高等数学（下册）- 教案全套 李光军 第8-14章 向量代数与空间解析几何-矩阵

第八章向量代数与空间解析几何第一节空间直角坐标系教学目的:理解空间直角坐标系的概念;熟练掌握两点间距离公式;会确定空间点的坐标.教学重点:空间直角坐标系的概念;两点间距离公式.教学难点:空间直角坐标系的建立教学方法:教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、空间直角坐标系的概念在空间内作三条相互垂直且相交的数轴Ox,Oy,Oz,这三条数轴的长度单位相同．它们的交点O称为坐标原点．Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴．一般地，取从后向前，从左向右，从下向上的方向作为x轴，y轴,z轴的正方向．Ox,Oy,Oz统称为坐标轴．由两个坐标轴所确定的平面，称为坐标平面，简称坐标面．x轴，y轴,zxOyyOzzOx三个坐标面．这三个坐标面可以把空间分成八个部分，每个部xOyxOyxOy坐标面下面的二、空间点的直角坐标MMxyzxy轴、z轴的交点分别为Ｐ、Q、R（xyzxyzMxyz．这组数xyz就叫作MxyzMxyz的MM(xyz．三、空间中两点的中点坐标公式与距离公式设M1(x1,y2,z1),M2(x2,y2,z2)为空间内的两个点，类似于平面上任意两点的距离可以推导出：MM的中点坐标为(x1x2,y1y2,z1z2)1 2 2 2 2M1M2之间距离为

(xx)2(xx)2(yy)2(zz)22 12 12 11P(xyz关于（1）面；（2）z轴;（3）坐标原点对称的点的坐标.解：设所求对称点的坐标为Q(x1y1，则xyz0面对称点坐标为Q(xy,z；xyzz轴对称点坐标为Q(x,yz；xyz0Q(x,y,z；例2 求空间中两点之间的距离．2)2(22)2(2(30)227312练习：1.点P(x,y,z)分别向各坐标轴和各坐标面作垂线，试写出各垂足的坐标.2.求与xOz,yOz两坐标平面的距离相等的点的轨迹.第二节向量的概念及其运算教学目的:理解向量的概念,掌握向量的线性运算；会求向量的模、方向余弦；掌握向量的数量积及向量积;掌握判断向量平行或垂直的条件教学重点:向量的概念;向量的线性运算；向量的模与方向余弦；向量的数量积与向量积教学难点:向量的线性运算；向量的方向余弦；向量的数量积与向量积教学方法:教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、向量的概念像M1M2a等来表示一个向量。其中向量的大小称之为该向量的模，模为1的向量称为单位向量；模为0的向量称为零向量；通常记作，0或O；（注：零向量的方向是任意的）；二、向量的运算bababb ab规定：aba(b)aa0 a a向量的加、减法遵循平行四边形法则或三角形法则；2.数乘（数乘向量）a是一个向量，则仍然是向量，且当0//a，与与 a

0

|

0a O

0，|

a||||a|与

|a|

0 a

02a2a12a2aa（1）交换律与结合律（加法）abba

(ab)ca(bc)（2）结合律与分配律（数乘）(a)()a

()aaa

(ab)ab1ab为非零向量，则a//b存在非零常数，使得b。三、向量的坐标表示1.向量的坐标把向量a在三条坐标轴上的投影ax,ay,az叫作向量的坐标，将表达式a{ax,ay,az}称作向量a的坐标表示式。M1(x1,,)

M2(x2,y2,z2)

为终点的向量的坐标式可表示成M1M221,y21,z21特别地，若点M的坐标为(x,y,z)，则OM(x,y,z)2.用坐标形式表示向量的运算性质设a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}，则aaxiayjazk，bbxibyjbzkabaxx,ayby,azz）aax,ay,az）abaxbx,ayby,azbz（两个向量相等，必须对应坐标完全相等）例2已知a2,1,3,b1,2,2，求ab,ab,3a2b。解ab21,12,3(2)3,1,1,ab21,12,3(2)5,3a2b94,45.3.向量的模坐标表示式axiyjzkM(xyz为终点的向量,设向量xyz轴上的投影分别为OBOC,则2OM

2OA

2

2

x2y2z2例3已知M1(1,2,3),M2(4,2,1)求M1M2.解M1M241,2(2),133,4,43243242(4)241所以M1M2 41四、向量的数量积（点积、内积）11ab

a,b

，称数量abcos为向量a与b的数量积，记作： ababcosab（由此可见数量积的结果是一个数a与ba点乘b。2.性质 2（1）aaa（2）交换律：abba分配律：(ab)cacbc结合律：(a)ba(b)(ab)（3）设a,b为非零向量，则ab0ab（4）点积的坐标运算：设a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}，则：abaxbxaybyazbz abaxiayjazkbxibyjbzkaxbxiiaxbyijaxbzikaybxjiaybyjjaybzjk azbxkiazbykjazbzkkaxbxaybyazbz3.向量数量积的常用结论ab0abaxbxaybyazbz0cos

ab ab

axbxaybyazbza2a2a2b2b2b2x y z x y z例4 已知a2,k,1,ba2a2a2b2b2b2x y z x y z解 因为ab0abaxbxaybyazbz0，所以2k20，k2例5 已知a2,2,b4，求ab及a与b的夹解 ab211249cos

ab 9 9

2，故.2ab

22(1)222

1242 2 4五、向量的向量积（叉乘积，外积）1.定义2、设有非零向量a,b，夹角为(0)，定义一个新的向量R，使其满足Rabsin；RaRbR的方向从a到bRa与bRab，读作a叉乘b。aba，又垂直于b的向量（向量积的结果是一个向量）； ⑵ababsin的几何意义：以a,b为边的平行四边形的面积。b2.向量的向量积性质a（1）aa0（2）“交换律”：abba；abc)abac；bab)ab的坐标计算 abaxiayjazkbxibyjbzkaxbxiiaxbyijaxbzikaxbzikaxbzik aybxjiaybyjjaybzjkazbxkiazbykjazbzkk (aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)i i j k a a

