2025-2026学年上海市黄浦区大同中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区大同中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．在空间直角坐标系中，点，，关于坐标平面的对称点的坐标为．2．“直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”条件．3．已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则该圆柱的体积为．4．若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的表面积为．5．一天课程表中，8节课要安排4门不同的理科课程，4门不同的文科课程，要使文、理科课程间隔排列，不同的排课方法有种．6．设点，，在点，0，、，，、，，确定的平面上，则实数．7．若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和15．母线长为13，则该圆台的体积为．8．如图，棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为．9．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有个．10．体积为的正三棱柱中，与所成角大小等于，则与所成角大小为．11．在△中，，，若空间点满足，则直线与平面所成角的正弦的最大值是．12．若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点满足，则的最小值为．二、选择题（共4题，每题4分）13．可表示为（）A． B． C． D．14．已知平面、、两两垂直，直线、、满足，，，则直线、、不可能满足的是（）A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面15．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边，的距离分别为3，2，点到边，的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（）A． B． C． D．16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图，对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（）A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题三、解答题（共4题，10+12+12+14＝48分）17．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且．（1）若圆锥的体积大小为，求母线所在直线与圆锥的轴所成角的大小；（2）已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，．设点在线段上，证明：直线平面．18．如图，已知正方体的棱长为1，点、分别是和的中点．（1）求证：；（2）求直线和所成角的大小；（3）棱上是否存在一点，使得到平面的距离为？若存在，请求出线段的长度，若不存在，请说明理由．19．如图，平面平面，四边形是正方形，，，，．（1）证明：平面；（2）求直线和平面所成角的大小；（3）求二面角的正切值．20．已知正三棱锥．（1）若该三棱锥的侧棱长为，且两两所成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；（2）若该三棱锥的底面边长为1，侧棱与底面所成的角为，试用表示以为顶点，三角形内切圆为底面的圆锥的表面积和体积，并证明；（3）若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值．

参考答案一、填空题1．在空间直角坐标系中，点，，关于坐标平面的对称点的坐标为，，．解：根据关于坐标平面的对称点的坐标的特点，可得点，，关于坐标平面的对称点的坐标为，，，故答案为：，，．2．“直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”充分非必要条件．解：如果，根据线面垂直的性质可知直线垂直于平面内的所有的直线，所以直线垂直于平面内无数条直线；直线垂直于平面内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则与不一定垂直，故“直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”充分非必要条件．故答案为：充分非必要条件．3．已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则该圆柱的体积为．解：设圆柱的高为，由已知，，所以，所以圆柱体积为．故答案为：．4．若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的表面积为．解：设球的半径为，则，所以球的表面积为．故答案为：．5．一天课程表中，8节课要安排4门不同的理科课程，4门不同的文科课程，要使文、理科课程间隔排列，不同的排课方法有1152种．解：先安排4门不同的理科课程，有种不同的排课方法；再安排4门不同的文科课程，有种不同的排课方法，则要使文、理科课程间隔排列，不同的排课方法有种．故答案为：1152．6．设点，，在点，0，、，，、，，确定的平面上，则实数．解：由，，，，0，，，，，，，，可得，因为点在点，，确定的平面上，则存在实数，，使得，即，，，，，，，可得，解得．故答案为：．7．若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和15．母线长为13，则该圆台的体积为．解：设圆台的高为，则，所以圆台的体积为．故答案为：．8．如图，棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为．解：分别取如图所示的中点，连接，，，，，可得六边形为正六边形，易得，因为平面，平面，所以平面，因为点在上底面（含边界）上运动，正方体的棱长为4，可得点的轨迹而，可得．故答案为：．9．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有64个．解：个位用纵式，十位用横式，共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种，个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种，个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种，故共有种，故个位和十位上的算筹不一样多的两位数共有：个．