2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（满分42分）1．已知，，，则．2．函数的定义域为．3．已知角为第三象限角，且，则．4．已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为．5．已知是等差数列，若，，则．6．已知，若，则．7．已知，则的最小值为．8．已知，，函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为．9．已知定义在上的偶函数在，上是严格增函数，若，则的取值范围为．10．已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是．11．如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个观景点，点到顶点的距离为3百米，平分，边和的长度都为4百米．现需要沿着三角形草地的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为百米（精确到0.01百米）12．已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和．若集合，，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为．二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分）13．下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（）A． B． C． D．14．已知，则下列不等式不成立的是（）A． B． C． D．15．已知数列，为正整数）分别为各项不等且首项是1的等差数列和等比数列，下列两个命题：①：存在数列，，使关于的方程的解有无穷多个；②：存在数列，，使，，，，有无穷多个元素．则下列说法正确的是（）A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题．16．如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，．为了测出隧道的长度，现给出下列四种方案：①测出和；②测出和；③测出和；④测出，，三者．则能够测出隧道的长度的方案是（）A．①、④ B．②、④ C．③、④ D．④三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤）17．已知函数的表达式为，．（1）若，求的值；（2）若，，依次成等比数列，求的值．18．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足为正整数）．（1）依次写出数列的前6项；（2）设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由．19．在△中，角、、所对边的边长分别为、、，其中．（1）若，且，求边长的值；（2）若，，求△的面积．20．若函数，，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数．（1）已知，判断函数是否在区间，上为封闭函数，并说明理由；（2）已知，若函数在区间，上不为单调函数，但在区间，上为封闭函数，求的值：（3）已知函数在区间，上连续且为封闭函数，且对于任意的、，，都有成立．若数列满足为正整数），证明：存在唯一常数，，使得（c），且对于任意的，，都有．

参考答案一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分）1．已知，，，则．解：，，，当为奇数时，；当为偶数时，，所以，，又因为，所以．故答案为：．2．函数的定义域为，．解：由正切函数的定义知，，，解得，．所以的定义域为，．故答案为：，．3．已知角为第三象限角，且，则．解：因为角为第三象限角，且，可得，所以．4．已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为4．解：设扇形的半径为，弧长为，则解得，由扇形面积公式可得扇形面积故答案为：45．已知是等差数列，若，，则2021．解：设等差数列的公差为，由题意可得，．故答案为：2021．6．已知，若，则．解：根据题意，，（2），变形可得，故．故答案为：．7．已知，则的最小值为．解：由，得，即，所以．因为，，所以，当且仅当时取等号．故答案为：．8．已知，，函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为．解：将，代入，得，所以，又，解得，将，代入，得，则，即，，结合的部分图象知，其最小正周期，即，，又，所以，即最小正周期为．故答案为：．9．已知定义在上的偶函数在，上是严格增函数，若，则的取值范围为．解：因为为偶函数，即为，根据偶函数的对称性可得，函数在，上是严格增函数，故，得，即，解得，故答案为：．10．已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是．解：因为等比数列的公比为，且，所以，且，所以，，所以．故答案为：．11．如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个观景点，点到顶点的距离为3百米，平分，边和的长度都为4百米．现需要沿着三角形草地的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为14.75百米（精确到0.01百米）解：设百米，百米，，由正弦定理得，，，，，可得，，，代入可得，即，由余弦定理，化简得，将代入整理得，解得，（舍或（舍，当时，，该灯带的长度约为百米．故答案为：14.75．12．已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和．若集合，，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为2560．解：集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为．故答案为：2560．二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分）13．下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（）A． B． C． D．解：根据题意，依次分析选项：对于，，其定义域为，且，所以为奇函数，且在上是严格增函数，故正确；对于，为奇函数，但在上是先增后减的，不符合题意；对于，易知在上是单调递减函数，不符合题意；对于，因为，且为偶函数而非奇函数，不符合题意．故选：．14．已知，则下列不等式不成立的是（）A． B． C． D．解：因为，对于，，则，故正确；对于，，故错误；对于，，则，故正确；对于，由可得，则，所以，故正确．故选：．15．已知数列，为正整数）分别为各项不等且首项是1的等差数列和等比数列，下列两个命题：①：存在数列，，使关于的方程的解有无穷多个；②：存在数列，，使，，，，有无穷多个元素．则下列说法正确的是（）A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题．解：①由函数的性质可得指数型函数与一次函数至多有两个交点，当时结论成立，故，至多有两个解，故①错误；②令，，数列的值域为正整数集，的值域为集合，集合的交集为是无穷集，故存在满足条件的数列，，使，，，，有无穷多个元素，②正确．故选：．16．如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，．为了测出隧道的长度，现给出下列四种方案：①测出和；②测出和；③测出和；④测出，，三者．则能够测出隧道的长度的方案是（）A．①、④ B．②、④ C．③、④ D．④解：先测出，在△中，由正弦定理得，，所以，在△中，由正弦定理得，，所以，由余弦定理得，，其中，可求得，再测出，，由，即可得隧道的长度，所以要求出的长，需测出，，三者．故选：．三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤）17．已知函数的表达式为，．（1）若，求的值；（2）若，，依次成等比数列，求的值．解：（1），，则，．（2），，，，，，，，．18．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足为正整数）．（1）依次写出数列的前6项；（2）设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由．解：（1）等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足为正整数）．可得，，即有，，，，，；（2），可得，，即有，则单调递增，则当时，取到最小值，无最大值．19．在△中，角、、所对边的边长分别为、、，其中．（1）若，且，求边长的值；（2）若，，求△的面积．解：（1）根据边角转换可得，由，得，即，得，，则，所以，，则，所以；（2）根据边角转换可得，，则，则，故，，，故，得，所以．20．若函数，，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数．（1）已知，判断函数是否在区间，上为封闭函数，并说明理由；（2）已知，若函数在区间，上不为单调函数，但在区间，上为封闭函数，求的值：（3）已知函数在区间，上连续且为封闭函数，且对于任意的、，，都有成立．若数列满足为正整数），证明：存在唯一常数，，使得（c），且对于任意的，，都有．解：（1）是，理由如下：函数在，上单调递增，当，时，函数的值域为，，，所以函数在区间，上为封闭函数．（2）函数，，，函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，由题意在区间，上不为单调函数，得，则函数在，上单调递减，在，上单调递增，，，由函数在区间，上为封闭函数，得，由及，得，而函数（a），在，上单调递减，则（a），又（a），因此（a），，解得，，，所以的值为4．（3）证明：由函数在，上连续且为封闭函数，令，则函数在，上