a a

a a所以abax ay azby

y ziby

x z

j x ykby（4）设a,b为非零向量，则： byab

a//b

ax ay azi1j2k1023例6 设a2,1,bi1j2k1023 解 ab

8i3j2k，所以ab8,3,2,练习：1.已知a

试求出3a4b3,b2.ak,bab，试求出的值 2,3,b2.ak,bab，试求出的值 3.试求出向量a3i4jk的模|a|. 4.设ai2j2k，bij，求ab及向量a,b的夹角.第三节空间平面与直线的方程教学目的:理解平面方程的概念;熟练掌握平面的点法式方程、一般方程;会判断两平面间的位置关系,并会建立平面方程；理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两直线的位置关系,并会建立直线方程教学重点:空间平面的图形及其方程；空间直线的图形及其方程教学难点:平面方程的求解及两平面关系的判定；空间直线方程的求解教学方法:教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、平面的点法式方程F(xyz)0曲面上的任意一点都满足方程，且满足方程的点一定在曲面上.平面的法向量：与平面垂直的向量称为平面的法向量，记作n；其坐标表达式常写为：n{A,B,C}.nMM设有一平面，M0(x0,y0,z0)是上的一个已知点，n{A,B,C}是nMM上任意取一点M(x,y,z)，得向量：MM{xx,yy,zz}0 0 0 0图8-10M0MnnM0MA(xx0Byy0C(zz0)0★；表明：平面上M的坐标满足方程★.M(xyz不在平面M0MnnM0M0，即此M的坐标不满足方程★.过M0点、以n为法向量的平面的方程为：:

nM0M0

……平面的点法式方程A(xx)B(yy)C(zz)0 0 0 0注建立点法式方程的关键是确定平面上的一个点及平面的法向量.例1 一平面过点M0，且与M0到平面外一点的连线垂直，试写出此平面的方程.解由条件，向量M0M1{5,3,3}与平面垂直，故nM0M1{5,3,3}，所求平面方程为：5(xy2)3(z05x3y3z180.二、平面的一般式方程法向量为

n{A,B,C}

、经过

M0(x0,y0,z0)

的平面的一般方程，A(xx0)B(yy0)C(zz0)0经过整理可得：AxByCz(Ax0By0Cz0)0.记，D(Ax0By0Cz0)，则点法式方程被变形为：AxByCzD0；注 （1）平面一般方程：AxByCzD0中x,y,z的系数恰好是平面法向量的坐标A,B,C；（2）平面方程的特点是三元一次线性方程，而且任何一个三元一次的线性方程表示的均是平面；

（3）在平面的一般方程AxByCzD0中，A,B,C,D四个数只有三个是独立的.法向量n的坐标不可能同时为零.不妨设A0，则可将方程改写为：xByCzD0，或记A A A为：xByCzD0.因此建立平面的一般方程只需要三个独立的条件.例3 面过点M1)和M2(,,)且已的面xyz0直平面的方程.

解设平面的一般方程：AxByCzD0；M1在平面上：

ABCD0M2在平面上：

2A2B2CD0{A,B,C}0： ABC0解得：D0，C0，BA，代入方程AxByCzD0可得：: Ax0

即：:

xy0几类特殊位置的平面方程（1）过原点的平面

AxByCz0（2）平行于坐标轴的平面 若平面平行于x轴，则必有ni，ni0，即A0，则平面方程为：ByCzD0；同理可得，平行于y轴的平面：AxCzD0；平行于z轴的平面：AxByD0；（3）经过坐标轴的平面xxD0x轴Cz0y轴的平面：AxCz0z轴的平面：AxBy0；（4）平行于坐标面的平面若平面平行于yoz坐标面，则平面的法向量可以取为：n{1,0,0}，从而平面的方程为：AxD0xaa0x0yozxoz面的平ybxozy0xoyzcxoyz0.三、平面的截距式方程

xyz1cbaa b ccba其中，a,b,c依次为平面在x,y,z轴上的截距（便于作图）.四、直线的点向式方程（对称式）sssmnp}.ss0也平行于直线，故s也是直线的方向向量；设空间有一定点M0(x0,y0,z0)，过M0作平行于向量s{m,n,p}的直线L，则此直线是唯一确定的.M(x,y,z)L，则M0M//s；其中s{m,n,M0M{x,yy0,zz0}对应坐标成比例，有：xx0m

yy0n

zz0 ☆ s LMMM0反之，若点M不在直线上，则M0M//s不成立，从而其点的坐标不满足方程☆；故称以上的方程为直线L的方程，也称为直线L的点向式方程.L: xx0yy0zz0

点向式或对称式方程m n p注 （1）若m,n,p中有一个为零，如p0，则x0yy0

nxmynxmy0L:m n

或L: 0 0

两个平面的交线zz00

zz00（2）若m,n,p中有两个为零，如n0，p0，则L: yy00

yy

zz

的交线0zz0 0 00（3）若向量s的方向角为，则其方向余弦，cos，cos，此时直线的方向向量scosL: xx0cos

yy0cos

zz0cos五、直线的参数式方程L:

xx0

yy0zz0，令xx0

yy0

zz0

t，则直线的参数m n pxx0mt

m n p式方程为L：yynt，t为参数. 00zz0

pt六、直线的一般方程（两平面的交线交面式）直线L可以视为两张不平行的平面的交线，故直线的一般方程为：L：y0

n1（n//n）AxByCzD0 1 22 2 2 2 23x2yz10例5将直线L：2xyz20方程改写为点向式及参数式方程.2yz10解①确定M0：取x00，代入方程，得

yz20

，解得y01，z03，即M0(0,1,3)（注：M0可以不同）

i j k ②n23

2 1

i5j7k{1,5,7}，取sn1n2{1,5,7}，则2 1 xtL：x0y1z31 5 7

或L：y15tz37t练习：1.求过点(2,3,1)，且垂直于向量n(1,2,3)的平面方程.2.求通过点M0(1,3,2)且与向量4,2,1平行的直线方程.3.一直线通过点(22，且与直线

