2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分）.1．“一个点和一条直线确定一个平面”是，命题．（填“真”、“假”2．在空间直角坐标系中，点，3，关于平面的对称点的坐标是．3．直线的倾斜角为．4．如图，已知长方体的棱长，，则点到棱的距离是．5．已知是三角形所在平面外一点，且，则点在平面上的射影是三角形的心．6．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，则四棱锥的体积为．7．已知，，三点不共线，点不在平面内，，若，，，四点共面，则的最大值为．8．已知圆锥的侧面积为，高为，设圆锥的顶点为，点，在底面圆周上，则面积的最大值为．9．如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为．10．如图，已知三棱柱的体积为4，，，分别为侧棱，，上的点，且，则．11．下列选项中，正确的是．①若两条不同直线，的方向向量为，，则；②若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为△的重心；③若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底；④若空间向量，、共面，则存在不全为0的实数，，使．12．已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．过点且与直线垂直的直线方程为（）A． B． C． D．14．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则15．某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球体积为（）A． B． C． D．16．在正方体中，点，分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（）A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．如图，长方体中，，，点为的中点，（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离．18．已知直线和直线，其中为实数．（1）若，求的值；（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，求直线的方程．19．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是．（1）求石凳的体积；（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？20．如图，在菱形中，，与相交于点，平面，，．（1）求证：平面；（2）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：；（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值．21．如图，在四面体中，△是正三角形，△是直角三角形，，并且，点在棱上．（1）证明：平面平面；（2）若二面角的正切值为，求的值；（3）点、分别是线段、上的动点，求△周长的最小值．

参考答案一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．“一个点和一条直线确定一个平面”是假，命题．（填“真”、“假”解：根据题意，若该点与该直线恰好在同一条直线上，则不能确定一个平面，则该命题是假命题．故答案为：假．2．在空间直角坐标系中，点，3，关于平面的对称点的坐标是，3，．解：点，3，关于平面的对称点是，3，．故答案为：，3，．3．直线的倾斜角为．解：将直线方程化为斜截式：，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，且，，则，所以．故答案为：．4．如图，已知长方体的棱长，，则点到棱的距离是5．解：连结，如图：在长方体中，由平面，平面，所以，则点到棱的距离是，在矩形中，．故答案为：5．5．已知是三角形所在平面外一点，且，则点在平面上的射影是三角形的外心．解：由点是点在平面的射影，所以平面，由于，，平面，所以，，，可得，，，因为，所以，所以为△的外心．故答案为：外．6．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，则四棱锥的体积为．解：正四棱锥的底面边长为2，底面面对角线的一半为，所以棱锥的高为，．故答案为：．7．已知，，三点不共线，点不在平面内，，若，，，四点共面，则的最大值为．解：因，，，四点共面，且不在平面内，向量由线性表示时，系数和为1．由，得，整理得．设，则，该二次函数开口向下，对称轴为．当时，，此时，即的最大值为．故答案为：．8．已知圆锥的侧面积为，高为，设圆锥的顶点为，点，在底面圆周上，则面积的最大值为6．解：根据题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的高，又圆锥的侧面积为，所以，解得，，则该圆锥的轴截面三角形的三边长为，，6，由于，则，故，则是顶角为的等腰三角形．故当等腰三角形的顶角为时，面积取得最大值，且其最大值为．故答案为：6．9．如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为．解：在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，，，．故答案为：．10．如图，已知三棱柱的体积为4，，，分别为侧棱，，上的点，且，则．解：连接，，如图所示：易知侧面为平行四边形，又，所以，又面，故．，则可以得到．故答案为：．11．下列选项中，正确的是①②④．①若两条不同直线，的方向向量为，，则；②若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为△的重心；③若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底；④若空间向量，、共面，则存在不全为0的实数，，使．解：对于①，两直线平行时其对应方向向量也平行，当两直线的方向向量平行时，由于两直线不同，所以两直线也平行，所以①正确；对于②，由，则有，即，所以，所以、、共面，取中点，则有，取中点，则有，所以为△的重心，所以②正确；对于③，由，故共面，所以③错误；对于④，若共面，则存在实数、，使得，即，所以存在不全为0的实数，，，使得，所以④正确．故答案为：①②④．12．已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是．解：设球心为，作平面，垂足为，则为等边三角形的中心．，．设内切球的半径为，则，解得．设该四面体的外接球的半径为，，则，．解得．由题意，是直径的两端点，可得，，，即求正四面体表面上的动点到的距离的范围．当位于（切点）时，取得最小值；当位于处时，即为正四面体外接球半径最大，即为．综上可得的最小值为，最大值为．则的取值范围是，．故答案为：，．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．过点且与直线垂直的直线方程为（）A． B． C． D．解：设过点且与直线垂直的直线方程为，把点代入可得：，解得．要求的直线方程为：，故选：．14．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则解：若，，根据线面垂直的性质可知，所以选项正确；若，，，则与可能平行、相交或异面，所以选项错误；若，，则或，所以选项错误；若，，，，当时，与可能相交，根据面面平行的判定定理，需与相交时才有，所以选项错误．故选：．15．某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球体积为（）A． B． C． D．解：设圆锥的底面半径为，高为，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，所以，解得，所以，设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示，其中为内切球的球心，为圆锥底面的圆心，，为切点，则△△，则，即，解得，所以该圆锥的内切球的体积．故选：．16．在正方体中，点，分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（）A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确解：对于①，如图，连接，，在正方体中，有正方形，所以，又，，所以四边形为平行四边形，故，，，确定唯一的平面，又平面，平面，所以又，，平面，所以平面因为平面，所以对任意点，都有，只有与重合才符合题意，与不为端点矛盾，故对任意点，不存在点，使得，故①不正确；对于②，如图，连接，交于，连接，，由①得平面，又，，所以四边形为平行四边形，所以，则平面，因为平面，所以又因为正方形，所以，又平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以于是当点与重合时，存在点，对任意的，均有，故②正确．故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．如图，长方体中，，，点为的中点，（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离．【解答】（1）证明；由题意可知，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由题意可得，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，则，，设平面的法向量为，则由，，可得，则有，取，则，因为，所以，又因为平面，所以平面；（2）解：由（1）知平面的法向量为，又因为，所以点到平面的距离，所以点到平面的距离为．18．已知直线和直线，其中为实数．（1）若，求的值；（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，求直线的方程．解：（1）若，则直线，即，，两直线垂直，符合题意；若，则，解得．综上所述，或0．（2）由在直线上，则，解得，故显然直线的斜率一定存在且不为0，设直线的方程为，令，可得，再令，可得，在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，所以，解得或，所以直线的方程为或．19．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是．（1）求石凳的体积；（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？解：（1）正方体的体积为，石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，故一个小正三棱锥的体积为，故石凳的体积为；（2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为，则石凳的表面积为，则粉刷一个石凳需要元．20．如图，在菱形中，，与相交于点，平面，，．（1）求证：平面；（2）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：；（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值．【解答】（1）证明：因为四边形是菱形，所以，因为平面，平面，所以．因为，平面，平面，所以平面；（2）证明：因为平面，所以直线与平面所成的角为，即．在等边△中，，所以△中，所以．过作交于点，所以△中，，△中，，△中，，所以；（3）解：取边的中点，连接，，易得且，为所求的角或其补角，而在△中，，△中，，所以异面直线与所成的余弦值为．21．如图，在四面体中，△是正三角形，△是直角三角形，，并且，点在棱上．（1）证明：平面平面；（2）若二面角的正切值为，求的值；（3）点、分别是线段、上的动点，求△周长的最小值．【解答】（1）证明：