2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（满分36分）.1．若点平面，点平面，则直线平面．（填合适的符号）2．已知为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数．3．在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有条．4．已知，平面与平面的法向量分别为，，且，，，，6，，则．5．三棱锥中，顶点在底面的射影在底面内，若其侧面与底面所成角都相等，则点是△的心．6．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为．7．圆锥的母线长，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为．8．某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是．9．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是的中点，则异面直线与所成角的大小为．10．如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，；现将△，△，△分别沿，，折起，使点，，重合，重合后记为点，得到三棱锥，则点到平面的距离为．11．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为．12．在平面上，将两个半圆弧：一个以为圆心、1为半径的部分）和另一个以为圆心、1为半径的部分），与两条直线、围成的封闭图形记为，如图所示阴影部分，记绕轴旋转一周而成的几何体为，过，作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积为．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。13．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则14．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径，高（不含杯脚），已知水的高度是，现往杯子中放入一种直径为的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）A．98颗 B．106颗 C．120颗 D．126颗15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是A． B． C． D．16．豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为．若忽略三角形豆腐的厚度，设，，，点在△内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（）A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤。17．如图所示，△是直角三角形，，，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成一个几何体：（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．18．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面平面；（2）若平面，求证：为的中点．19．在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求：（1）异面直线与所成角的大小；（2）直线与平面所成角的大小；（3）二面角的大小．20．如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点，重合的动点，，分别为点在线段，上的投影．（1）证明：直线平面；（2）当△的面积最大时，求二面角的平面角的大小．21．在正棱锥中，为底面正边形的中心，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为；（1）当，时，若，求正三棱锥的高；（2）当时，若，且，求正四棱锥底面的边长；（3）记，试确定与的大小关系，并证明．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律得零分。1．若点平面，点平面，则直线平面．（填合适的符号）解：根据题意，若点平面，点平面，则直线在平面内，即直线平面．故答案为：．2．已知为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数．解：因为，，三点不共线，且，若，，，四点共面，所以，所以．故答案为：．3．在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有2条．解：在三棱柱各棱所在直线中，根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义有、与直线异面，所以三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有2条．故答案为：2．4．已知，平面与平面的法向量分别为，，且，，，，6，，则．解：由题意可得：，，解得．故答案为：．5．三棱锥中，顶点在底面的射影在底面内，若其侧面与底面所成角都相等，则点是△的内心．解：如图所示，连接，则平面，由分别向线段，，作垂线，垂足分别为，，，连结，，，由三垂线定理知，，和分别为平面，平面，平面与平面所成的角，即，又因为，，，为△，△，△的公共边，所以△△△，所以，所以为△的内心．故答案为：内．6．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为6．解：由直观图中，，可得：原图为直角梯形，上底长为2，下底长为4，高为2，所以其面积为．故答案为：6．7．圆锥的母线长，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为．解：如图所示，圆锥的母线，母线与旋转轴的夹角为，圆锥的底面圆半径为；该圆锥的表面积为．故答案为：．8．某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是．解：作出示意图如下：因为地球仪上北纬的纬线长度为，所以北纬所在小圆的周长为，则该小圆的半径，在△中，，所以该地球仪的半径，所以该地球仪的体积是．故答案为：．9．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是的中点，则异面直线与所成角的大小为．解：由题意正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是的中点，以两对角线与的交点作为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设边长为2，则有，则，故直线与所成角的余弦值为，又，，所以直线与所成角为．故答案为：．10．如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，；现将△，△，△分别沿，，折起，使点，，重合，重合后记为点，得到三棱锥，则点到平面的距离为．解：由正方形性质可得、、，又，，平面，所以平面，又，分别为，中点，则，，，，则，则，则，由，设点到平面的距离为，则，即，解得．故答案为：．11．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为．解：根据题意知，平面是边长为的正三角形，且球与以点为公共点的三个面的切点恰为三角形三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△内切圆的半径是，则所求的截面圆的面积是．故答案为：．12．在平面上，将两个半圆弧：一个以为圆心、1为半径的部分）和另一个以为圆心、1为半径的部分），与两条直线、围成的封闭图形记为，如图所示阴影部分，记绕轴旋转一周而成的几何体为，过，作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积为．解：根据题意可得是一个旋转体，过点其中，作的水平截面，可得截面为圆环，由和可得内面小圆的半径为，外面大圆的半径为，所以所得截面的面积为，如图所示：把一个半径为1、高为的平放圆柱和一个高为2、底面积为的长方体相邻，这两个几何体也是等高的，用平行的截面面积去截，截得的面积和圆环面积是相等的，因此利用祖砸原理可得的体积与一个半径为1、高为的平放圆柱和一个高为2、底面积为的长方体体积和是相等的，因为，所以的体积是．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。13．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则解：若，，则或，所以选项错误；若，，，则，所以选项正确；若，，则显然错误，所以选项错误；若，，，则或与异面，所以选项错误．故选：．14．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径，高（不含杯脚），已知水的高度是，现往杯子中放入一种直径为的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）A．98颗 B．106颗 C．120颗 D．126颗解：作出轴截面如图，由题意，，，，设，则，即．则放入珍珠的最大体积．一颗珍珠的体积是．由，得最多可以放入珍珠126颗，故选：．15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是A． B． C． D．解：过作平面，交于，过作，交于，过作，交于，连结，则平面是所求的平面，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，平面与平面之间的距离为，，解得，，即，，，函数，．函数的图象如下图：故选：．16．豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为．若忽略三角形豆腐的厚度，设，，，点在△内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（）A． B． C． D．解：空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示：其中：，和区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱；，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为，，；区域内的几何体是高为2的直三棱柱．因为四边形和为矩形，则，可得，同理可得：，，所以，可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球，则，，区域内的几何体的体积之和；又因为，和区域内的几何体的体积之和；区域内的直三棱柱体积，所以的体积为．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤。17．如图所示，△是直角三角形，，，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成一个几何体：（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．解：（1）因为△是直角三角形，，，，又以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，将图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成一个几何体，为一个圆锥挖去了半个球体，圆锥的底面半径为3，高为4，球体的半径为2，所以圆锥的体积为，半球体的体积为，所以该几何体的体积为；（2）因为，，，所以，圆锥的表面积为，半球体的球面面积为，半球体的底面圆面积为，所以该几何体的表面积为．18．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面平面；（2）若平面，求证：为的中点．【解答】证明：（1）如图，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又，分别为，的中点，，又，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，又，平面平面；（2）平面平面，平面平面，平面与平面有公共点，则有经过的直线，设交，则，得，为的中点，为的中点．19．在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求：（1）异面直线与所成角的大小；（2）直线与平面所成角的大小；（3）二面角的大小．解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，即，，，即异面直线与所成角为；（2）由（1）的，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，直线与平面所成角的正弦值为，即直线与平面所成角为；（3）由（2）得平面的一个法向量为，且，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，又二面角为锐二面角，即二面角的余弦值为，所以二面角的大小为．20．如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点，重合的动点，，分别为点在线段，上的投影．（1）证明：直线平面；（2）当△的面积最大时，求二面角的平面角的大小．解：（1）证明：点在圆的圆周上，为圆的直径，．又平面，平面，．，平面，，平面，平面，，又为在上的投影，，，平面，，平面；（2）平面，平面，，又为在上的投影，，，平面，，平面，又平面，，二面角的平面角即为，又平面，平面，，即△为直角三角形，且斜边为定值，，当时取等号．，当时取等号，此时△为等腰直角三角形，．21．在正棱锥中，为底面正边形的中心，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为；（1）当，时，若，求正三棱锥的高；（2）当时，