x3

z1y 平行，求此直线方程.2 5第四节曲面及常见曲面方程教学目的:了解常见的空间曲线的标准方程并知道它们的图像教学重点:空间曲面的图形及其方程教学难点:常见空间曲线的图形及方程教学方法:教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、曲面方程的概念定义1 如果曲面上每一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0（或z

f(x,y)），而不在曲面上点的坐标都不满足该方程，则称方程F(x,y,z)0（或zf(x,y)）为曲面的方程，该曲面F(xyz0（z

f(x,y)）的图形.这里将讨论一些常见的用二次方程所表示的曲面，即二次曲面.二、常见曲面1.球面现有定点M0(x0,y0,z0)，曲面上任意一点M(x,y,z)，M与M0的距离恒为常数R，0|MM|2R2，即曲面方程为：00 0 0(xx)2(yy)2(zz)2R2………………球面其中以原点为中心，以R为半径的球面：x2y2z2R2；0 0 0x2y2z2axbyczd0xyyz、zxx2y2z2的系数一定相同.例1方程x2y2z24x6y30表示怎样的曲面.解原方程可化为

(x2)2(y3)2z216，故该方程表示球心为点(2,3,0)，半径为4的球面.2.旋转面定义2设在yoz平面上有一条平面曲线c：f(y,z)0，将此曲线绕z轴旋转一周，所得的曲cOcOM0y0,z0)M(x,y,z)Oyx面称为旋转面，z轴称为旋转轴.M(xyz是旋转面上的任意一点，并且是曲线cM0(0y0z0旋转所得，则zz0 |0|0 0又因为O(0,0,z)，即有0 0

zz00x2y2 x2y2

x2y2(zz)2y2或x2y2y2，y0

，z0z；而(y0,z0)是yoz平面曲线c上的点，则f(y0,z0)0， 0M(xyzf(x2y2z0；yfyx2z20y2例2 将yoz面上的椭圆b2

z2c2

1与直线zky分别绕z轴旋转一周，写出旋转面的方程.y2解yoz面上的曲线c：b2

z2c2

1，旋转轴z轴，则旋转面方程x2y2 z2

x2 y2 z2b2 c2

1，或：c2b2c2

1…………旋转椭球面yoz面上的曲线c：zky，旋转轴z轴，则旋转面方程x2y2zk 或 z2k2(x2yx2y2如果将上面的两条曲线分别绕y轴旋转一周，则旋转面方程分别为x2 y2 z2c2b2c2

1…………椭球面x2z2yk y2k2(x2x2z23.柱面（母线平行于坐标轴的柱面）3空间有一确定的曲线lLL沿定曲线l平移，所形成的曲面称为柱面，其中曲线lL称为柱面的母线.注 一般，给定一柱面后，其母线是确定的，但其准线是不唯一的；即柱面上的任意一条曲线都可能成为柱面的准线.建立准线为xoy平面上的曲线l：f(x,y)0，母线平行于z轴的柱面的方程.M0(x0y0z0是柱面0xoyM(x0y00)M一定在平面曲线lf(xy0上，故其坐标(x0y0一f(x,y)0f(x0y00M0在柱面M(xyz，其坐标f(xy0M(xyz不在柱面

z L M(x,y,z)yO上，则其投影点一定不在曲线l上，坐标必然不满足方f(xy0xoy平面上的曲线lf(xy0

x M(x,y,

l:f(x,y)0为准线，母线平行于z轴的柱面的方程：f(x,y)0.注①在空间中，二元函数方程均表示空间的柱面；f(x,y)0表示母线平行于z轴的柱面；f(y,z)0表示母线平行于x轴的柱面；f(x,z)0表示母线平行于y轴的柱面；②注意母线平行于坐标轴的柱面与平面曲线的区别，一般平面曲线的方程可以表示为：l：f(x,y)0 f(x,y)0 z0

表示xoy面上的曲线；l：

zz0

表示平面zz0上的曲线；例3求准线在xoy面上的圆x2y2R2，母线平行于z轴的圆柱面方程.解设M(x,y,z)为此圆柱面上的任意一点，过点M(x,y,z)的母线与xoy面的交点M1(x,y,0)一定在准线上，所以不论点M(x,y,z)的竖坐标z取何值，它的横坐标x和纵坐标y都满足x2y2R2，所以所求圆柱面方程为x2y2R2.4.空间曲线方程概念F(xyz0与G(xyz0是两个曲面方程，它们的交线为，因为曲线上的每一点坐标都同时满足这两个曲面的方程，所以曲线上任一点的坐标应满足方程组F(x,y,z)0()G(x,y,z)0反之若空间中的点不在曲线上，必然不能同时在两个曲面上，所以该点不满足方程组，因此方程组便是空间曲线的方程，而曲线即为方程组的图形.当方程组的两个曲面方程为两个不平行的平面方程时，方程组 L：y0

n1（n//n）AxByCzD0 1 22 2 2 2 2即表示上节中介绍的空间直线方程！练习：1.方程x2y2z26z7表示怎样的曲面？x2z2 1求3 4 绕x轴及z轴旋转所得的旋转曲面的方程. y0第五节空间曲线及其在坐标面上的投影教学目的:理解空间曲线作为两曲面交线的概念，掌握其一般方程形式；理解投影柱面和投影曲线的定义教学重点:空间曲线一般方程的概念;求空间曲线在坐标面（如xOy面）上投影曲线方程的方法教学难点:理解投影柱面的几何意义及其与空间曲线、投影曲线之间的关系教学方法:教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、空间曲线的一般方程F(xyz0和G(xyz0的交线可以用方程组F(x,y,z)0()G(x,y,z)0来表示，方程组称为曲线的一般方程.例1 方程组

x2y242x3y12表示怎样的曲线？解 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，其准线是xoy面上的圆，圆心在原点，半径为方程组中的第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面由于它的准线是zox面上的直线，因此它是一个平面.方程组就表示上述平面与圆柱面的交线.二、空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线xoy面的柱面叫作xoyxoy面的交线叫作xoy面上的投影曲线.同理可定义xozyoz面上的投影曲线.设空间曲线的一般方程为

