2025-2026学年上海市黄浦区光明中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区光明中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.1．抛物线的准线方程为．2．若直线的一个法向量为，则实数的值为．3．一质点沿直线运动，位移（单位：与时间（单位：之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为．4．已知随机变量的分布为，则期望．5．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平，．6．若随机变量满足，则．7．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．8．一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率．9．函数有两个极值点，则实数的取值范围为．10．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为．11．掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示．已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为（精确到．12．2026年10月，光明中学将迎来140周年华诞．现将矩形操场分割为40个单位正方形，，，，，五个点在正方形的顶点处，构成字母“”，四个标记为△的点也在正方形的顶点处，设集合，，，，，点，过点作直线，使得不在上的△的点分布在的两侧．用和分别表示一侧和另一侧的△的点到的距离之和．若过点的直线中有且仅有一条直线满足，则中所有这样的为．二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（）A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌14．函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点15．已知双曲线，点，点、分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（）A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值16．椭圆具有如下光学性质：如图，，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题：①若是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与轴的交点为，则；②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（）A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．某公司为了解用电量（单位：与气温（单位：之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：气温181310用电量24343864由表中数据可得回归方程中，．试预测当气温为时的用电量，并求在气温为时的残差．18．已知椭圆，为坐标原点．（1）求的离心率；（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；19．某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为．（1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；（2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望；（3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级．现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．20．（17分）已知双曲线的左顶点为A，过点D（2，0）的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．（1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；（2）若，△MAD为直角三角形，求点M的坐标；（3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数λ，使得成立，求直线l的倾斜角的．21．（18分）若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．（1）试问函数是否为函数的“导控函数”？（2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；（3）已知函数和都是定义在上的偶函数，且是函数的“导控函数”，证明：恒成立为常数）．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．抛物线的准线方程为．解：抛物线方程为，其准线方程为：．故答案为：．2．若直线的一个法向量为，则实数的值为．解：由直线，知其一个法向量为，又也是直线的法向量，故向量和共线，可得，可得．故答案为：．3．一质点沿直线运动，位移（单位：与时间（单位：之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为．解：因为，所以，则该质点在时的瞬时速度为．故答案为：．4．已知随机变量的分布为，则期望6.3．解：由已知，期望．故答案为：6.3．5．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断拒绝原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平，．解：由题意可知，，所以可推断拒绝原假设．故答案为：拒绝．6．若随机变量满足，则5.4．解：已知随机变量满足，则．故答案为：5.4．7．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．解：在点的切线方程为，所以，，所以．故答案为：．8．一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率．解：由题意可知，两个孩子性别样本空间为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），设事件：至少有一个女孩，记事件：两个均为女孩，所以（A），，所以．故答案为：．9．函数有两个极值点，则实数的取值范围为．解：由题，因该函数有两个极值点，则有2个不同的正实根，即方程有2个不同的正实根，设为，，则，解得，即实数的取值范围为．故答案为：．10．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为．解：椭圆的左焦点为，右焦点为，线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，设线段的中点为，连接，如图，显然，为的中点，是△的中位线，则，由椭圆的定义知，又，，在直角三角形中，由勾股定理得：，即，又，可得，故有，由此可求得离心率．故答案为：．11．掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示．已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为（精确到．解：不妨以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为．此时，．若要成绩不小于10米，此时，即，所以，取，易知，所以，易知为锐角，所以，所以，则出手角度的最大值为．故答案为：．12．2026年10月，光明中学将迎来140周年华诞．现将矩形操场分割为40个单位正方形，，，，，五个点在正方形的顶点处，构成字母“”，四个标记为△的点也在正方形的顶点处，设集合，，，，，点，过点作直线，使得不在上的△的点分布在的两侧．用和分别表示一侧和另一侧的△的点到的距离之和．若过点的直线中有且仅有一条直线满足，则中所有这样的为，，，．解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，记为“△”的四个点为，，，，点，，，，，线段，，，的中点分别为，根据，得四边形为平行四边形，其中心坐标为，该点为，根据题意，等价于直线过点，当时，过的直线有多条，且满足不在上的△点分布在直线两侧，因此满足条件的直线不只1条，不符合要求；当时，直线将点，，分在两侧，点在该直线上，仅有1条，符合要求；当时，直线将四个△分在两侧，无△点在直线上，仅有1条，符合要求；当时，直线将四个△分在两侧，无△点在直线上，仅有1条，符合要求；当时，直线将四个△分在两侧，无△点在直线上，仅有1条，符合要求，所以中这样的点有，，，．故答案为：，，，．二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（）A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌解：相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标，当相关系数为正数时，表示两种证券的收益有同向变动的倾向；当相关系数为负数时，表示两种证券的收益有反向变动的倾向，相关系数为，所以表明两种证券的收益有同向变动的倾向，故错误，错误，正确，而相关系数为1时表示两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，为时表示完全反向的联动关系，所以错误．故选：．14．函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点解：由图可知，当时，；当时，；当且仅当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处切线的斜率大于零，在处不能取极值，在区间上单调递增，是函数的极小值点，所以错误，正确．故选：．15．已知双曲线，点，点、分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（）A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值解：由双曲线，可得，，所以双曲线的其中一条渐近线方程为，则点满足渐近线，所以点在双曲线的渐近线上，所以过点存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线，所以向量，的夹角不存在最小值，过点作轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为，两点，此时，因为，，所以向量的夹角存在最大值，最大值为，综上可得，向量的夹角存在最大值，不存在最小值．故选：．16．椭圆具有如下光学性质：如图，，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题：①若是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与轴的交点为，则；②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（）A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题解：对于命题①，由已知，为的角平分线，则由角平分线定理知，，所以，由椭圆的定义，，所以，整理得，因为是椭圆上除长轴端点外的一点，所以，即，解得，故命题①为真命题；对于命题②，设光线第一次反射点为，第二次反射点为，则由椭圆的光学性质知、、三点共线，由椭圆的定义，光线第一次回到所经过的路程，所以椭圆的离心率为，故命题②为真命题．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．某公司为了解用电量（单位：与气温（单位：之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：气温181310用电量24343864由表中数据可得回归方程中，．试预测当气温为时的用电量，并求在气温为时的残差．解：由表格数据可得，，所以样本点的中心为，代入回归方程，，所以线性回归方程为，时，；时，得，时，表格数据为64，故此时残差为．因此，当气温为时的用电量为，用电量在的残差为．18．已知椭圆，为坐标原点．（1）求的离心率；（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；【解答】（1）解：设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，椭圆，则，，，所以的离心率．（2）解：点，点在上，设，则，，因此，则当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，所以的最大值为，最小值为．19．某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为．（1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；（2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望；（3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级．现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．解：（1）已知该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为，设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”，设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”，由全概率公式，知，所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为；（2）的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123随机变量服从超几何分布，且，，，所以；（3）由题意得，，，，，，所以的数学期望为8，方差为7．20．（17分）已知双曲线的左顶点为A，过点D（2，0）的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．（1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；（2）若，△MAD为直角三角形，求点M的坐标；（3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数λ，使得成立，求直线l的倾斜角的．解：（1）由题a＝1，，得，故；（2）因为点M在第一象限，故∠MAD不可能为直角；若，将