＝60°，在△BEF中，∠EBF＝∠BFE＝60°，∴△BEF是等边三角形．21．解：(=[x+2=[(x+2)(x−2)=[(x+2)(x−2)+x(1−x)=x=x−4=x−4x(x−2)=3∵x≠0，2，4，∴x＝1，3，当x＝1时，原式=3当x＝3时，原式=322．解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°，设∠PAC＝α，∵P为边BC上的一点（点P不与点B，C重合），∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝120°﹣α，∠PAC＜∠BAC＝120°，在△PAC中，∠APC＝180°﹣（∠PAC+∠C）＝180°﹣（α+30°）＝150°﹣α，∵∠PAC＜120°，∴∠PAC﹣∠C＜90°﹣∠C＝90°，又∵△APC的两个内角的差恰好为90°，∴有以下两种情况：①当∠APC﹣∠PAC＝90°时，∴150°﹣α﹣α＝90°，解得：α＝30°，∴∠BAP＝120°﹣α＝90°，②当∠APC﹣∠C＝90°时，∴150°﹣α﹣30°＝90°解得：α＝30°，∴∠BAP＝120°﹣α＝90°，综上所述：∠BAP的度数为90°；（2）由（1）得：∠PAC＝α＝30°，∠B＝∠C＝30°，∠BAP＝90°，∴∠PAC＝∠C＝30°，△BAP是直角三角形，∴CP＝AP，在Rt△BAP中，∠B＝30°，∴BP＝2AP，∴BC＝BP+CP＝3AP，∵AP＝n，∴BC＝3n，即BC的长为3n．23．解：（1）x4﹣y4＝（x2﹣y2）（x2+y2）＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），当x＝9，y＝4时，x2+y2＝97，x+y＝13，x﹣y＝5；生成的密码是051397．（2）4x3﹣xy2＝x（2x+y）（2x﹣y），因为x，y都是正整数，所以2x+y＞x，2x+y＞2x﹣y，即2x+y的值最大，当x=4，2x−y=10时，解得x=4，当x=10，2x−y=4时，解得x=10，答：x，y的值分别为10，16．24．解：（1）设A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是x小时，则B单独完成该项工作所用的时间是2x小时，由题意得：1x+1解得：x=11经检验，x=11答：A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是112（2）不能在2小时内完成该项工作，理由如下：∵2×1.5×(2∴A，B效率均提升后协同作业，不能在2小时内完成该项工作．25．解：（1）①证明：∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝∠ADC＝∠DAC＝60°，∵∠BAC＝120°，∴∠BAC+∠DAC＝180°，∴B，A，D三点在同一条直线上，∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，即∠ACB+60°＝∠DBE+60°，∴∠ACB＝∠DBE；②AB+BC＝AC，证明：过点E作EF∥AC，则有∠DFE＝∠DAC，∠DEF＝∠DCA，∠BFE＝∠BAC，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠DCA＝∠CAD＝∠ADC＝60°，∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣DE，即AF＝CE，在△ABC和△FEB中，∠ACB=∠DBE，∠BAC=∠EFB，∴△ABC≌△FEB（AAS）．∴AC＝BF，∵BF＝AB+AF，∴AC＝AB+CE；（2）线段AB，AC，CE的数量关系是CE＝AC+2AB，理由：补图如下，过E作GF∥AC交AB，AD的延长线于F，G，∵∠BAC＝120°，△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠BAD＝60°，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠AFG＝∠FAG＝60°，∴△AGF是等边三角形，∴AF＝FG＝AG，∵∠BAC+∠ACD＝120°+60°＝180°，∴AF∥CE，∴∠DEG＝∠AFE＝60°，∴△DEG是等边三角形，∴DE＝EG，∴EF＝CD＝AC，过E作EJ∥AD交AF于J，∴∠JEF＝∠G＝60°，∴△EFJ是等边三角形，∴JE＝EF＝JF，∴AC＝JE＝JF，∠FJE＝60°，∴∠BJE＝∠BAC＝120°，∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∵∠JEC＝180°﹣∠JEF﹣∠DEG＝60°＝∠ACD，∴∠ACB＝∠BEJ，∴△BEJ≌△BCA（ASA），∴AB＝BJ，∴CE＝CD+DE＝EF+EG＝AF＝2AB+JF＝2AB+AC．26．解：（1）∵直线l过点A（2，0）且垂直于x轴，∴直线l的解析式为x＝2，∵P1（1，2）关于直线x＝2的对称点为（3，2），∴P1（1，2）不是直线l的“等变换点”；∵P2（1，3）关于直线x＝2的对称点为（3，3），∴P2（1，3）是直线l的“等变换点”；∵P3（3，