F(x,y,z)0()G(x,y,z)0现在我们来研究由方程组消去变量z后的结果P(x,y)0M(x,y,z)x,y,z方程组P(x,y)0是方程组zM(xyzxy一定满足方程组M(xyzP(xy)0所表示的柱面上，这说明该柱面包含了空间曲线P(xy0xoy面（z0）的交线P(x,y)0必然包含了空间曲线xoy面上的投影曲线.

z0 x2y2z216例3 求由曲线 ：

yz0

在xoy面上或yoz面上的投影曲线方程.，解将方程组消去z可得到：x22y216，所以空间曲线在xoy面上的投影曲线方程为：x22y216. z0.又因为

曲线的第二个方程不含x，所以yz0即为曲线关于yoz面上的投影柱面，它在yoz面上表示一条直线，而曲线在yoz面上的投影只是该直线的一部分，即2yz0 (2 y22)2.x0.练习：1.指出下列方程组所表示的曲线

x24y22z20(x1)2(y5)2z234（1）

（2）

z1 y20z2x22y22.设一个空间曲线由方程组x2y2z6确定，求它在xoy面上投影区域.第九章多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念、极限与连续教学目的:理解多元函数的概念,会求二元函数、三元函数的定义域,了解二元函数的极限与连续性.教学重点:多元函数的概念教学难点:多元函数概念的理解教学方法:讲授法、图示法、探究法相结合。通过具体例题的逐步解析，引导学生观察、思考，归纳出解题步骤教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、邻域在一元函数中，我们曾使用过邻域和区间的概念，由于讨论多元函数的需要，下面我们给出二维平面中邻域的概念P(xyR2,R2P(xy的距离小于P(xy)0 0 0 0 0 0的全体，称为点P0(x0,y0)的邻域，记作U(P0,)，即0U(PR20

0P(x,y)

(xx)2(yy)200(xx)2(yy)200二、多元函数的概念引例1 圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系Vr2h.r、h在集合{(rhrh内取定一对值(rh的对应值就随之确定.2RR2并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系R R2R2对应值就随之确定.二元函数的定义定义1 设有三个变量x,y,z如果变量x,y在一定范围内任取一对数值时变量z按照一定的对应法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称z是x,y的二元函数，记为zf(x,y).其中x,y称为自变量，z称为因变量，自变量x,y的变化范围D称为二元函数的定义域.数集{zzf(x,y),(x,y)D}称为二元函数的值域.与二元函数类似可定义三元函数u

f(x,y,z)以及三元以上的函数，二元及二元以上的函数统称为多元函数.二元函数的定义域z

f(xyz

f(x,y)xoy例如，函数zln(xy)的定义域为：{(x,y)xy0}是一个无界开区域.又如，函数zarcsin(x2y2)的定义域为：{(x,y)x2y21}这是一个闭区域.x+y=0x+y=0二元函数的图像与几何意义zfxyD，对于任意取定的点(xyDzfxyx为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)

，当(x,y)

取遍D上一切点时，得到一个空间点集{(xyz|zf(xyxyD}.我们称此zfxyxoy面上的投影区域.三、二元函数的极限与连续二元函数的极限2zf(xy(x0y0（该邻域可以是空心邻域，可除外P(x,y(x0y0zf(xy的值总是趋近AAzf(xy当(xyx0y0时的极限.记作limf(xyA或limf(xyAxx0yy0

PP02.二元函数的连续性定义3若函数zf(x,y)在点(x0,y0)的邻域内（这里只能是实心邻域）有定义，且有limxx0yy0

f(xy)Af(x0,y0z

f(x,y)在点(x0,y0)连续.f(xy（或闭区域）Df(xy在D内连续，或者称f(x,y)是D内的连续函数.z

f(x,y)在点(x0,y0)不连续，则称(x0,y0)为函数z

f(x,y)的间断点.z

f(x,y)不但可以有间断点，有时间断点还可以形成一条曲线，称之为间断线.与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质.性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值.介值定理）DD上取得两个不同的D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.练习：1.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形.1x21y2（1）f(x,1x21y2y（2）f(x,y)arcsinxarcsin；2f(uvw)uwwuvf(xyxyxy.3lim

1xyxxyx0 2 2y1第二节偏导数及其几何应用教学目的:理解偏导数的概念,了解二元函数偏导数的定义求法及几何意义,熟练掌握利用一元函数微分法求偏导数,掌握二阶偏导数,混合偏导数的求法.教学重点:多元函数的偏导数的求法教学难点:求多元函数的偏导数教学方法:讲授法、图示法、探究法相结合。通过具体例题的逐步解析，引导学生观察、思考，归纳出解题步骤教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、偏导数的定义定义1 设函数z=f

(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量f(x0x,y0)f(x0,y0),如果 limx0

f(x0x,y0)f(x0,y0)xz

f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作zzxfx,xx0yy0

或xx0yy0

fx(x0,y0)类似地，函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为f'(x,y)lim

f(x0,y0y)f(x0,y0)zzy

y 0 0ffy

y0 yf'(x,y)xx0

xx0

y 0 0yy0z

yy0f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数zf(x,y)对自变量y的偏导数，记作z f 'x,x或fx(x,y)类似地，可以定义函数zf(x,y)对自变量y的偏导数，记作z ,

,或f'(x,y)y y y例1求

zx23xyy2在点(1,2)处的偏导数.解 把y看作常量，得z2x3yx把x看作常量，得z3x2yy将(1,2)代入上面的结果，就得zxx1zx

21328，zyy2x131zyy2例2 求zx2siny的偏导数.z解 将y看作常数，对x求导得：x2xsiny；将x看作常数，对y求导得：zx2cosyy二、高阶偏导数设函数zf(x,y)在区域D内具有偏导数xzxx

f'(x,y),

zy

f'(x,y),y那么在D内f'(x,y)、f'(x,y)都是x，y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则称它yx y们是函数zf(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：zz 2z

2z ( )

f(，

( ) f

(x,y)xxzz

x2 xx2z

yxzz

xy2z (y)fyx(x,y)，(y)y2fyy(x,y)其中第二、三个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶，以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例5 设zx3y23xy3xy1，求