故答案为：64．10．体积为的正三棱柱中，与所成角大小等于，则与所成角大小为．解：如图，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，，因为体积为的正三棱柱中，与所成角大小等于，所以在三角形中，，且根据正三棱柱的性质，可得该三棱柱各条棱相等，可设该三棱柱棱长为，则有，解得，又因为在三棱柱中，面，进而得到，所以，，在正三棱柱中，因为，为和的中点，且侧棱，所以必有面，面，则，所以△为直角三角形，由，，得，在△中，根据余弦定理，可得，，又因为异面直线所成的角的范围是，设与所成角为，而，所以，所以与所成角为．故答案为：．11．在△中，，，若空间点满足，则直线与平面所成角的正弦的最大值是．解：过点作于点，过点作于点，设，则，又，则，则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱的侧面上，如图所示，以所在平面为平面，建立空间直角坐标系，则平面的法向量为，，设，则，记直线与平面所成角为，则．因为，所以．令，则，那么．所以，根据基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦的最大值为．故答案为：．12．若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点满足，则的最小值为8．解：取的中点，连接，过作底面的垂线，垂足为△的中心，则，，，又，，取的中点，的中点，则，，在线段的垂直平分面上，关于点所在平面的对称点为，，当且仅当在线段上时取等号，又，的最小值为8．故答案为：8．二、选择题（共4题，每题4分）13．可表示为（）A． B． C． D．解：根据排列数的定义可得，．故选：．14．已知平面、、两两垂直，直线、、满足，，，则直线、、不可能满足的是（）A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面解：平面、、两两垂直，直线、、满足，，，所以直线、、在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，、、为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：．15．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边，的距离分别为3，2，点到边，的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（）A． B． C． D．解：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，所以，，，，，．故选：．16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图，对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（）A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题解：设底面正方形的边长为，对于①，图1中水的体积为，图2中水的体积为，所以，解得，故①正确，对于②，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，又因为容器容积为，所以水的体积是容器容积的一半，即水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过点，故②正确，故选：．三、解答题（共4题，10+12+12+14＝48分）17．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且．（1）若圆锥的体积大小为，求母线所在直线与圆锥的轴所成角的大小；（2）已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，．设点在线段上，证明：直线平面．解：（1）是底面直径，且，可得底面半径为，设圆锥的高为，因为，可得，可得，可得，即母线所在直线与圆锥的轴所成角的大小为；（2）证明：点、在底面圆周上，且弧的长为，连接，可得，可得，可得，可得△为等边三角形，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，可得，又因为为的中点，为的中点，可得，因为平面，平面，所以平面，同理可证得平面，又因为，，平面，所以平面平面，又因为在上，平面，所以平面．18．如图，已知正方体的棱长为1，点、分别是和的中点．（1）求证：；（2）求直线和所成角的大小；（3）棱上是否存在一点，使得到平面的距离为？若存在，请求出线段的长度，若不存在，请说明理由．解：（1）证明：建系如图：则，1，，，，，，1，，，1，，，0，，，0，，所以，，所以，所以；（2）由（1）可得以，，所以直线和所成角的余弦值为：，所以直线和所成角为；（3）设，0，，0，，，，又，1，，0，，1，，又，，设平面的法向量为，则，取，所以到平面的距离为，，，解得，所以上是存在一点，使得到平面的距离为，此时．19．如图，平面平面，四边形是正方形，，，，．（1）证明：平面；（2）求直线和平面所成角的大小；（3）求二面角的正切值．解：（1）证明：在平面内，，直线，相交，设它们交于点，，即，四边形是正方形，，又平面平面，且平面平面，平面，故平面，又平面，，又，且，平面，平面；（2）设是线段的中点，由△是以为底边的等腹直角三角形，可知，由平面平面，平面平面，且平面，故平面，设是线段的中点，则平面，可得，又，是正方形的对边，的中点，可得，因此可以分别以，，所在直线分别为，，轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，则，，设是平面的一个法向量，则有，取，又，设直线和平面所成角为，则，则直线和平面所成角大小为；（3）由是平面的一个法向量，设二面角为，由图知，为锐角，，，，，故二面角的正切值为．20．已知正三棱锥．（1）若该三棱锥的侧棱长为，且两两所成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；（2）若该三棱锥的底面边长为1，侧棱与底面所成的角为，试用表示以为顶点，三角形内切圆为底面的圆锥的表面积和体积，并证明；（3）若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值．解：（1）如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，由题意可得：，所以，，则△是等边三角形，则，