2zx2

2z

2z

2z、y2

3z及 .x3z解 x

=3x2y2

3y3

y,

z=2x3y

y9xy2

x；2zx22zxy

=6xy2,=6x2y9y21,

2zyx2zy2

=6x2y9y21；=18x218xy；3zx3

=6y

2z

2z5

yx=

xy这不是偶然的.事实上，我们有下述定理.定理1 如果函数z

2zf(xy

2z及xy在点(x,y)处连续，那么在该点处这两个二阶混合偏导数必相等.三、偏导数的几何应用空间曲线的切线与法平面xx(t)M(xyzCyy(tt（x(ty(tz(t均可导）0 0 0 0

zz(t)上的一个定点，M是曲线C上M0近旁的一个动点.当点M沿曲线C趋近于M0时，割线MM0的极限位置M0T即为曲线C在点M0处的切线.过点M0且与切线M0T垂直的平面称为曲线C在点M0处的法平面.所以根据点向式，可以求出曲线C当tt0时所对应的点M0(x0,y0,z0)处的切线方程为：xx0yy0zz0x'(t) y'(t) z'(t)0 0 00 0 0显然向量x'ty'tz't是曲线CM0 0 0

0(x0,y0,z0)处的法平面的一个法向量，所以0 0 0 0 0 0根据点法式可以求出法平面方程为：x'(t)(xx)y'(t)(yy)z'(t)(zz)00 0 0 0 0 0曲面的切平面与法线F(xyz)0M0(x0y0z0F(xyz在M0M0的曲线在该点处的切线均在M0M0M0点处的法线.x0 0 0y0 0 0z0 0 00易知向量F'(x,y,z),F'(x,y,z),F'(x,y,z)曲面在M点处的切平面的一x0 0 0y0 0 0z0 0 00个法向量，因此由点法式可得出切平面的方程为F'(x,y,z)(xx)F'(x,y,z

)(yy

)F'(x,y,z)(zz

)0x 0 0 0 0

y 0 0 0 0

z 0 0 0 0由点向式可得曲面在M0点处的法线方程为xF'(x,y,z)

yy0 F'(x,y,z)

zz0F'(x,y,z)x 0 0

y 0 0 0

z 0 0 0练习：1.求下列函数的偏导数：（1）zx3yy3x； （2）z

ln(xy).zx4y44x2y2的

2zx2

2z，y2

2z， .xy求曲面ez2zxy3在的点0)处的切平面及法线方程．第三节全微分及其应用教学目的:理解全微分的概念,了解可微的必要条件与充分条件,会求函数的全微分,会利用全微分进行近似计算教学重点:二元函数的全微分教学难点:求函数的全微分教学方法:讲授法、图示法、探究法相结合。通过具体例题的逐步解析，引导学生观察、思考，归纳出解题步骤教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、全微分的概念1.全增量定义

zf(x,y)

在点(xy)

的某邻域内有定义，并设P(xx,yy)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f(xx,yy)f(x,y)P

x,y

的全增量，记为z，即z=f(xx,yy)f(x,y).2.全微分定义z

f(x,y)在点(x,y)的全增量z

f(xx,yy)f(x,y)可以表示为zAxByo()

B

x,y

x,y

有关，(x)2(y)2zf(xy(xy可微分，A(x)2(y)2zf(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即 dz=AxBy.函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.定理1 如果函数z

f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点连续.事实上

zAxBy

zAxByo(),limx0y0

f(xx,yy)

f(x,y)z]0

f(x,y)z

f(x,y)在点(x,y)处连续.3.全微分与偏导数的关系必要条件）z

f(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的zzz

f(x,y)在点(x,y)的全微分为x y

dzzxzy．x y定理3（充分条件） 如果函数z

f(x,y)的偏导数z、z在点(x,y)连续，则该x y函数在点(x,y)可微分．习惯上，记全微分为dzzdxzdy.通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这种形式称为二元函数的微分符合叠加原理.叠加原理也适用于二元及以上的函数的情形.例2 计算函数zexy在点处的全微分.解 zyexy,x

zxexy,y

zzx

e2,

zzy

2e2,dze2dx2e2dy二、全微分的应用由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当二元函数zf(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续，并且x,y都较小时，就有近似等式zdz

fx(x,y)xfy(x,y)y上式也可以写成f(xx,yy)

f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y

（）我们利用上述两式，就可以对二元函数做近似计算和误差估计.例3计算(1.04)2.02的近似值解：设函数f(x,y)xy，显然要计算的即为f(1.04,2.02)取x1,y2,x0.04,y0.02.由于f(1,2)1,x yf(x,y)yxy1,f(x,y)xylnx,x yfx(1,2)2,fy(1,2)0所以由公式 （）可得：(1.04)2.02120.0400.021.08练习：x2y2z2x2y2z22.一直角三角形的斜边长为2.1m，一个锐角为31，求这个锐角所对边长的近似值.第四节多元复合函数求导法则及隐函数求导公式教学目的:掌握复合函数微分法及隐函数微分法教学重点:复合函数及隐函数求导教学难点:复合函数及隐函数求导教学方法:讲授法、图示法、探究法相结合。通过具体例题的逐步解析，引导学生观察、思考，归纳出解题步骤教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、复合函数求导法则复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u及v都在点t可导函数z

f(u,v)在对应点(u,v)具有z

f((t),(t))在点t可导，且有dzzduzdvdt udt

vdt. （9-1）该定理可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形.例1

ze2u3v

，其中

ux2,vsinx

dz，求dx解因为z2e2u3v,du2xu dx所以dzzduzdv

z3e2u3v,dvcosx，v dxdx udx vdx4xe2u3v3cosxe2u3v(4x3cosx)e2x23sinx复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数uy)及v(x,y)都在点(x,y)具有分别对x,y的偏导数函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z

f((x,y),(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在，且有zzuzvx ux

vx， （9-3）zzuzvy uy vy

. （9-4）zu2lnv,u

x,v3x2y

z,z例2 设

y xy解zzuzv2 u2v 3v2x2y)y2

3x22y)zzuzvv(

2x u) (2)x uy2 v22x 2x2y)y3

(3x2y)y2复合函数中间变量为一元函数及多元函数混合的情形定理3 如果函数uy)在点(x,y)具有分别对x,y的偏导数函数v(x)在点x可z

f(uv在对应点(uvz

f((x,y),(x))在点(x,y)的两个偏导数存在，且有zzuzdvx ux

vdx， （9-5）zzuyzsinuev,uxy,v3x

uy. （9-6）z,z例3设

，求xy解zzuzdv=cosuevysinuev3dxcos(xy)e3xy3sin(xy)ev，zzu=cosuevxcos(xy)e3xxy uy .二、隐函数求导法则定理4（隐函数存在定理1）设函数

F(x,y)0在点

(x0,y0)

的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0)0,Fy(x0,y0)0，则方程F(x,y)0点(x0,y0)的某一邻域内能唯一确定一个y

f(xy

f(x)满足两个结论：yf(x)y

dyFx（1）0

0（2）dx F定理5（隐函数存在定理2）

F(x,y,z)0

(x0,y0,z0)

的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0,z0)0,Fy(x0,y0,z0)0，则方程F(x,y,z)0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内z

f(xyz

f(x,y)满足两个结论：f(x,y)

zFx,zFy（1）0

0 0（2）x

y z33xyz2

z,z例5 设

x

y.解设F(x,y,z)z33xyz2，因为Fx3yz,Fy

3xz,

3z23xy，所以z yz ,zx F z2xyzz xz .zy F z2xyz练习：1.求复合函数zuev,ux2y,vxy的一阶偏导数2.求由下列方程所确定的隐函数导数（1）设

xylny1

dydx；2z（2）设zxyez求 , ， xyxy.第五节 多元函数的极值和最值教学目的:掌握二元函数极值的定义；理解并掌握函数取得极值的必要条件和充分条件；了解求闭区域上多元函数最值的一般方法教学重点:二元函数极值的定义；极值存在的必要条件与充分条件教学难点:极值定义的理解；极值充分条件中判别式的推导理解、记忆与应用教学方法:讲授法、图示法、探究法相结合。通过具体例题的逐步解析，引导学生观察、思考，归纳出解题步骤教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、二元函数极值的定义设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)：若满足不等式f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)有极大值；若满足不等式f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.二、多元函数取得极值的条件1（必要条件）z

f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：f'(x,y)0,f'(x,y)0.x 0 0 y 0 0推广 如果三元函数uf(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)具有偏导数则它在P(x0,y0,z0)有极值的必要条件为f'(x,y,z)0,f'(x,y,z)0,f'(x,y,z)0x 0 0 0

y 0 0 0

z 0 0 0仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注 极值点为驻点；驻点不一定是极值点．定理2（充分条件）设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又f'(x,y)0,f'(x,y)0，令x 0 0 y 0 0f''(x,y)A,f''(x,y)B,f''(x,y)C，xx 0 0

xy 0 0

yy 0 0则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：ACB20A0A0时有极小值；ACB20时没有极值；ACB20时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．例1 求由方程x2y2z22x2y4z100确定的函数z2x2zzx24zx0

f(x,y)的极值．解 将方程两边分别对x,y求偏导

2y2zz24z0 y y,xy求偏导数,Azx

|P

1 ,2z

Bzy

|P

C

|P

1 ,2z故 B2AC

1 0(2z)2

(z2),函数在P有极值.将P(1,1)代入原方程,有z12,

z26

2时，A10,所以zf(1,1)2为极小值；4z2

6时，A10,所以zf(1,1)6为极大值.4z

f(x,y)极值的一般步骤：第一步 解方程组fx(x,y)0,fy(x,y)0求出实数解，得驻点.第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值第三步 定出ACB2的符号，再判定是否是极值.三、多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.对于实际情况下的最值问题，往往从问题本身就能判定它们的最大值或最小值一定存在，且在定义域内部取得.这时如果函数在定义域内有唯一驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值.例3 某工厂要用钢板制作一个容积为8m3的无盖长方体容器，若不计钢板的厚度，怎样制作才能使材料最省？解 由题意可知材料最省的长方体容器一定存在.设容器的长宽高分别为x,y,z，则无盖容器所需钢板面积为Sxy2yz2xz由Vxyz8,于是Axy16(xy)(x0,y0)xyAy160x x2解方程组

xy232z8

32得出z32A 16 xyx 0y y2故当长方体的长宽高分别取232,232,32m时所需材料最省.练习：1.求函数z4(xy)x2y2的极值点与极值.2.求函数f(x,y)x3y33x23y29x1的极值.第十章重积分第一节 二重积分的概念和性质教学目的:熟练掌握二重积分的定义与性质.教学重点:二重积分的定义；二重积分的性质.教学难点:二重积分的性质教学方法:讲授法、图示法、探究法相结合。通过具体例题的逐步解析，引导学生观察、思考，归纳出解题步骤教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、二重积分的概念1、引例引例1 曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是xoy平面上的闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线、母线zz

f(x,y)(f(x,y)在D上连续且非负)，这种几何体称为区域D上的曲顶柱体，现在我们来讨论如何计算其体积V.对于平顶柱体，其高是不变的，它的体积可用公式：体积=高底面积而对如图101所示的曲顶柱体，当点(x,y)在区域D上变动时，高度f(x,y)是一个变量，因此它的体积不能直接用上式公式来计算.不妨参照定积分中求曲边梯形面积的方法，先对底面区域D划分，然后近似代替并求和，最后求极限便得曲顶柱体体积. 具体做法如下：图10-1（1）分割将区域Dn123，n，并以ii,,,n)表示第i个小闭区域及其面积，分别以每个小闭区域i的zn个小曲顶柱体.（2）取近似由于f(x,y)在D上连续，当(x,y)i时，f(x,y)变化很小，小曲顶柱体可近似.i上任取一点ii)(i,,,)fii)为高，i为底的平顶柱体的体积近似代替第i（3）求和

vi

fii)i

(i1,2,3,,n)n n将这n个小平顶柱体的体积相加，就得到原曲顶柱体体积的近似值，即n nVvifiii（4）取极限

i1

i1将区域D无限细分，令n个小闭区域的直径的最大值（记作）趋向于零.即imax{d}0i1in其中，di表示小闭区域的直径，也就是闭区域上任意两点间距离的最大值.则上述和式极限值便为曲顶柱体体积，即： i i iVlim f0i12平面薄片的质量设一平面薄片占有xoy平面上的闭区域D，它的面密度（单位面积上的质量）为D上的连续函数(x,y)，且(x,y)0,求该平面薄片的质量M.我们知道,如果薄片是均匀的,即面密度是常数,那么薄片的质量可以用公式质量=面密度面积来计算.现在薄片的面密度(x,y)在D上是变量,所以薄片的质量就不能直接采用上面的公式来计算.引例1中用来处理曲顶柱体体积问题的方法完全适用于此问题。即可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”这四个步骤求得.步骤如下：（1把薄片(即区域D)n1,2,3,…,nii,,,n)表示第i个小块的面积。（2当小块ii,,,n)(x,y)在D上连续,在iii)(i,,,),则ii)i可看作第i(如图102（3）再求和、取极限,便得到薄片的质量 i i iMlim 0i1图10-22、二重积分的定义n定义 设二元函数zf(x,y)为定义在有界闭区域D上的有界函数将区域D任意分成n小区域1,2,3,…,n中i示第i小区及面积每个ni上任取一点ii)fii)ii,,,n)，并作和fii)ii1当各个小闭区域的直径的最大值趋向于零时，此和式的极限总存在，则称此极限值为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作f(x,y)d，即nDnf(x,y)imfii)iD i1其中f(x,y)称为被积函数，f(x,y)d称为被积表达式，d称为面积元素，D称为积分nn区域，称为二重积分号，fii)i称为积分和.i1引例1中曲顶柱体的体积就可以表示为区域D上的二重积分，即Vf(x,y)df(x,y)dxdyD D引例2中面密度不均匀的薄片的质量可以表示为区域D上的二重积分，即M(x,y)d(x,y)dxdyD D3．二重积分的几何意义Df(x,y)≥0f(xy)dDf(x,y)为顶的曲顶柱体D的体积.Df(x,y)<0f(xy)d的值是负的，其值为该曲顶柱体体积的D相反数.(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则f(x,y)dD表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(xoyxoy平面之下的曲顶柱体的体积).1Dxy|0x0yD解 二重积分的几何意义表示以平面z3为顶以长为宽为1的矩形为底D3d2136D二、二重积分的性质性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即kf(x,y)dkf(x,y)dD D

（k为常数）2

[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)dD D D性质3 如果闭区域D被分成两个小闭区域和，则在D上的二重积分等于两个子闭区域D1、D2上的二重积分之和，即f(x,y)df(x,y)df(x,y)dD D2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性。性质4 如果在区域D上f(x,y)1，为区域D的面积，则D性质5 如果在区域D上，f(x,y)g(x,y)成立，则f(x,y)dg(x,y)dD D推论 函数在区域D上的二重积分的绝对值不大于函数绝对值在区域D上的二重积分，即|f(x,y)d||f(x,y)|dD D性质6 设Mm分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值表示D的面积，则mf(x,y)dMD7（二重积分中值定理f(xyDD的面积，则在D上至少存在一点(,)，使得f(x,y)df(,)D这些性质的证明与相应的定积分性质的证明相类似，证明从略.例2 比较积分(xy)2与(xy)3d,其中D是由x轴、y轴D D与直线xy1所围成的闭区域.解 在积分区域D上，0xy1(xy)3(xy)2

，故有

(xy)3(xy)2，则D D练习：1.设D{(x,y)|1x2y29},求2d.D2.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小.(1)(xy)2d(xy)3d,D(x2)2y1)22所围成的闭区D D域.3.利用二重积分的几何意义,求出下列二重积分的值.(1)

d,D:x2y21D第二节 二重积分的计算教学目的:熟练掌握二重积分在直角坐标系下以及极坐标系下的计算方法.教学重点:二重积分在直角坐标系下的计算；二重积分在极坐标系下的计算.教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题教学方法:讲授法、图示法、探究法相结合。通过具体例题的逐步解析，引导学生观察、思考，归纳出解题步骤教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、 直角坐标系下二重积分的计算形如:D:

axb

的不等式组表示的平面区域（图10-3，a）图称为X型(x)y(x)区域;

形如:

1 2(ɑ) (b)图10-3D:

cyd

的不等式组表示的平面区域（图10-3，b）称为Y型区1 2(y)x(1 2域.1X型和Yyx2xy2D解如图95(a)所示，用X型表示区域D为xD:x

0x1

1x4和 y

xxx2yxx

图10-5(a)如图95(b)所示，用Y型表示区域D为D:

1y2y2xy2下面介绍二重积分的计算设积分区域D可用X型表示D:

axb

图10-5（b）y(x)yy(x)1 2其中y1(x),y2(x)在区间[a,b]上连续，现利用二重积分的几何意义讨论f(x,y)d的计D算.当f(x,y)0时,按照二重积分的几何意义,上述二重积分的值等于以积分区域D为底,以曲面zf(x,y)为顶的曲顶柱体的体积(图10-6).下面我们应用第六章中求”平行截面面积已知的立体的体积”的方法,来计算这个曲顶柱体的体积.二重积分

f(x,y)b[2(x)f(x,y)dydxa 1(x)Dyx的二次积分.xf(xy只看作关于yy(xy2(x的定积分；然后把所得的结果（x的函数）x计算在区间[ab]上的定积分。上述积分也可记为f(x,y)bdx2(x)f(x,y)dyD这种积分也称为累次积分.

a 1(x)同理积分区域D若用Y型表示D:

cydx(y)xx(y)1 2其中x1(y),x2(y)在区间[c,d]上连续，类似地有： f(x,y)dd[x2(y)f(x,y c (y)D通常也可记为

f(x,y)dddyx2(y)f(x c (y)D4Dy2xyx2所围成的闭区域.D解 画出积分区域D,如图99所示，D是Y型的，积分区域D表示为D:

1y2y2xy2所以2 y21dyy2D

xydx2 12y2 [y2 12y21 2 y212[y(y2)2y(y2)2dy

图10-10211(1y44y32y21y6)|224 3 6 1558若把积分区域看成X型，则由于在区间[0,1]及[1,4]上表示y1(x)的式子不同，所以要用经过交点(1,1)且平行于y轴的直线x1把区域D分成D1和D2两部分（如图910）其中D:

0x1xx1 yxx::D2

1x4xx2yx根据二重积分的性质3可得 图10-10xydxydxydD D21 x 4 x0dxxdy1dxx2dyDf(xy的特征.二、极坐标系下二重积分的计算有些二重积分,积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,且被积函数用极坐标变量ρ,θ表达比较简单,这时,就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f(x,y)dnDnf(x,y)imfii)i,D i1O出发,DD的边界曲线相交不多于两点,我们用以极点为中心的一族同心圆:=常数以及从极点出发的一族射线:=常数,把D分成n个小闭区域(图10-11). 10-11除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积i1()()1i 2 i i i i i 2 i i i可计算如下:

iii)2 i ii(ii)2 i i i i i其中i,在这小闭区域内取圆周iii),该点的直角坐标设为ξi,ηi,那么由直角坐标与极坐标之间的关系有iiiiii.n n limf(cos,sin)n是im fii)iλ0i1

0

i1

i i i i i i i即f(x,y)d=f(cos,sin)ddD D看做是在同一平面上的点(xy的极坐标表示,D.由于在直角坐标系中f(x,y)d也常记作f(x,y)dxdy所以上式又可写成D Df(x,y)dxdy=f(pcos,sin)dpdD D这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式,其中dd就是极坐标系中的面积元素,把积分区域表示为极坐标系下不等式组形式，需根据极点与区域D的位置而定，现分三种情形加以讨论：（1）极点在区域D的外面（如图912）区域D夹在两条射线,之间，区域的内外边界为：

rr1(),rr2()。此时，积分区域可采用不等式D:r1()rr2() 来表示，此时可把二重积分f(x,y)d转化为极坐标D系下的累次积分，即

图10-12df(x,y)df(rcos,rsin)rdrdr2()f(rcos,rsin)rdrd D D（2）极点在区域D的边界上（如图913）积分区域D可用不等式组D:0来表示，故有 图10-13 rf(x,y)f(ro,rsin)rdr0

f(rcos,rsin)rdrD D（3）极点在区域D的内部（如图914）设积分区域D可用不等式组02D:002来表示，故有 图10-14rf(x,y)f(ro,rsin)rdr00

f(rcos,rsin)rdrD D例5 计算ydxdy其中D由x2y22ax(a0)与x轴围成上半圆区域（如图D10-15）.图10-15解 D在极坐标系里0

,0r2acos2ydxdy2

2acos1rsin rdr＝

2r3

2acossind

8a3＝

2cos3sind0 0D2 2

30 0

30＝ a3cos42 a33 0 3练习：1.表示下列曲线围成的区域D.Dy2xyx围成.Dyx2y2x2围成计算下列二重积分的值.1）x2y2D{(x,y)|1x,1y}.D（2）yDyxy2xxx2所围成的闭区域.Dx用极坐标表示下列二重积分.（1）f(xy)d,Dx2y2a2所围成的闭区域.D1 x22）0dx0

f(x,y)dy第三节三重积分教学目的:理解三重积分作为“和的极限”的概念及其物理与几何意义；掌握在直角坐标系下将三重积分化为“先一后二”的三次积分进行计算的方法；理解柱面坐标系的建立及其与直角坐标的转换关系，掌握利用柱面坐标计算三重积分的方法.教学重点:三重积分的基本概念；计算三重积分的方法与步骤教学难点:正确确定积分的先后次序和上下限教学方法:讲授法、图示法、探究法相结合。通过具体例题的逐步解析，引导学生观察、思考，归纳出解题步骤教学手段：以板书为主，多媒体为辅教学内容：一、三重积分的概念定义1 设是空间的有界闭区域，f(x,y,z)是上的有界函数，任意将分成n个小区域1in1,2,niidi，并令maxdi，在1innn任取一点)，1,2)fiii)ifiii)i，i1 i i i i若极限lim f存在(它不依赖于区域的分法及点)的取法)，则称这个极限值为函数0i1f(x,y,z)在空间区域上的三重积分，记作fx,y,zdv,n即 fx,y,zdvimfiii)i,n i1其中f(x,y,z)叫做被积函数，叫做积分区域，dv叫做体积元素.在直角坐标系中，若对区域用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一些小长方体.和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号fx,y,zdxdydz来表示，即在直角坐标系中体积元素dv可记为dxdydz.二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分假设有一直线,z轴且穿过闭区域Ω内部与整个闭区域Ω的边界S相交不多于两点,||把整个闭区域面上,得到平面闭区Dxy.以Dxy的边界为准线,Z轴的柱面,这柱面与曲面S的交线从S中分出的上,下两局部,它们的方程分别为S1:zz1(x,y),其中z1(x,y)z2(x,y)都是Dxy上的连续函数,且z1(x,y)z2(x,y)|过Dxy内任点(x,y)作平行于z轴的直线,这直线通过曲面S1穿入Ω内,然后通过曲面S2穿出Ω外,穿入点与穿出点的竖坐标分别为，z1(x,y)z2(x,y).在这种情形下,积分区域Ω(xyz|z1(xyzz2(xy),(xy)Dxy

先将x,y看做定值，将f(x,y,z)只看做z的函数,在区间[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分,积分的结果是x,y的函数,记为F(x,y),F(xy)

z2(xy)f(x,y,z)dz.z1(x,y)然后计算F(x,y))在闭区域Dxy上的二重积分F(x,y)dz2(x,y)f(x,y,z)dzDxy

Dxy

(x,y) 假设闭区域Dxy(x,y)|y1(x)yy2(x),axb,把这个二重积分化为二次积分,于是得到三重积分的计算公式f(x,y,z)dv

ax

y2(x)y(x)

z2(x,y)f(x,y,z)dz,z(x,y)b 1 1b把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分,1xdx